類比中獲新知 應用中顯能力

陳兆緒

[摘 ?要] 《義務教育數學課程標準》中明確指出：“要讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理和初步演繹推理能力. ”其中，“類比法”是培養學生合情推理能力的一種重要數學思想方法. 在初中數學解題教學中，教師應引導學生在運用類比法的過程中學會發現、學會遷移、學會歸納，掌握解題技巧與方法，從而讓學生在類比中獲得新知識，在應用類比中提升解題能力.

[關鍵詞] 初中數學;類比思想;解題教學;能力培養

所謂“類比法”，是指在學習新的數學知識時，通過聯想與其性質、特征相似的已有數學知識，利用新舊知識的相同點，利用處理已有知識的數學方法來獲得新知的一種特殊的處理方法. 在初中數學教學中，新概念、新定理、新性質、新運算規則等增加如潮，往往學生雖然做了大量的習題訓練，但遇到新題型或題型變式，就會變得無從下手，因此，引導學生運用類比推理的方法來解決數學問題，無疑能讓復雜的問題簡單化、未知的問題已知化，學生的解題效率能得到極大程度的提升，有效促進學生解題能力的發展.

指導學生在類比中歸納

“從特殊到一般”與“由一般到特殊”是人類認識客觀世界的一個普遍規律. 人類對于知識的認識并非是一蹴而就的，而是需要經歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性認識到理性認知的螺旋式發展過程. 在數學學習研究中常用的“類比法”集中體現了“從特殊到一般”的認知規律. 歐拉說過：“類比是偉大的引路人. ”他的許多定理都是通過在類比中不斷地歸納總結而形成的. 在初中數學解題教學中，類比法是學生發現解題思路的重要手段，甚至是發現新知識、新規律的重要手段. 事實上，對于一些比較復雜的、陌生的數學問題，往往要經過多次類比、猜想、論證的過程，對于數學能力比較薄弱的初中生而言，要讓其靈活運用類比法，還需要教師在解題教學過程中有意識地啟發與引導學生通過類比去思考、去學習、去歸納與總結，從而幫助學生掌握數學解題規律.

例如，“折疊問題”是學生學習中的重難點，尤其是對于部分空間想象能力比較薄弱的學生而言，難以想象出折疊后圖形的形狀，從而導致解題錯誤或失敗. 因此，筆者采用了問題串的形式，讓學生通過對題型和問題的類比分析，掌握折疊問題的解題規律.

例1 如圖1所示，ABCD為長方形，E為CD邊上一點，連接AE，將長方形ABCD沿著直線AE折疊，其頂點D正好落在BC邊上的F點. 已知AB=8，CE=3，求S .

例2 如圖2所示，在長方形ABCD中，已知CD=1，BC=，現將長方形ABDC沿著其對角線BD進行折疊，其頂點C落在C′處，求S .

教學時，在學生尋找到解題方法后，引導學生比較例1和例2：

（1）在兩道例題求解過程中都用到了哪些知識點？

（2）通過比較例1和例2，你能得出什么規律？

（3）你能在上述認知的基礎上解決例3嗎？

例3 如圖3所示，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，現將矩形ABCD沿著直線CE進行折疊，恰好使得矩形頂點D落在對角線AC上的點F處.

（1）求EF的長度;

（2）求梯形ABCE的面積大小.

通過類比與歸納發現，在例1和例2的求解過程中，運用了軸對稱、全等三角形、勾股定理、相似三角形、方程等相關知識. 在解決這類問題時，主要運用三角形相似和直角三角形的勾股定理來構造方程，綜合運用了方程思想、轉化思想. 學生在掌握矩形折疊問題的常用方法及步驟技巧后，再運用類比法來求解例3就會變得容易很多. 可見，運用類比，可以讓學生在比較中發現解題規律與方法，并能運用這種方法來解決新的問題，有利于強化學生的解題能力.

指導學生在類比中遷移

所謂“類比遷移”是指學生運用熟悉問題的解決方法去解決新問題的一種解題策略. 類比遷移主要包括類比源的選取和關系匹配兩個環節，其中任何一個環節出錯，都會導致類比遷移出錯，形成類比負遷移. 在類比遷移過程中，包括數學思想方法和解題方法的遷移. 為避免出現類比負遷移，教師應采用靈活的方式方法，讓學生把握問題的本質和數學的真諦，力爭讓學生在解題過程中少走彎路，提高解題效率，促進學生解題能力的培養.

例如，在有關“相似三角形”的解題教學中有這樣一道例題：

例4 如圖4所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=7，∠ABC=60°，取BC上一點P，連接PA，取DC上點M，連接PM，使得∠APM=∠ABC.

（1）求AB的長度.

