把握估測本質落實數學核心素養

陳廣川

摘要：課堂教學中，教師要抓住核心素養的基本要素，從學生終身發展的角度關注知識的本質，引導學生經歷探究、思考、抽象、推理、反思等過程，促進核心素養落地，讓學生終生受益。在“解決問題（不規則圖形的面積）”的教學中，要把握估測本質，按照小學數學核心素養綜合性特征的要求，落實到位。

關鍵詞：估測;本質;核心素養;落地

數學學科核心素養要求面對真實情境中的數學活動，通過體驗、感悟和反思，抽象出數學概念、命題和結構，建立數學模型，運用邏輯推理和運算去解決問題。這種要求需要以數學認知為基礎，以數學基本思想和關鍵能力為核心，以獨立思考和自主學習、經歷數學核心素養的形成過程為關鍵。課堂教學中，教師要抓住核心素養的基本要素，從學生終身發展的角度關注知識的本質，引導學生經歷探究、思考、抽象、推理、反思等過程，促進核心素養落地，讓學生終生受益。下面以人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“解決問題（不規則圖形的面積）”為例，詮釋我對發展學生數學核心素養的理解。

一、設計思路

人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“多邊形的面積”單元例5“解決問題（不規則圖形的面積）”，是《義務教育數學課程標準（2011年版）》實施后新增加的內容。教材呈現了借助方格紙估計不規則圖形（樹葉）面積的內容，旨在通過經歷解決不規則圖形的全過程，培養學生的估算意識和估算策略，提高學生綜合應用數學知識解決實際問題的能力。

估測或估計是《義務教育數學課程標準（2011年版）》突出強調的內容。估測或估計，既是一種意識的體現，也是一種能力的表現;不僅具有現實意義，而且也有助于學生感受度量單位的大小。

估算策略中最重要的是要為估計的事物找到一個適合的測量標準，然后利用這個測量標準去估計。在本節課的教學中，根據樹葉的大小，教材呈現了借助方格紙估計不規則圖形的不同方法。一種是數格子（每個小方格面積為1㎝2）的方法。先確定這片樹葉的面積范圍，分別數出滿格和不是滿格的格子數，就能確定面積的區間，再把不滿一格的按半格計算，估計出它的面積。另一種是根據圖形的特點轉化為近似的規則圖形來估計。教材中呈現的是轉化為平行四邊形，利用方格紙的刻度，找出計算平行四邊形面積的條件進行估算。這是估算思想在圖形與幾何中的應用。

基于對教材的研讀，估測不規則圖形的面積的教學主要有三個層次：一是在閱讀與理解中培養學生收集整理信息與發現問題的能力;二是在分析與解答中讓學生經歷估算不規則圖形的全過程，培養學生的估算意識，使學生掌握估算的方法，體會估算策略和方法的多樣性;三是在回顧與反思中使學生積累數學活動經驗和方法。

五年級的學生已經經歷了多種規則圖形面積計算公式的推導過程，并能夠熟練運用計算公式解決問題，而且在前一課時中已經學習了用分割法、添補法來計算組合圖形的面積，這樣的轉化、連接、層次有序都為本節課的學習做了鋪墊。但是，對于估計不規則圖形面積的大小，學生還是有實際困難的。因為估算是一種開放性的創造活動，往往帶有許多不確定性的因素。所以，對事物進行估計時，需要學生對度量單位有很好的認識與把握，同時還需要他們具有一定的空間觀念，這對學生的思維能力和想象能力來說是一個不小的挑戰。

