基于數學思想視角下的分類討論教學研究

張燕

[摘 ?要] 在初中數學教學實踐中，以引導學生實現不同知識點的綜合運用與組合為目標，探究基于數學思想視角下的分類討論教學策略具有重要的意義. 文章以“圓周角”教學為例，探究了初中數學教學中滲透分類討論思想的策略.

[關鍵詞] 初中數學;數學思想;分類討論

思想是數學的精髓，而在解決的問題較為復雜、不能單一分析時，就要應用分類討論思想，這種思想不僅能夠幫助學生正確處理各種不確定性問題，而且也有利于各種數學思維的形成[1]，然而，在日常初中數學教學實踐中，相當數量的學生在分類討論過程中頻頻出現重復、遺漏討論事項的現象，因此，以引導學生實現不同知識點的綜合運用與組合為目標，探究基于數學思想視角下的分類討論教學策略具有重要的意義.

基于數學思想視角下的分類討論教學策略

1. 呈現背景，低起點導入

分類討論思想與其他知識和技能的獲得一樣，均是源于實際生活，因此，教師應擺脫教科書的束縛，降低起點，以基礎知識為主要載體，鼓勵學生從日常現實生活中概括和抽象出分類討論思想，運用形式化的數學符號和文字，使實際問題上升為數學思想[2].

2. 展開討論，確定分類標準

教師應對題目所呈現的數據和運算條件進行周密的研究，思考題目中蘊藏著的隱含條件;然后應用轉化、討論思維，采用分割的方式，將一個較為復雜的問題逐漸分解成為多個簡單的子問題，并在展開討論時要最大限度地注重討論的方向和深度不能超越所選分類的界限. 最后，為了減少學生分層討論時層次亂套、重復遺漏事項的現象，教師應在小組分類討論時，統一分類討論的標準.

3. 深入理解，確認分類方式

在數學題目呈現之后，教師應通過“還有沒有其他想法”“如果是這樣了”等追問的方式引導學生準確挖掘出題目中所隱含的可能性，按照自己確定的數學邏輯關系進行分類討論. 值得說明的是，教師應幫助學生樹立信心，不能被題目中呈現的未知數的數量所干擾，要按照某種邏輯關系厘清所有的知識點，并且在分類時做到細心和耐心.

4. 小組合作，加強論述深度

教師應充分尊重每個學生在分類討論中的意見，提升不同學生在不同分類方法中的應用經驗. 同時，在組織學生小組討論時，應盡可能地不限制或少限制學生的交談范圍，可以以某一突破口不斷對分類思路進行查缺補漏，也可以選擇先自己獨立分類再采用相互交流意見的方式進行.

基于數學思想視角下的分類討論教學實踐

紙上得來終覺淺，僅有相關分類討論教學策略是不夠的，而基于數學思想視角下的初中分類討論教學應是理論與實踐相結合. 在初中數學教學實踐中，相當數量的學生對于圓周角與圓心角概念相互混淆，并且圓周角在判定相似三角形，證明角度、線段相等方面具有重要的作用. 因此，筆者以初中“圓周角”教學為例，深入探究初中數學教學中如何滲透分類討論教學思想.

1. 創設情境，導入新課

依據“最近發展區”原則，可充分利用多媒體呈現如圖1所示的圖形，鼓勵學生仔細觀察，并從角度、弧度等方面引導性地幫助學生思考∠AOB有哪些特點和性質，引導學生溫故已學知識圓心角的概念和性質. 隨后，呈現如圖2所示的圖形，創設如下的教學情境，即在某海底游樂園中，點O，C，D，E為甲、乙、丙、丁四個游客所的位置，試問：從數學的角度分析，站在哪個位置能夠從圓弧形玻璃AB處看到海底內部更多的景物？從而結合日常情境設置一個懸念，引出本節課程所學知識——圓周角.

2. 合作探究，學習新知

仍以創設的情境——圖2為例，要求學生獨立思考∠ACB，∠ADB，∠AEB這三個角之間的共同特征，引導學生明確圓周角的特點. 以小組為單位，學生類比以前已經掌握和熟悉的圓心角概念，歸納概括得出“圓周角”的概念，并要求學生思考圓周角與圓心角概念之間的區別和聯系，獨立完成表1.

