分類討論思想在高中數學教學中的應用

陳家祥

【摘 要】本文論述分類討論思想在高中數學教學中的應用：深入發掘教材內容，刻意滲透分類討論思想;結合具體知識要點，實時應用分類討論思想;科學合理劃分類別，組織學生全面分析討論;注重基礎知識教學，深化分類討論思想應用;提倡小組合作學習，促使學生主動分類討論。

【關鍵詞】高中數學 課堂教學 分類討論思想

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）01B-0117-02

分類討論思想屬于數學中一種常用又重要的思想方法，它根據要求與特點將研究的知識或問題分成多個類別，轉化成多個小項進行分析和解決，最后匯總結果，確保結果完整。教師在高中數學課堂教學中運用分類討論思想時，可引導學生將復雜凌亂的數學知識或問題劃分成多個明了清晰的小類別，以便全面理解與掌握，讓他們形成科學嚴謹的學習意識與態度。

一、深入發掘教材內容，刻意滲透分類討論思想

教材是任何學段和學科教學中的一切教學行為的基本依據，因此在高中數學課堂教學中，教師要想更好地運用分類討論思想，首先要深入發掘教材內容，從中提取有關分類討論思想的知識點，帶領學生對知識進行類比劃分，逐類討論，以助他們全面理解數學知識。高中數學教師在課堂教學中應事先閱讀與研究教材內容，刻意滲透分類討論思想，為學生提供明確的分類對象，突破灌輸式教學模式的限制，讓他們在分類討論思想指導下高效學習。

比如，在教學“空間幾何體的結構”中講到空間物體的類別時，教師可以有意識地運用分類討論思想。在多媒體課件中出示以下圖片：電線桿、方便面盒、吊線墜、一次性紙杯、螺母、臺燈燈罩、足球、斗笠、水杯，以及秤砣、金字塔、瓦房屋頂、交通錐等，要求學生把這些物體分類。引導學生根據物體的結構特征把它們分成兩類，引領他們概括共性，得出旋轉體與多面體的定義。接著，教師組織學生分類討論旋轉體與多面體的不同之處和結構特征，使其發現旋轉體是平面圖圍繞軸旋轉所形成的封閉幾何體;多面體則由面、棱、頂點構成，主要特征是有棱角。然后指導他們結合棱柱定義展開分類討論，將棱柱分為直棱柱、斜棱柱、正棱柱三個類別。

針對上述案例，教師通過課件展示各種空間物體，引導學生根據幾何結構特征進行分類討論，增強他們對各種空間幾何體的了解和認識，使其學會區分，使其觀察能力得到有效鍛煉。

二、結合具體知識要點，實時運用分類討論思想

高中數學教學內容體系復雜、內容繁瑣，涉及的范圍更是廣泛，不過并非所有知識要點都能滲透分類討論思想，教師不能盲目或者隨意運用，而是要有針對性地運用分類討論思想，為學生提供新式學習思路，指導他們在分類討論中逐步理解和掌握新知識。這就要求高中數學教師在課堂教學中，需要根據具體情況運用分類討論思想。明確分類標準，使其按照不同情況找準分類方法，確保討論內容不重復、不遺忘，以有利于他們準確理解新知識。

比如，在進行“集合”教學中，當講到集合的分類時，依據集合所含元素個數不同，將集合分為以下幾個類別：（1）不含任何元素的集合是空集 Ф，強調 0 并不是空集;（2）含有有限個元素的集合是有限集;（3）含有無窮個元素的集合是無限集。讓學生分類討論，按照集合的類別羅列一些相應的例子。比如，既是三角形又是平行四邊形的集合是空集，x2=-2 也是一個空集;所有家庭成員、班內所有同學、高中階段學習的所有學科等均是有限集;偶數、奇數、自然數、負數都是無限集合。講到集合間的關系時，也可運用分類討論思想，教師結合例題帶領學生解讀并集、交集、補集、全集和子集等概念，明確劃分集合的分類標準，幫助他們深刻理解集合。

教師結合具體內容運用分類討論思想，讓學生全面掌握集合類型;列舉相應例子，讓學生更好地理解集合類型的劃分標準，讓他們初步了解元素與集合之間的從屬關系。

三、科學合理劃分類別，組織學生全面分析討論

分類討論思想的主要優勢在于全面性和完整性，可以從若干個層面對知識或問題展開分析與討論，保證思考行為的有序性與系統性。在高中數學課程教學中運用分類討論思想時，教師應當和學生一起科學合理地劃分類別，也就是說，根據分類對象與標準進行分類，并堅持分類討論的以下幾個原則：（1）每級分類按同一標準進行;（2）分類應逐級進行;（3）同級互斥、不得越級。組織他們全面分析與討論，使其最終得出正確的結論或結果。

以“函數”教學為例，當學習完函數的概念后，教師出示例題。

〖例 1〗已知函數 ，求函數的定義域，以及 f（-3）和? 的值;當 a>0 時，求 f（a），f（a-1）的值。

〖例 2〗已知一個矩形的周長是 80 厘米，其中一邊長 x，求矩形面積關于 x 的函數解析式，寫出定義域。

組織學生分析和解題，隨后引領他們結合答案總結幾類函數的定義域：①假如 f（x）是整式，函數的定義域是實數集 R;②假如 f（x）是分式，函數的定義域是使分母不等于零的實數集合;③假如 f（x）是二次分式，函數的定義域是使根號內式子大于或等于零的實數集合;④假如 f（x）由幾個部分的數學式子構成，函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合。