根據教材編排意圖和學生的認知基礎，我確定了本節課的教學目標：

1. 會用不同的方法估計不規則圖形的面積，逐步發展空間觀念。

2. 在自主探究過程中，體會解決問題方法和策略的多樣性，培養學生的估測意識和解決實際問題的能力。

3. 通過實踐操作、合作交流，幫助學生積累活動經驗，感受數學思想。

教學重點：用不同的方法估計不規則圖形的面積，體會解決問題的不同策略。

教學難點：培養學生的估測意識。

教學思路：生活情境中發現問題;自主探究中解決問題;實際應用中提升能力;回顧整理中發展素養。

二、課例展示

（一）情境創設，發現問題

師：同學們，前面我們已經學過基本圖形面積的計算方法，你能快速算出方格紙上圖形的面積嗎？

師：看屏幕，做好準備，搶答開始。長方形——

生：面積是15平方厘米。

師：你怎么算得這么快？

生：長方形面積等于長乘寬。長5厘米，寬3厘米，面積是15平方厘米。

師：你們是利用公式算的，又快又準。

師：搶答繼續。平行四邊形——

（學生爭先恐后地回答）

生：平行四邊形底是4厘米，高6厘米，面積是24平方厘米。

生：24平方厘米。

師：準確。大家反應真快！

師：繼續。樹葉——

（學生面面相覷）

師：怎么不搶答了？

生：沒有計算公式。

師：因為這片葉子是不規則的圖形，沒有固定的公式求面積，只能大致估算面積是多少。

師：這節課，我們就一起來探究不規則圖形面積的估測方法。（板書課題：不規則圖形的面積）

創設搶答情境，意在制造思維矛盾，引發學生對新知的探究興趣。學生對基本圖形的面積計算已經了然于心，長方形、平行四邊形的面積計算對他們而言，輕車熟路，兩道搶答題給了他們展示自己的機會，學生興趣盎然，喜悅之情溢于言表。此時，突然出現的樹葉面積令學生措手不及，他們思維高度集中，對不規則圖形面積的探究產生了濃厚的興趣。這樣，不僅實現了課題的巧妙引入，而且有利于學生啟動原有知識來參與新知識的學習。情境創設，簡約而高效。

（二）自主探究，解決問題

（屏幕出示例5）

1.閱讀與理解

師：請看例5的題目要求，從題中你獲得了哪些數學信息？

生：已知條件是每個小方格面積是1平方厘米，問題是估計這片葉子的面積。

師：要解決這個問題，你覺得有什么困難？

生：樹葉把方格紙的格線蓋住了，數起來不方便。

師：你想用數格子的方法，對嗎？好，老師把它設成透明的方格紙。這樣可以了嗎？

生：可以了。

2.分析與解答

師：我們的探索之旅就從這里開始。請看下面的“學習提示”。

師：聽清要求了嗎？先獨立完成，然后再小組交流。

師：探究時間為8分鐘，計時開始。

（學生自主探究，教師巡視，適時指導，搜集教學資源。）

師：老師發現有的同學用兩種顏色的筆，把整格的和不是整格的，分別標出了數字，這種方法真好，清晰而明確，一目了然。

師：這名女同學不但列出了算式，還用文字清楚地敘述出自己的估算方法，真會學習。

師：這名同學，畫圖形應該用尺，記得規范畫圖哦。

（學生獨立學習結束，開始組內交流）

師：要重點交流對于不滿一格的，你是怎么估計的。

自主探究落到實處的關鍵是要給學生提供自主學習的時間與空間，并適當給以方法的指導。在學生操作探究的過程中，教師應及時捕捉優點和不足，做全班性的提示，給潛能生搭建探究的階梯。在小組合作交流的過程中，教師應提醒學生要重點交流“對于不滿一格是怎么估計的”，直指探究的關鍵點。這樣，教師作為組織者、引導者、合作者角色的價值發揮得淋漓盡致。再看學生，他們在探究過程中全身心地投入，小組中同伴思維的火花激情碰撞，這些都是他們收獲到的最寶貴的財富。