（2）在BC邊上是否存在一點P，使得=，若存在，求出BP的長度;若不存在，請說明理由.

學生在求解這道題目時，由于P點和M點都未知，很多學生感覺束手無策，不知道從何下手，這時筆者并未直接告訴學生解題思路，而是繼續給出了例5：

例5 如圖5所示，在等邊三角形ABC中，已知：∠APM=60°，BP=1，CM=，求三角形ABC的邊長.

對于例5筆者進行了解題指導：

師：通過讀題，除了題目中給出的，你們還可以發現哪些條件？

生：AB=BC=AC，∠B=∠BAC=∠C=60°.

師：結合已知條件和圖形，你們覺得△ABP和△PCM有什么關系？

生：兩個三角形相似.

師：請說明你的理由.

生：因為∠APC=∠APM+∠MPC=60°+∠MPC，又∠APC=∠ABP+∠BAP=60°+∠BAP，所以∠MPC=∠BAP，又∠B=∠C=60°，所以，△ABP和△PCM相似.

師：非常不錯. 接下來怎么做呢？

生：根據相似三角形對應線段成比例就能求出AB的長度.

師：非常好！那么，我們現在再來看看例4，你們是否有思路了呢？

生：例4就是將例5中的三角形改成了四邊形，以此類推，同樣可以得到△ABP和△PCM相似. 再根據相似三角形對應線段成比例，也能求出AB的長度.

可見，在例4和例5的解題過程中都利用了相似三角形的判定和性質，學生通過對例5中解題思路的分析，明確了這類題目的核心本質，此時，再讓他們求解例4，學生運用類比遷移的方法自然就會使得問題解決變得容易許多，大大提高了解題效率，為培養學生解題能力奠定了有利基礎.

指導學生在類比中發現

所謂“類比發現”是指在解決數學問題過程中的思維表現在探求中發現問題，并按照相關問題的解決策略進行求解的一種思維方法. 相比于類比歸納，類比發現的表現方向存在顯著差異. 類比發現是在原有數學問題基礎上通過尋找合理的類比對象，然后與其他數學思維方法進行有效結合來解決問題的一種策略. 對于初中數學來說，各個知識點之間存在一定的關聯性，同樣的，各個題目之間也存在一定的關聯性，因此，為了幫助學生更好地發現其關聯性，降低解題的難度，在初中數學解題教學中，教師要指導學生在類比中發現各項數學理論知識之間的關聯性，這樣能為縮短學生解題時間做好鋪墊，同時也對培養與提高學生分析與解決問題的能力具有十分重要的意義.

例如，在“幾何圖形面積表示”的解題教學中有這樣一道例題：

例6 如圖6所示，某些代數恒等式可以利用幾何圖形的分割來表示. 如甲圖中，可以用圖形面積表示（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2. 還有很多恒等式可以采用幾何圖形來驗證.

（1）寫出圖乙中所表示的代數恒等式;

（2）已知代數恒等式：（a+2b）2=a2+4ab+b2，請在圖丙中利用圖形面積來驗證等式的正確性.

為了幫助學生更好地理解乘法公式的幾何圖形表示方法，筆者給出了以下例題幫助學生回顧相關知識.

例7 如圖7所示. 在一個邊長為a的正方形中，現挖掉一個邊長為b的正方形，如圖甲所示，然后將剩余的部分拼成一個長方形，如圖乙所示. 根據甲和乙中兩個圖形陰影部分的面積關系，可以得到的乘法公式是：_________.

通過對例7的求解過程進行分析，引導學生回顧乘法公式的幾何表示方法. 這時我們再來看例6，第（1）小問如何解決呢？是否可以采用例7中類似的方法呢？第（2）小問又如何解決呢？通過類比可以發現這兩道例題之間的聯系與區別，其聯系在于都運用了數形結合的思想方法，其區別在于例7和例6中第（1）小問，都考查形到數的變化，而例6中的第（2）小問，關注的則是從數到形的變化，是對學生逆向思維和數形結合思想方法的綜合考查.

可見，通過上述問題的類比分析，一方面可以幫助學生回憶舊知識，另一方面能提高學生將問題從陌生向熟悉、從一般向特殊轉化的能力，有效鍛煉了學生的解題思維.

結束語

著名數學家拉普拉斯曾說過：“甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納與類比. ”可見類比對于數學學習的重要性. 在初中數學教學中，培養學生的類比思維，讓學生從已有知識體系中提取相關知識與技能，幫助學生掌握新知識，不僅有利于學生對知識的深刻理解，提高學生的數學應用能力，而且能進一步促使學生認知思維本質與結構的形成，培養學生自主探索知識與創造知識的能力，有效提高學生的數學學習效率.