這樣學生通過分類討論和總結，知道函數定義域由問題實際背景確定。如果沒明確定義域，那么函數的定義域指能使這個式子有意義的實數集，且值域要寫成集合或區間形式。

四、注重基礎知識教學，深化分類討論思想應用

在高中數學教學過程中，部分定理、公式、概念等基礎知識當中均蘊含分類討論思想，這為分類討論思想的應用帶來良好契機。但部分高中生邏輯思維能力不強，他們在分類討論中極易出現遺漏、重復等問題。原因是對基礎知識掌握不夠牢固，無法弄清分類情況，從而步入分類討論的誤區。這就要求高中數學教師高度重視基礎知識的教學，借助分類討論的優勢引領學生分類討論，輔助他們系統、牢固地掌握所學內容，深化分類討論思想的應用。

例如，在“任意角的三角函數”教學實踐中，當學生正確認識三角函數的定義域后，教師在多媒體課件中出示一個平面直角坐標系，以 O 為圓心畫一個單位圓，標出點 A（1，0）為任意角 α 的一邊，終邊與單位圓相交于點 P（x，y）。組織學生分類討論：① y 叫做 α 的正弦（sine），記做 sin α，即 sin α=y;② x 叫做 α 的余弦（cosine），記做 cos α，即 cos α=x;③ 叫做 α 的正切（tangent），記做 （x≠0）。搭配問題：在上述三角函數定義中，自變量是什么？對應關系有什么特點？函數值是什么？學生可能對三角函數自變量的認識存在問題，教師引領他們結合單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦和正切的值域，并把 α 分為銳角、不是銳角、終邊在 y 軸上幾個類別討論。

上述案例，教師在教學基礎知識時，采用分類討論思想，組織學生分類討論角，使他們明白正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標比值為函數值的函數。

五、提倡小組合作學習，促使學生主動分類討論

高中生在數學學習過程中，面對部分難度較大的知識或問題時，僅僅憑借個人能力難以透徹、全面地理解。他們在獨立學習或解題時通常出現考慮不夠周全的情況，以至理解得不夠全面。高中數學教師在課堂教學中運用分類討論思想時要靈活調整，大力提倡小組合作學習方式，組織學生進行小組學習，讓學生在小組內討論、相互啟發與補充，并盡量討論到每一種情況，使其突破個人思維的局限性，體現小組合作學習的優勢，以此提升整體學習效率，推動他們之間互動。

比如，在“數列的概念與簡單表示法”的教學中，教師先引導學生觀察教材 26 頁的主題圖，觀察自然現象中出現的數的規律，讓他們分組討論數的規律，并觀察 28 頁的兩幅圖，使其在小組內討論，引出數列的概念。接著，教師要求學生以小組為單位討論生活中的數列實例，如銀行利息、房貸、購買商品分期付款等，告知他們數列中的每一個數稱為這個數列的項，排在第幾位就是第幾項。之后，學生在小組內討論數列的分類，先在組內總結，再在班內匯總結果，使其按照數列特點進行適當分類。例如，按照數列的項數分為有限數列與無窮數列;按照數列中數的大小特點分成遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列，然后說出教材中幾種數列的類型。

在上述案例中，教師組織學生采用小組合作學習的方式，使其在討論交流中找準、找全數列的幾種分類，讓他們初步理解數列的順序性，感受數列是刻畫自然規律的數學模型。

六、借助解題教學契機，實踐運用分類討論思想

解題教學作為高中數學教學中的重要一環，不僅可以檢測學生對所學知識的掌握與應用情況，而且能夠使他們發現個人的不足與缺陷，使其有目的性地改進和強化，同時也是分類討論思想實踐應用的機會。高中數學教師在具體的課堂實踐中，應該精心設計解題訓練，借助解題教學的契機引領學生運用分類討論思想分析和處理問題，使其掌握分類討論思想的應用方法與技巧，學會用來靈活解題，借此提高他們的解題水平與應用能力，并收獲信心。

比如，在開展“不等式”教學時，當學生學習完教材內容后，教師可設置練習題：

設 0（ax）2 解集中的整數剛好是 3 個，那么實數 a 的取值范圍是什么？

在這里要先把原不等式進行適當轉化，變成[（1-a）x-b][（1+a）x-b]>0。很明顯，要對 a 與 1 之間的關系展開分類討論。①當 a≤1 時，顯然不符合題意，可舍棄;②當 a>1 時，，根據題意得知 ，要想讓不等式的解集中剛好有 3 個正數，那么 ，整理可得 2a-2

上述案例，學生結合不等式的定義運用分類討論思想解題，將較為復雜的問題分解成兩個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答求出正確答案，鍛煉他們的應用意識與能力。

總而言之，分類討論思想是一種相當重要的數學思想方法，在高中數學教學活動中，教師需把分類討論思想科學應用至多個知識要點的講解和習題訓練中，指導學生高效學習，使其快速找到解題思路，提高他們的邏輯思維能力。

（責編 盧建龍）