基于理解，經歷概念建構的過程

錢秋琴 楊明

摘要：數學概念是數學基礎知識的重要組成部分。“有余數的除法”教學中，低年級學生首次接觸余數，教師要重視學生獲得這一概念的過程。應不斷追尋更適合學生通過主動探索獲得知識的教學設計，讓學生在動手操作中感知余數概念，在猜測驗證中感悟余數性質，重視概念的建構，從而發展數學思維，提高解決問題的能力。

關鍵詞：概念建構;余數;小學數學教學

概念是數學的重要組成部分，教師只有重視數學概念教學，引導學生真正理解數學概念的本質，才能讓學生靈活地應用所學的數學概念解決問題。“有余數的除法”一課的教學重點是：認識有余數的除法以及余數的含義。教學難點是：理解“余數要比除數小”。

一、初試課：發現問題，研討反思

基于對教材的理解，我們對本節課的總體設計有了一個初步的設想，但在試教過程中發現了以下問題：（1）教學開始直接創設情境，導入“分鉛筆”，學生的學習興趣還沒有充分調動起來，感覺比較突兀、枯燥，學生比較被動。（2）例1“分鉛筆”：每人3支，可分給幾人？每人4支，可分給幾人？直接讓學生通過在紙上圈一圈、分一分得出結果，學生沒有直觀感受和操作體驗，對余數的感知不深刻。（3）例2“用小棒擺正方形”，可以擺出幾個，還剩幾根。采用一問一答的形式理解余數比除數小的規律。教師主導的痕跡過于明顯，牽引較多，學生的學習主體地位沒有得到凸顯，教學過程顯得重復、拖沓。

出現上述問題的原因是什么？經過研討，我們更加清晰地認識到：有余數的除法屬于概念教學，是學生從學習表內除法向學習表外除法過渡的橋梁，它加深了學生對整數除法的認識與理解，同時是學習多位數除法的基礎，因此讓學生深刻理解余數概念十分關鍵。以下兩個問題是教學的重點、難點，需要重新調整。

一是怎樣建立“余數”概念。試教時我們發現，學生理解的生活中的“剩余”現象和數學中的“余數”概念是有差別的。因此在調整教學時，我們考慮的第一個問題是：怎樣用好學生已有生活中的“剩余”經驗進行引導和提升，有效縮短學生已有生活經驗和數學概念之間的差距，促進學生建立與理解余數的概念，從而掌握有余數的除法概念。

二是如何理解“余數要比除數小”。正確理解余數與除數之間的關系，是切實掌握余數、有余數除法概念的關鍵點，標志著學生是否完整地構建了“余數”與“有余數除法”概念。因此，我們思考的第二個問題是：如何在形成余數概念的起始階段，借助余數產生的過程同時探索余數與除數之間的關系，形成完整的知識結構，讓概念理解更加透徹。

二、再研討：改進教學，突破重難點

在對試教情況進行研討分析的基礎上，我們再次進行了創新設計，總的原則是基于教材，而又不拘泥于教材，深入挖掘數學知識的本質，充分體現學生的主體地位。

1.在游戲情境中感受生活中的剩余

對于剩余，學生在實際生活中會有一些感性的認識和經驗，但缺乏清晰的概念認識。數學來源于生活，從學生感興趣的游戲情境入手，可以激發學生的學習欲望，讓學生借助已有的生活經驗，感知生活中的剩余。我們設計了“愛的抱抱”的游戲：先是播放12人玩游戲的視頻，讓學生初步感知游戲，并用自己的語言描述游戲的規則：老師報到數字3，每3人抱成一團;報到數字4，每4人抱成一團。學生的情緒調動起來后，教師邀請8個學生上前參與游戲：每2人抱成一團，正好分成4組;每3人抱成一團，會有2人剩余。再玩一次，發現還是會有2人剩余，而且剩余的2人每次不一樣。這里，教師引導學生：剩下2人是不是因為他們動作慢啦？如果不是，那是因為什么呢？學生的好奇心被激發起來，產生了學習的內在需要。

2.在操作分物過程中感知余數概念

教師以小棒為學具，創設平均分鉛筆的問題情境，組織學生通過操作激活認知經驗。先解決把10支鉛筆分給小朋友，每人2支、每人5支，各可以分給幾人？這是已經學過的“按每份是多少”進行平均分，也是學習新知的知識基礎。那每人3支、每人4支結果會怎樣呢？通過分一分、圈一圈，學生自主進入“觀察求解”的狀態，發現平均分10支鉛筆，不是都能正好分完的。通過觀察幾次平均分的結果，學生發現會出現兩種情況，一種是平均分后正好分完，另一種是還有剩余。學生獲得平均分東西可能會“有剩余”的感性認識，喚醒“剩余”的生活記憶，初步建立余數與有余數除法的概念。

于是再聯系學生已有的知識和經驗，把平均分的現象數學化。10支鉛筆，每人3支，分給幾人？你會列除法算式嗎？10÷3=3……1，強調這里的1表示什么？從哪里剩下的1？ 說清這1支是把10支鉛筆平均分后剩下的部分，我們叫它“余數”，所以它的單位名稱和總數10支的單位名稱相同。學生在具體的情境中感知“有余數除法”的本質，把有剩余的平均分現象抽象成有余數的除法算式，促進學生歸納和總結。

學生已經從例1學習中經歷了一次從具象到符號，此時教師又設計了一個問題：除了分10支鉛筆，還可以分哪些物體也能用10÷3=3……1來表示？學生由于思維的遷移，自然而然會舉出分蘋果、分花朵等例子。在這個時候組織學生進行半抽象的表象操作，在頭腦中想象分不同的物體，再次經歷了從具體的例子尋求意義的過程。從數學抽象返回生活原型，再一次感知有余數除法的數學模型，體現了概念建構的具體化與完整性。

