基于空間表象的直觀想象素養培養

裴日春

[摘? 要] 直觀想象原本是指幾何直觀與空間想象，因此直觀想象素養的培養，與高中數學中與圖形相關的知識關系密切，因此基于幾何圖形或者是函數圖像等內容的教學，培養學生直觀想象素養是可行的. 基于空間表象培養直觀想象素養，還有以下兩點理解：第一，直觀想象素養形成以空間表象為思維載體;第二，直觀想象是空間表象加工后形成的直覺與合理想象. 這個培養過程可以分成三個環節：一是幫學生建立實物表象;二是幫學生建立想象表象;三是在反思中完善直觀想象.

[關鍵詞] 高中數學;幾何直觀;空間表象

幾何直觀是高中數學學科核心素養的六個要素之一，考慮到核心素養的落地與具體的學習內容相關，而直觀想象原本是指幾何直觀與空間想象，因此直觀想象素養的培養，與高中數學中與圖形相關的知識關系密切，因此基于幾何圖形或者是函數圖像等內容的教學，培養學生直觀想象素養是可行的. 從學生學習心理機制的角度來看，學生對“形”的思維加工，是以表象為對象的，因此基于空間表象培養學生的直觀想象素養，就成為邏輯上說得通、操作中可行的思路.

直觀想象與空間表象的關系

所謂直觀想象，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程. 進一步的研究表明，直觀想象主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系（即常說的數形結合）;建構數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路等. 而基于空間表象培養直觀想象素養，還有以下兩點理解：

第一，直觀想象素養形成以空間表象為思維載體

空間表象是學生觀察思考空間圖形之后，大腦中留下來的印象. 由于直觀強項是幾何直觀與空間想象的合成，因此直觀想象素養生成過程中的思維載體必然是空間表象. 舉個例子，在簡單幾何體的學習中，教師常常會提出一些命題，讓學生去構思. 如三維空間中不相交的兩條直線一定平行嗎？對于這個問題，學生是有經驗基礎的——同一平面內永不相交的兩條直線互相平行. 而此時教師給出的命題與學生的經驗略有區別，學生會通過比較發現這個區別，然后提醒自己：三維空間與平面是不同的，同一平面內永不相交的兩條直線平行，可能并不意味著三維空間里永不相交的兩條直線也是平行的（這里用到了一定的邏輯推理，更多的則是直覺）. 有了這個思考作為基礎，他們就會在大腦當中構思三維空間，想象兩條不相交的直線之間的關系，然后得出結果.

這樣的一個過程就對應著直觀想象素養的形成，顯而易見的是，學生此時思維加工的對象就是基于想象形成的表象.

第二，直觀想象是空間表象加工后形成的直覺與合理想象

學生大腦當中形成的表象越清晰，對直觀想象素養的培養就越有好處. 因為表象越清晰，學生的內心就越認可，那么所形成的認識就越有可能變成直覺;有了直覺之后再進行合理的想象，也就形成了直觀想象能力培養的主要過程. 上面的例子中，當學生確認了三維空間里兩條永不相交的直線有著無數種可能——事實上就有學生建構出的空間表象是：兩條直線起初起處于同一平面且互相平行，然后一條直線不動，另一條直線轉動，從而將同一平面內的情形變成三維空間的情形，這樣就形成了一個清晰的三維空間的永不相交的兩條直線未必平行的表象. 這樣的一個具體過程，就是一個典型的直觀想象能力培養過程.

基于空間表象培養直觀想象

通過上面的分析可以發現，基于空間表象培養直觀想象素養是可行的. 有研究表明，引導學生觀察空間幾何體，制作空間圖形的模型，積累空間圖形的表象，通過學生的直觀感知，增強學生的空間觀念，培養學生掌握空間圖形的能力;讓學生通過看圖、畫圖等，增強學生的空間感，然后通過動手實踐、操作等，可以有效地培養學生的直觀想象素養. 進一步通過對實踐的梳理，筆者以為這一培養過程可以分成三個環節：

一是幫學生建立實物表象. 根據學習的普遍規律，表象形成首先來自于實物，而高中數學內容比較抽象，這個實物表象往往需要借助于教學手段來完成. 比如函數y=Asin（ωx+φ）的圖像，教師就可以在激活學生對正弦函數圖像認識的基礎上，借助于多媒體，給學生呈現一個上述函數圖像生成的動態過程，這樣學生的思維加工起來就會比較直接，形成的表象也會比較清晰.

二是幫學生建立想象表象. 實物表象是為了學生的想象表象奠基，當學生大腦中的經驗足夠豐富時，就應當培養他們通過想象建構想象表象的能力. 這一環節中最簡單且有效的辦法，就是辨識訓練. 比如我們可以讓學生去構思y=3sin（2x+5）的表象——考慮到不同層次學生的需要，這樣一個過程可以循序漸進，比如從y=3sinx到y=3sin2x，再到y=3sin（2x+5），這樣效果更好.

三是在反思中完善直觀想象. 如果說建立表象的過程，既是教師有意識設計的學習過程，也是學生的一種直覺的話，那只管想象素養培養的過程，就肯定是一個需要教師給學生提供情境，并在學習反思的過程中不斷完善的過程. 在上面函數圖像學習之后，讓學生結合大腦中的正弦圖像的經驗，思考y=Asin（ωx+φ）的得出過程，再思考一系列變式中的圖像得出過程，這樣可以讓實物表象和想象表象連貫起來，而這個表象越完整、越清晰，學生的幾何直觀就會更準確，空間想象能力也會更強，很顯然這樣直觀想象素養的培養效果就越好.

關于直觀想象培養的再思考

作為學生在數學學習中的成長目標，直觀想象描述了學生在遇到空間圖形的時候有效進行描述和問題解決的情形;而作為對學生數學學習過程的描述，直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、建構抽象結構的思維基礎. 因此我們認為，在高中數學教學中重視直觀想象能力的培養，并努力促使學生將能力進一步提升為素養，是數學教師的重要任務，也是數學學科核心素養落地的重要突破口.

需要強調的是，直觀想象素養的培養必須面向學生，而面向學生意味著教師在設計教學的時候，要清楚地知道學生已有的直觀想象水平，然后基于教學內容進行合理的設計，且要保證設計的學習過程在學生的“最近發展區”之內. 在學生建構空間表象、加工空間表象的過程中，教師要關注學生的思維狀態，尤其是關注學生思維可能出現的困難，然后及時點撥，以讓學生建構、加工空間表象的過程更為順利，這樣可以保證學生將注意力集中在空間表象形成本身，從而也就保證了直觀想象素養的培養過程更加科學合理.

總之，基于空間表象的直觀想象素養培養，是經得起理論與實踐的檢驗的，是整個數學學科核心素養落地的重要切入口，值得在教學中認真嘗試.