3.全班匯報

師：愿意把你估計的樹葉面積和大家分享嗎？

師：老師把大家的估計結果在數軸上表示出來。

生：樹葉的面積大約是18平方厘米。

生：樹葉的面積大約是36平方厘米。

生：樹葉的面積大約是27平方厘米。

生：樹葉的面積大約是28平方厘米。

生：樹葉的面積大約是29平方厘米。

生：樹葉的面積大約是30平方厘米。

（教師同步在數軸上進行統計）

首先，確定樹葉面積的范圍時有如下實錄——

師：估計樹葉面積是18cm2的同學，能說說你的估算方法嗎？

生：我用的是數方格的方法。方格紙上樹葉有18個整格，我只看整格，估計它的面積是18cm2。

（教師板書：數方格）

師：18個整格，你們同意嗎？一起來數一數。

師：她估計樹葉的面積是18cm2，實際面積一定比18 cm2大嗎？

生：比18 cm2大。

師：我在數軸上18的位置畫個空心圓圈，表示不包括18。

師：大家注意到沒有，剛才這名同學的估計方法有點類似于我們取近似值時用到的“去尾法”，不滿一格的全都忽略不計。

師：估計面積是36cm2的同學，說說你的估算方法。

生：18個整格，還有18個不滿一格的。（教師同步出示標號）我把不滿一格的也看作整格，一共有36個。面積就是36 cm2。

師：樹葉的實際面積比36 cm2大嗎？

生：比36 cm2要小。

師：我在數軸上36的位置也畫空心圓圈，表示不包括36。

師：他這種估計方法和我們取近似值時的什么方法類似？

生：進一法。

師：把不滿一格的也看作整格來估計。很有想法。

師：根據剛才這兩名的同學的匯報，現在你知道這片葉子的面積一定大于多少，不會超過多少嗎？

生：這片葉子的面積一定大于18 cm2，不會超過36 cm2。

師：大家應該感謝這兩名同學，它們的估計方法合起來，就是我們確定圖形面積范圍的方法：只看整格，得到面積范圍的下限;把不是整格的都看成整格，得到面積范圍的上限。

師：這片葉子的實際面積就介于18 cm2到36 cm2之間。

把學生估計的結果利用數軸進行統計，這樣很好地滲透了“區間套”的思想。在學生匯報估計方法的過程中，引導學生與取近似值的方法聯系起來，滲透了知識之間相互聯系、相互轉化的觀點，培養了學生用普遍聯系的觀點來看待問題、分析問題的能力。

估算圖形面積的教學實錄如下。

師：在這個范圍內，我們估算出的結果有27cm2、28cm2、29cm2、30cm2。

師：估算結果有差異，說明差在對不滿一格的面積的處理上。接下來，我們就重點聽聽大家對不滿一格的是怎樣估計的。

【方法一】

師：估計樹葉面積是27平方厘米的同學，說說你估算的具體過程。

生：18個整格，面積是18cm2。18個不滿一格的，都看成半格，18格半格合成9個整格，也就是9cm2。18+9=27cm2。

師：這是她的估算過程。誰和她的方法差不多？結合一體機上的格子圖講一講。

生：這是18個整格（用黃色筆圈出整個輪廓），面積是18cm2。這是18個不滿一格的（用綠色筆圈出），不滿一格的按半格計算，18個半格就是9個整格，面積是9cm2。18+9=27cm2。

（教師板書：18+18÷2=27cm2）

師：表述得非常清楚。為他鼓掌。這是他們的估算方法，把不滿一格的都按半格計算。

【方法二】

師：估計樹葉面積是28cm2的同學，講講你們的估算過程。

（投影展示學生的學習報告單）

生：我用移多補少的方法，將不滿一格的兩個或三個拼成一格。15和16、2和3、5和6、1和4 、7和10 、8和11 、 9 和12 、13和14、多余的補給17和18 。這樣就能拼出10個整格，18+10=28 cm2。

師：聽懂他的估算方法了嗎？他是采用移多補少的方法，將不滿一格的兩個或幾個拼成一格。

【方法三】

師：估計樹葉面積是29cm2的同學，講講你們的估算過程。

生：（一體機前邊畫邊講）不滿半格的有7個，忽略不計。（學生邊講邊在3、4、10、11、12、13、15這7格上打叉）超過半格有11個，看成整格。18+11=29 cm2。