然后，呈現如下的變式題目（如圖3），要求學生利用圓周角的概念，說明該圖形是否是圓周角. 對于是圓周角的，要求學生重復圓周角判定的條件;對于不是圓周角的，要求學生說明理由. 同時，利用題目滲透分類討論思想，結合前面的教學，進一步幫助學生完善知識結構，歸納總結出圓心角與圓周角之間的三種不同位置關系，即圓心在圓周角的一邊上、內部和外部三種情形.

3. 觀察實驗，測量比較

在明確圓周角概念之后，教師還應引導學生探究圓周角的性質[2]. 在具體實踐中，教師應讓學生以小組為單位，要求學生在紙上任意繪畫一條弧AB所對應的圓周角和圓心角，如圖4、圖5、圖6所示.

然后引導學生思考如何應用所學技能測量出圓周角和圓心角的角度，并指導學生應用量角器測量完成表2中的數據，鼓勵學生從數值的角度猜測圓心角與圓周角之間的等量關系. 值得說明的是，對于未發現圓周角和圓心角規律的小組，教師應發揮主導作用，引導他們從位置、角度等方面發現規律. 對于已經發現規律的小組，教師應鼓勵他們反思探究過程，思考如何從數學語言的角度準確表達出自己的猜想.？搖

4. 驗證猜想，深化思想

在上述測量比較、充分討論的基礎上，教師應隨機邀請一組，要求本小組闡述探究過程中出現的疑惑或問題，本小組最終歸納和總結出的規律. 然后，滲透信息技術教學，充分利用幾何畫板中的動態圖像功能直觀演示，從而有效驗證上述所得猜想. 最后，為了培養學生嚴謹的數學思維，教師要求學生根據探究過程寫出已知和未知條件，并通過圓心O在∠ACB上、內部和外部三種情況進行驗證.

以驗證圓心O在∠ACB上為例，如圖6所示. 因為OC=OB，所以∠B=∠C. 因為∠AOB是∠BOC的外角，所以∠AOB=∠C+∠B，所以∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB.

同理，教師還應指導學生應用從特殊到一般的思想，要求學生以小組為單位繼續驗證圓心O在∠ACB內部和外部兩種情況.

5. 反思感悟，總結提升

在學生經歷圓周角定理探究之后，教師應以本節課程中的收獲為主題，要求學生總結和完善自己的知識結構，并以課前所設置的懸念為主題，反過來要求學生繼續思考課前提出的問題，然后應用圓周角定理，得到只有站在O處的位置，觀察A，B兩點的視角最大，其余C，D，E的位置，由于均為圓周角上的一點，所以其觀察效果是一樣的.

值得說明的是，在上述組織學生學習圓周角的過程中，主要采用引導發現、合作探究的形式，其中圓周角與圓心角三種位置關系屬于圖形位置不確定而引起的分類討論. 縱觀初中數學教學過程，其分類討論思想還體現在以下幾個方面：一是由于題目中字母的不同取值、位置的不同而引起的討論;二是由于限制條件不同而引起的討論;三是計算時受實施條件的限制而引起的討論. 在具體教學實踐中，教師應讓學生以小組為單位，鼓勵思維嚴密完整的學生帶動思維水平較低的學生，從而實現“兵教兵”的效果;并且還可以應用一些經典范例，結合課堂小結、單元總結概括提煉出分類思想，促使學生不斷增強思維的嚴密性[3].

結語

總之，基于數學思想視角下的分類討論思想不是一朝一夕就能在教學中滲透的，教師應在具體數學教學過程中，以數學知識為載體，采用低起點、頻追問、小組合作的方式不斷滲透數學思想方法，只有這樣，才能不斷提升學生解題能力、思維能力，改善學生學習的技巧、方法，深刻理解數學的內涵，促進學生的數學素養的提升.

參考文獻：

[1]潘楷佳. 例談分類討論數學思想方法的教學策略[J]. 中學數學，2019（14）.

[2]馬軍. 分類討論思想讓初中數學教學更精彩[J]. 數學教學通訊，2018（08）.

[3]張雪梅. 關注幾何圖形的多樣性 ? ?凸顯分類討論思想——分類討論思想在解題中的應用及思考[J]. 中學數學，2014（08）.