淺析反例在數學教學中的功效

【摘 要】所謂反例，是指符合命題的題設，但不符合命題結論的例子，舉反例是說明一個命題為假命題的常用方法。反例具有簡明、直觀、說服力強等特點，在數學定理（公理）、概念的教學中具有重要作用。

【關鍵詞】反例;反面思考;數學教學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0166-03

要證明一個命題是真命題，必須經過嚴密的推理、論證，而要說明一個命題為假命題，并不一定要嚴密地推理、論證，只需設法舉出一個與結論矛盾，但符合題設的例子即可，這個例子即為反例，在數學教學中經常使用。

適當地運用反例，引導學生突破思維慣性，從反面思考問題、研究問題，有助于學生數學素養的提高，也能使數學定理（公理）、概念的教學收獲奇效，幫助學生更好地辨別、理解一些看上去差不多，但實質上內容卻大相徑庭的定理（公理）、概念。

1? ?直接給出反例，讓學生判斷

1.1? 通過反例鞏固概念

在講解某些概念時，為了讓學生進一步理解，教師可以舉出一些反例，讓學生判斷是否符合所學概念。

一元二次方程必須同時滿足以下三個條件：①整式方程;②只含有一個未知數;③未知數的最高次數是2。為了讓學生正確理解這個概念，教師可給出一些方程，讓學生判斷它們是否為一元二次方程。若不是，則說明理由。

對比一元二次方程的概念，方程（2）（4）（5）顯然不是一元二次方程，因為方程（2）（5）的左邊都是分式，而非整式，方程（4）含有兩個未知數，這些都與一元二次方程的概念不符?？赡苡胁簧賹W生認為方程（1）（3）是一元二次方程，這時可提示學生將方程（3）去括號、整理，讓學生發現整理后方程（3）實質上為一元一次方程，從而使學生認識到判斷一個方程不僅要看表面形式，更要看深層次的本質（化簡后的形式）。這樣，當教師結合這5個方程的判斷，特別是其中的反例，再次具體分析一元二次方程的3個條件時，學生就會更深刻地理解一元二次方程的概念。

1.2? 通過反例預防學生犯錯

學生在做作業或練習時，或多或少都會因為各種原因出錯。對此，教師在課前應該有所預見，在講解時，把學生錯誤的解法作為反例呈現出來，讓學生自己找出反例中的錯誤，從而加深學生的印象。

如解一元一次不等式時，學生易犯的錯誤有去分母時漏乘常數項;去分母時，對于分數線上的項漏添括號;系數化為1時，當兩邊除以的是負系數時，不等號的方向沒有改變等?；谶@些常見錯誤，教師在講授新課時，可舉如下反例，讓學生找出解法中的錯誤。

解：將原式去分母得，

去括號得，

移項得，

合并同類項得，

系數化為1得。

學生經過仔細觀察，可以發現其中的各種錯誤：去分母時，常數項“2”未乘“6”;去分母時，忘記將分數線上的“4x-1”視為一個整體，添上括號;系數化為1時，不等式兩邊同除以“-6”，不等號的方向沒有改變。

這個反例幾乎集中了學生解一元一次不等式時常犯的所有錯誤。讓學生找出這個反例中的錯誤，可以有效加深學生對不等式性質的理解。然后再讓學生練習，效果可能會更好。教材中的例題往往都是正例，用來告訴學生怎樣規范解題，但必要的反例也是需要的。正確利用反例，有助于學生預防解題錯誤，更深層次地認識錯誤，鞏固正確的解題思路。

2? ?直接提出問題，讓學生尋找反例

2.1? 通過反例加強學生對概念的理解

在數學學習中，學生常常會碰到一些不易理解和掌握的數學概念，往往容易混淆或記不住。對此，教師既需要讓學生記住引入概念的正例，也需要讓學生記住引入概念的反例，從不同的角度加深學生對概念的理解。

學習單項式的概念時，教師可通過列出的代數式，引出單項式的概念“只含數或字母的積的式子叫做單項式，單獨一個數或字母也是單項式”。單項式的概念相對抽象，不少學生在學習后還難以理解。教師可以適時引出正例和反例來對概念加以詮釋。

如提問：“是單項式嗎？”“是單項式嗎？”

顯然，表示兩個字母的商，違背了單項式的概念中“積”的要求，當然不是單項式;而雖然與形式上類似，也表示兩個字母的商，但是中的為圓周率，是常量字母，所以可理解為常數與的積，因此，是單項式。