師：她的思維很獨特，有點類似我們取近似數時用的四舍五入。超過半格的11個都看成整格。

【方法四】

師：估計樹葉面積是30cm2的同學，你是怎樣估算的？

生：我不是用數格子的方法，我是把樹葉圖轉化成近似的平行四邊形來計算的。

（教師板書：轉化）

師：你的思維真敏銳。想到把新的問題轉化為舊的知識來解決，非常好。的確，把不規則的圖形轉化為某個近似的規則圖形，再利用公式就可以算出面積了。

師：想法非常好。那向大家說說你是怎么做的？結合你的學習報告單來講。

生：我根據葉子的輪廓，在格子圖上畫出平行四邊形。平行四邊形的底是5厘米，高是6厘米，它的面積就是30平方厘米。

（教師板書：5×6=30cm2）

師：多少同學采用了這種把不規則圖形近似看作規則圖形來估計面積的？（有十幾個人舉手）

師：不錯。你們都是把葉子看作近似平行四邊形的嗎？有沒有不同想法？

生：我根據葉子的輪廓，在格子圖上畫出長方形。長方形的長5厘米，寬是6厘米，它的面積也是30平方厘米。（展示學習報告單）

師：你們真有辦法。用長方形或平行四邊形去替代不規則圖形，算起來方便多了。還有不同的估計方法嗎？

匯報環節，教師充分尊重了學生的個性特征，給用不同估計方法的學生提供了充分展示交流的空間和時間，學生的思辨能力和邏輯思維能力得到了淋漓盡致的展現和發展。學生在一體機上邊操作邊講述或結合學習報告單講述，不同的思維過程，不同的估計方法，異彩紛呈。在理解方法、實踐操作與合作交流中，學生掌握了確定面積范圍的思考方法，理解了有差異的估算結果，體會到了數學學習的樂趣，使課堂真正成了學生知識構建、能力提升、思維深化的沃土。

4.回顧與反思

師：通過剛才的學習，今后我們再遇到不規則的圖形，可以怎樣估計它們的面積？

生：可以數格子，也可以轉化成近似的規則圖形。

師：通過數方格，我們可以先確定圖形面積的范圍。這片樹葉的面積數值就介于18和36之間。確定好范圍后，再估算圖形的面積。

師：估算過程中，可以把不滿一格的按半格計算，得到樹葉的面積大約是27平方厘米。

師：還可以移多補少，把半格拼成整格，估計出這片樹葉的面積大約是28平方厘米。

師：也可以把不足半格的忽略不計，超過半格的看成整格，估測出樹葉的面積大約是29平方厘米。

師：對不滿一格的處理，我們想到了這些辦法，你們最喜歡哪種方法？

生：不滿一格的按半格算比較簡便。

師：用方格紙計數估計常用的方法就是不滿一格的按半格計算。

師：除了數方格，也可以把不規則的圖形轉化為規則的圖形進行估算。這里我們根據樹葉的形狀，轉化為近似的平行四邊形和長方形，然后根據圖形的面積計算公式，估算出葉子面積大約是30平方厘米。

師：不規則圖形轉化為規則圖形時，我們要注意什么？

生：要通過移多補少，使之盡量接近規則圖形，這樣估測的結果更接近準確值。

師：大家看，27、28、29、30這四個數值，都在18～36這個面積范圍內，都是符合要求的。估算與精確計算相比，結果不唯一，合理即可。

在學生自主探索出不規則圖形面積估測方法的基礎上，教師引領學生對探索過程進行了系統回顧，幫助學生積累了活動經驗，明確了解決問題策略的多樣性，從中提煉了規律性知識：借助方格紙進行估計，最常用的取近似值的方法就是不滿一格的按半格計算;采用轉化法，要通過移多補少，使之盡量接近規則圖形;在精確程度要求不是很高的情況下，估計結果只要在合理范圍內即可。這樣，在師生、生生的多維互動中，實現了共同成長。

