構造函數法在高中數學導數求解中的應用探尋

林麗珍

摘要：在對高中生進行數學教學時，其導數教學就占有較大比例，同時導數問題也是歷年高考的必考題。因此，如何對學生進行有效導數教學，提升學生的導數求解能力已成為所有高中數學教師重點研究的教學問題?；诖耍疚膶嬙旌瘮捣ㄔ诟咧袛祵W導數求解中的應用進行探尋，希望可以為提升學生的導數求解能力提供一些幫助。

關鍵詞：構造函數法;高中數學;導數求解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2020）04-0-01

想要提升學生的導數求解能力，就需要學生熟練掌握函數的導數公式以及各種運算法則，因此就需要高中數學教師能夠在對學生進行導數教學時融入構造函數法，不但能夠增強學生的記憶，以及了解公式的重要性，同時還能夠幫助學生找到正確求解導數問題的方法，進而提升學生的學習效率。

一、構造函數法在導數選擇題以及填空題求解中的應用

1.利用導數公式構造函數

高中生在進行導數學習的過程中，經常會遇到這樣一道題：f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為奇函數，g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為偶函數，如果x<0，那么就存在f（x）g（x）+f（x）g（x）>0;同時已知g（-3）=0，最后讓學生求f（x）g（x）<0的解集。當高中數學教師在這道題進行講解使，可以引導學生從f（x）g（x）+f（x）g（x）>0以及推導出的f（x）g（x）<0入手，通過對導數乘法公式進行聯想構造出函數h（x）=f（x）g（x），最后結合函數的奇偶性就可以求出最后的結果為{x|x<-3或0

如果將上面的題進行變式，變為：f（x）是R的一個可導函數，如果x≠0，那么就會有f（x）+>0，最后求g（x）=f（x）+1/x有多少個零點。當高中數學教師在對這道變式題進行講解使，依然可以引導學生采用構造函數法進行求解，首先由題意可以推導出f（x）+=，通過對這個式子進行觀察發現可以構造函數為h（x）=xf（x），那么就可以得到h（x）在（-∞，0）上時應該為減函數，h（x）在（0，+∞）上時應該為增函數，那么就可以輕松得到其在x=0時是唯一極小值，即g（x）的零點就是h（x）的解，也就是說h（x）=xf（x）=-1，所以最后可得g（x）=f（x）+1/x有2個零點[1]。

2.利用所求直接構造函數

在求解導數選擇題或者填空題時，除了利用導數公式構造函數以外，還可以直接用所求構造函數。例如有這樣一道函數問題：函數f（x）在的定義域是R，并且這個函數在定義域上滿足條件f（1）=3，已知f（x）的導數為f（x）<2x+1，最后求不等式f（2x）<4x2+2x+1的解集是什么。

由于數學教師已經教會了學生在進行導數求解時可以利用構造函數法進行求解，學生在進行這道題求解時就會直接將f（2x）-（4x2+2x+1）設為h（x），進而求出導數h（x）的公式為2[f（2x）-（2×2x+1）]，最后由已知f（x）<2x+1可以得到h（x）<0，h（1/2）=0，最終求解的結果為{x|x>1/2}。但是，這種方式并不是最簡單的求解方式，因此數學教師在對這道題進行講解時應該對學生進行正確引導，通過對導數問題進行詳細分析可以發現，已知題干中提到的f（1）=3和f（x）<2x+1更具有代表性，可以據此構成一個特殊函數：h（x）=x2+2，然后將這個函數帶入到所要求解的不等式中。這時學生會發現這種方式比自己求解時所用的方式更簡單。也就是說，數學教師在進行導數求解教學時，應該引導學生對問題進行仔細觀察，并且能夠掌握小題小做的解題方式[2]。

二、構造函數法在導數解答題求解中的應用

上面講解了構造函數法在導數擇題以及填空題求解中的應用，下面探尋關于該種方式在導數解答題求解中的應用。解答題不同于選擇題和填空題，在對其進行求解的過程中需要根據解答題的需求進行構造函數，因此在實際教學過程中，數學教師應該引導學生對導數解答題進行觀察和分析，進而為接下來進行求導做好鋪墊;同時數學教師也要引導學生進行總結、聯想和歸納，比如關于x以及lnx運算就是常用的構造函數法，也就需要學生能夠在求解過程中不斷掌握技巧和重點。

例如，學生在進行導數解答題求解時，會遇到這樣一道題：假如L是曲線C：y=在點（1，0）處的切線，最后需要學生求出L的方程以及對曲線C除（1，0）外在直線L下方進行證明。在解題的時候，學生可以根據題意輕松求得L的方程，即y=x-1。但是在進行證明時卻出現了分歧，有的學生選擇直接構造函數，即令h（x）=x-1-f（x），依據題意可以得到h（x）>0，而且h（x）滿足h（1）=0，據此可以求出h（x）的導函數，也就能夠求出h（x）的單調性，進而得到h（x）>h（1）=0（x>0，x≠1），從而得到證明;有的學生是在等價變形之后進行構造函數，也就是將h（x）>0變形成x2-x-lnx>0，并記成t（x）=x2-x-lnx，也就可以求出t（x）的導函數為2x-1-1/x，進而求出當01的時候，t（x）>0，所以t（x）在區間（1，+∞）上應該是單調遞增函數，也就是t（x）>t（1）=0[3]。

面對這種情況數學教師應該對學生進行正確指導，使學生明白兩種求解方式的差異，進而幫助學生養成在進行導數求解時“處處化簡”的思維習慣，進而有效提升學生的做題效率。

結語

利用構造函數法對學生進行高中數學導數教學，不但能夠幫助學生理解導數問題不同層次的含義，同時還能夠激發學生的聯想能力、引申能力以及活躍學生的數學思維，使學生找到正確的解決數學導數的幫助，進而激發學生對數學導數的學習興趣，促使學生逐步提升自身解決問題的能力，推動學生更好的進行數學學習。

參考文獻

[1]孫云濤.解析構造函數在高中數學解題中的應用[J].中學數學，2019

（19）：33-34.

[2]鄧啟龍.構造函數法在與導數有關的不等式問題中的應用[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019（07）：8-10.

[3]何婷.構造函數求解高中數學問題[J].科學咨詢（科技·管理），2018

（06）：144.