3.在猜測驗證對比中感悟余數性質

本課的教學難點是理解“余數要比除數小”，學生要理解這個抽象的數學規律有一些困難。例2的教學設計了游戲環節，為學生由淺入深搭建理解的平臺。首先明確擺一個正方形需要4根小棒，第一次猜：盒子里有一些小棒，用它們擺正方形，如果正好擺完，可能有多少根？能擺幾個正方形？怎樣列式？學生通過表內除法很快能解決，猜出盒子里小棒的根數可能是4、8、12、16、20……第二次猜：如果不能正好擺完，可能會剩余幾根呢？學生猜完后再通過13、14、15、17、18、19根小棒擺正方形，自主操作進行驗證余數會出現的情況。通過兩次猜測引領操作實驗活動，學生再次體會有余數除法中的商和余數的具體含義。如果分小棒剩下4根、5根，怎么辦？讓學生明白剩下的小棒夠擺一個正方形，就要繼續擺下去，直到不夠擺為止。這里設計了錯例分析，學生更好地理解了除數是4，余數只能是1、2、3，更加豐富了學生的感性認識。以此為基礎，進而探索余數與除數之間的關系，經歷感性認識上升到理性認識的過程。

學生在操作、觀察、對比中驗證猜測，意識到并進一步理解在分物品的過程中總數的變化會引起余數的變化，當余數等于或大于除數時，就意味著還能夠再分一份或一次。通過擺正方形一個例子讓學生去感悟，我們覺得還不充分，于是我們設計了讓學生觀察對比擺五邊形后出現余數的情況，設計了自己想象擺其他多邊形有剩余，余數可能的情況。這一系列的觀察對比分析活動讓學生深刻感知余數與除數的關系，進而明確“余數要比除數小”。教學的難點也就不攻自破，學生初步的推理能力得到發展，思維得到提升。

4.在應用拓展練習中發生主動學習

我們精心設計了“過三關”的練習環節，引導學生運用所學知識去解決現實問題，進一步加深他們對余數概念的感悟，培養學生的應用意識。

第一關先解決課前的游戲問題，“你能解釋一下‘愛的抱抱游戲中出現的問題嗎？引導學生運用所學知識自己來答疑解惑，用首尾呼應的方式鞏固對有余數除法含義的理解。第二關引導學生從不同角度理解課后習題“投箭壺”直觀圖的含義，出示相應的有余數除法的算式，14÷□=□（瓶）……□（支），14÷□=□（支）……□（支），學生通過比較兩題有什么不同，為什么商的單位不一樣，說清每一個除法算式的意義，通過辨析幫助學生加深已經獲得的認識，為解決相應的實際問題做鋪墊。第三關設計思維拓展題，如果每7人一組，分成3組，可能會余下幾人？最多余下幾人？為什么？引導學生充分感悟，明晰余數和除數的關系。如果平均分成了4組，還余下2人，可能會每幾人一組？每組最少有幾人？為什么？這時參加歌唱比賽的一共多少人？通過層層遞進，讓學生更深入地認識有余數除法的意義。

設計具有層次性和挑戰性的練習，以此吸引學生的學習興趣，喚醒學生的學習欲望，觸發學生的學習思考，讓學生感到自己是活動的主體，從而發生積極主動的學習活動，對學生今后研究數學問題、探索數學規律、提升數學素養大有裨益。

三、有收獲：概念建構，水到渠成

回顧“有余數的除法”一課的磨課歷程，我們對引導學生理解數學概念有了再一次認識。教師只有明晰數學概念的意義，重視學生探究、形成概念的過程，學生才能理解和內化數學概念的本質，讓概念的建構水到渠成。

1.深度挖掘教材，找準知識“生長點”

教材是實現課程目標、實施課堂教學的重要資源。教師在研讀的時候，要明確學習有余數的除法之前，學生已有哪些知識和經驗，還要通讀這一單元，了解知識點之間的緊密聯系，從而找準這節課的生長點和延伸點，尋找學生可能出現的學習困難，準確把握教學重難點。多研多思，深度挖掘，從不同角度、不同層次巧妙設計教學環節，幫助學生主動有意義地建構知識體系，讓學生在課堂中真正做到自主開放、思維可見。

2.注重直觀操作，關注抽象過程

小學數學概念教學要重視學生獲得概念的過程，教師立足學生的生活經驗、知識基礎，創設探究的平臺，引導學生借助直觀進行思維，通過分一分、圈一圈、擺一擺等直觀操作活動，增強學生探究的內驅力。新授中算式都是結合具體操作過程逐步加以呈現，充分展現從直觀操作到算式表達的抽象過程，將抽象復雜的數學概念直觀化、具體化、形象化，讓學生理解有余數除法產生的必要性，感悟余數與除數的關系，更好地幫助低年級學生在頭腦中建構數學概念。

3.重視經驗積累，發展思維能力

在概念教學中，教師應重視學生的活動經驗積累。教師在教學中積極引導學生觀察、發現余數與除數之間的關系，沒有直接告訴學生結論，而是設計分層問題，引導學生猜想、操作、討論、驗證、歸納，讓學生親歷這些數學活動，在活動中經歷知識產生的過程，積累數學活動經驗，在體驗中理解，在理解中反思，在反思中清晰地認識知識之間的聯系與區別，從而建立知識結構，發展思維能力。

責任編輯：丁偉紅