（三）學以致用，提升能力

師：剛才，我們估測了樹葉的面積，采用的方格紙上小方格的面積是1平方厘米。下面我們要估測池塘的面積，圖中每個小方格的面積確定為多少比較合適呢？

生：1平方米。

師：結合具體情境，選擇適當的單位是估算的核心。

【題目一】上圖中每個小方格的面積為1m2，請你估計這個池塘的面積。

生：我把這個池塘轉化為一個近似的長方形，長12米，寬8米，面積96m2。

生：我用數方格的方法，得到這個池塘的面積是100m2。

生：我把這個池塘轉化為近似的平行四邊形，底是11米，高是9米，面積是99m2。

師：不錯，大家采用不同的方法都估計出了這個池塘的面積。

師：解決教材上的求不規則圖形的面積，我們可以用數方格的方法估算面積，也可以用轉化成近似規則圖形的方法進行估算。

師：在現實生活中求不規則綠地的面積、湖水的面積，還能數方格嗎？

生：不能。要把不規則圖形看成規則圖形再去求面積。

師：對。把不規則圖形看成規則圖形再去求面積進行估算，在日常生活中用得最多。我們可以用目測或步測的方法，得到計算規則圖形面積所需的條件，然后利用面積公式進行計算。

簡單的一個過渡，既將新知與訓練有機地融為一體，又巧妙地強調了要結合具體情境，選擇適當的估算單位和估計方法，使學生在應用中積累了數學活動經驗。

【題目二】估計下面三個圓的面積，你發現了什么？（提示：先計算每個小方格的面積，再估計圓的面積。學生分組完成。）

生：我用數方格的方法估計第一個圓的面積是160cm2 ?。正方形一共有16個整格，陰影不滿一格的有12個，12個半格拼成6個整格。16-6=10，圓面積大約是10個整格，列式是（16-12÷2）×（4×4）=160cm2 ?。

生：我用數方格的方法估計第二個圓的面積是176cm2 ?。32個整格加上不滿一格的24個半格拼成的12個整格，一共是44個整格。列式是（32+24÷2）×（2×2）=176cm2 ?。

生：第三個圓方格太多，我把它平均分成四份，估算出一份的面積再乘4，得到整個圓的面積。

師：你真聰明。把復雜的問題簡單化，很好。繼續講。

生：我用數方格的方法估計出一份的面積是48m2 ?，整個圓面積大約是196cm2 ?。

師：現在老師告訴你，這個圓面積是200.96cm2 ?。哪個估算值最接近？

生：第三個。

師：你有什么發現？

生：方格越來越小，估計的結果越來越準確。

生：同一個圓，方格紙上的方格越小，估計得越準確。

師：你總結得真精彩。的確是這樣，選擇的測量標準面積越小，估算越精確。這種方法很重要。分數、小數的產生都與細分有聯系。著名科學家阿基米德就是運用這種極限思想解決了圓面積的計算問題。

估測和估計的意識和能力是在實踐中發展起來的。這里讓學生估計三個圓的面積，主要目的不是為了得到一個更精確的結果，而是要讓學生經歷分析問題與解決問題的過程，了解有使得估計結果更準確的數學方法，學習用數學的工具與方法探索更加接近實際的估計值，初步感知極限思想。

（四）回顧整理，拓展延伸

師：通過這節課的學習，你們掌握不規則圖形面積的估測方法了嗎？誰來說一說。

生：可以數方格，也可以把不規則圖形轉化成近似的規則圖形估算面積。

師：估計不規則圖形面積，除了這兩種方法外，還有一種神奇的方法——“稱法”。

師：推薦同學們課下到網上去搜索《尺算法與“地圖面積”測量》這篇文章，認真閱讀后，“稱出面積”的奧秘就解開了。

學生通過自主探索，已經掌握了估計不規則圖形面積的兩種方法，這里教師提出的“面積還可以稱量”，引起了學生極大的好奇心，相信很多學生課下都會去搜索教師推薦的閱讀文章，解讀“稱出面積”的奧秘。這也正是教師設計用意之所在。數學閱讀作為拓展數學課程的新領域，不能限于原有知識技能的鞏固，更應關注學生在數學閱讀活動中積累了哪些經驗，感悟到了哪些思想，要讓學生在閱讀中品味數學的魅力。