通過以上單項式概念的一正一反兩例的列舉，教師可以使學生從正反兩方面理解單項式的概念，化抽象為具體，加深學生對單項式概念的理解，從而使學生在后面學習分式時不會與單項式混淆。

2.2? 通過反例加強學生對定理（公理）的理解

在數學學習中，對于一些不易理解和掌握的定理（公理），盡管教師反復強調，部分學生還是會混淆或用錯。如果教師在講解過程中能適當地舉一些反例，加強學生對這一定理（公理）的理解、記憶，也許會得到較好的教學效果。

在講解全等三角形的判定方法時，其中一種方法是“有兩邊及其它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）”，這里必須強調這個角為這兩條邊的夾角。因此，教師可以提問學生：“有兩條邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形一定全等嗎？”由于和教材中的定理不一致，大部分學生肯定會回答“不一定”，這時教師可繼續追問：“能舉出一個反例來說明嗎？”看到不少學生在冥思苦想，教師繼續提示：“可以畫圖來加以說明?！闭n堂上不少學生都表現出濃厚的學習興趣，都在畫圖嘗試。最后，師生一起總結、歸納出相應的反例。

列舉如下。

如下（1）如圖1，畫一鈍角三角形，以點為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點，連

接。則在與中，滿足兩邊和其中一

邊的對角對應相等（，，），但與顯然不全等。

（2）如圖2，在等腰梯形中，，連接。則在與中，滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等（，，），但與顯然不全等。

通過上述反例，學生能清楚地認識到在運用“SAS”這一判定方法時，必須是“兩邊夾一角對應等”，而不能是“SSA”，并知道上述反例可以說明“有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等”是假命題。這樣的反例加深了學生對知識的印象，有利于其牢固掌握“SAS”，使其在后面學習相似三角形的判定方法之一“兩邊及其夾角法”時不會混淆。

3? ?通過反例說明一個命題為假命題

要說明一個命題為假命題，可以從正面直接證明，也可以舉一個反例來推翻它。在初中數學中，更多的是讓學生用舉反例的方法來解決一些判斷題。

在講解圓的“垂徑定理”時，教師在講完“垂直于弦的直徑平分弦，且平分這條弦所對的兩條弧”后，可引出一個判斷題“平分弦的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧”，讓學生判斷該判斷題的正誤。在不少學生都面露難色，找不出反例，或無法證明，只能猜測說“對的吧”時，教師可適時提示：“假如平分的弦為直徑，這句話還正確嗎？”有的學生在嘗試畫圖后，畫出了反例圖形“圓中的兩條直徑相交于圓心”，由此說明之前的判斷題是錯的。接著，教師再追問：“剛才那個判斷題怎么修改，使之成為真命題？”基礎稍好的學生會在得出結論的基礎上，回答出垂徑定理的推論“平分不是直徑的弦的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧”。

有了剛才的反例教學，學生能更透徹地認知垂徑定理的推論，理解推論中所強調的“非直徑的弦”。所以，在平時的教學中，應鼓勵學生突破思維慣性，引導學生從反面去思考問題、研究問題，尋找合適的反例，從而加深其對一些較難理解的概念、定理（公理）的理解、記憶。

綜上所述，反例教學在數學教學中有重要的作用，已成為數學課堂教學中的亮點之一，舉反例有利于糾正錯誤結論，澄清模糊概念，培養學生縝密思考的能力。教師在平時的教學中，應注意將正、反例有機結合，適當地構造反例，合理地運用反例，有意識地引導學生思考反例。只有這樣才能使反例教學成為課堂教學的“催化劑”，增強學生對錯誤的“免疫力”，讓學生在“誤中悟”;增強學生對定理（公理）內容及概念的理解，使學生不斷地完善自己的數學知識體系，提高分析、解決問題的能力。筆者相信，如果反例能被教師熟練并恰當地應用于課堂教學，那么數學課堂將不再枯燥無味，將會更加精彩。

【參考文獻】

[1]張楨霞.淺談反例在中學數學教學中的作用[J].新課程研究（基礎教育），2010（12）.

[2]李強.淺談反例在初中數學教學中的功能[J].數學學習與研究，2015（3）.

[3]宗翠花.利用反例提升數學學習效果[J].中學生數理化，2020（Z1）.

【作者簡介】

陳柯（1980～），男，江蘇南通人，本科，中學二級教師。研究方向：初中數學教學。