三、教學反思

數學教學的目的之一是促進學生數學素養的提升，而數學學科活動是形成學科素養的路徑和關鍵之所在。在本課的教學實踐中，教師以培養學生的估測意識和解決實際問題的能力為重點，緊緊抓住解決問題的“三要素”展開教學，引導學生經歷數學化的探索過程，在活動中積累數學活動經驗，領悟不規則圖形面積的估測方法，體驗方法的合理性，使不同程度的學生在不同的思維層次上得到了不同的發展。

（一）聚焦知識本質，培養學生的估測意識和估算策略

歐內斯特指出：“數學教學的問題并不在于尋找最好的教學方式，而在于明白數學是什么……如果不正視數學知識的本質問題，便解決不了教學上的爭議。”估測最重要的是要確定一個合適的測量標準，然后利用這個測量標準去估計。比如，利用計數單位估一估參加體操比賽的人數;利用計量單位估一估桌面的面積;利用某一參照物如步長估一估學校到家的路程，等等。

本節課借助方格紙來估計不規則圖形的面積，意在幫助學生建立起規劃和設計的意識，即根據要估計的精確程度來確定估計方案。教師以此作為學生自主探索的著眼點、組內交流的發言點、集體匯報的落腳點、歸納總結的提升點，引領學生真正經歷了疑問—欲求—嘗試—發現的探究過程，使學生在思維的沖突與碰撞中完成了對不規則圖形面積估測方法的模型建構。

1.借助方格紙

（1）粗略估計的方案：小方格里有圖形就記為1，這種方法估計的比實際面積大;小方格里沒有圖形就記為0，這種方法估計的比實際面積小。實際面積應該在這兩個估計值之間。

（2）精細估計的方案：不滿一格的按半格計算。選擇的測量標準面積越小，估算越精確。

（3）在精確程度要求不是很高的情況下，估計結果只要在合理范圍內即可。

2.利用近似圖形

還可以轉化為近似的規則圖形進行估計。通過移多補少，使之盡量接近規則圖形。

縱觀整個探究過程，操作與思考共存，理解與表達共舞，實現了學生思維能力和空間觀念的共同生長。

（二）巧妙點撥引導，有效滲透數學思想方法

估測是一種高級的數學推理能力，是一種內在的思維活動過程。在本課的教學中，我以實踐活動為載體，引導學生在“做”數學的過程中，感悟數學思想，積累數學活動經驗。

1.探究新知環節

（1）把學生借助方格紙估計的結果利用數軸進行統計，數形結合，很好滲透了“區間套”思想。

（2）在學生匯報估計方法的過程中，引導學生與取近似值的方法聯系起來，滲透了知識間相互聯系、相互轉化的觀點，培養學生用普遍聯系的觀點來看待問題、分析問題。

（3）引導學生把不規則的圖形轉化為某個近似的規則圖形，再利用公式算出面積，滲透了轉化的思想。

（4）在學生匯報的過程中，強調基于體驗的語言描述，通過表達的逐漸完善，促進思維的不斷深化。

2.學以致用環節

設計了估計三個等圓的面積的習題，目的是讓學生經歷分析問題與解決問題的過程，了解有能使估計結果更準確的數學方法，知道用數學的工具與方法探索，會更加接近實際的估計值，讓學生初步感知了極限思想。

3.回顧整理環節

推薦學生課下網上搜索《尺算法與“地圖面積”測量》這篇文章，激發了學生數學閱讀的興趣，讓學生在鞏固知識技能的同時，在數學閱讀活動中積累了活動經驗，感悟了數學思想，讓學生在閱讀中品味到了數學的魅力。

這是一節融入了數學思想方法的課堂教學，充滿了濃厚的數學情趣，學生在活動中思維得到磨礪，解決問題的方法逐步優化，學習的經驗得到充實，成功、自信的體驗得到強化。數學課堂教學回歸本質，抓住蘊含在知識背后的能力、方法、策略、思想等方面，就是學生核心素養發展的最好體現，這是實現數學教育讓每一位學生都能充分得到發展的重要保證。

參考文獻：

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（責任編輯：楊強）