描點法在函數 y=Asin(ωx+φ)作圖中的應用

摘 要：函數的抽象是為了能夠更好的抓住函數的本質，而函數的圖像則是對函數的本質的具體呈現。可以說函數的抽象對于函數有多重要，函數的圖象就對函數有多重要，兩者相輔相成才能使得函數既具備高度的概括性，同時又具備內涵的可呈現性，可以說是相得映彰。描點法作為函數作圖的基本方法，是學生學習函數的重要作圖方法，在y=Asin（ωx+φ）的作圖中得到集中的體現。

關鍵詞：作圖;直觀想象;核心素養

美國的著名心理學家認為長時記憶分為兩個系統：表象系統和言語系統。表象系統以表象代碼來儲存關于具體的客體和事件的信息;言語系統以語義代碼來儲存言語信息。這兩個系統既相互獨立又彼此聯系。這種觀點稱為雙重編碼說。數形結合法作為高中階段最重要的數學思想方法之一，正是 “雙重編碼說”這一理論的重要體現。因其將抽象的函數形式圖形化，實際上是為學生提供視覺映像，是利用數學學習材料與屬性統一的特點，使抽象的數學知識形象化，從而使數學知識所具有的雙重表象的作用得到發揮，學生在記憶它時既可以形成言語記憶痕跡，又可以形成視覺記憶痕跡。

正是由于數形結合法具備的這一特殊功能，因此作圖就成了高中數學學習的一項基本技能而被反復提起。在高中階段的作圖方法一般分為四種：描點法、圖象變換法、求導法以及函數性質作圖法。其中的描點法作為最基本的作圖方法，在所有方法中都有著重要的作用。

一、描點法在初、高中階段的區別

描點法在初中接觸函數的內容的時候，學生就已經開始接觸，學生可以根據所給的函數，對自變量的值選取五個簡單的數，通過列表找出相應的函數值，接著根據所列的表描點，最后用光滑的曲線將這些點連線成圖。

例如：二次函數y=x2+8x-1，可以分別選取x=-2，-1，0，1，2，得到表格為：

得到的圖象如圖1所示。

由圖1所得到的圖象可以發現，初中階段的描點法中的選點有著隨機性的特點，導致所作出的圖象有時不能真實的反映函數的基本特征。在遇到復雜函數時很難對函數的圖象有整體的把握，無法滿足高中階段解決問題時對圖象的要求，所以高中階段必須對初中階段的描點法進行改進。

通過初中的學習，學生已經掌握了二次函數是一個拋物線形狀的軸對稱圖形，明確二次函數圖象必須含有對稱軸、開口方向、頂點以及與坐標軸的交點等要素，這些要素可以確定函數圖象的大致形狀。

同樣用上述的二次函數y=x2+8x-1，根據函數形式可知，該函數的對稱軸為x=-4，頂點為（-4，-17），與y軸的交點為（0，-1）。根據這些要素可以做出該二次函數的圖象如圖2所示。圖象不必做到橫縱單位長度完全一致，將關鍵的要素描述清楚就足夠呈現函數圖象的基本特征。

由此可見，初中階段和高中階段的描點法的根本區別在于：初中階段的點可以任意選取，而高中階段的點選取則凸顯了“關鍵”位置，這些位置的確定為圖象的最終確定提供了依據。

二、描點法在函數y=Asin（ωx+φ）作圖中的簡單應用

通過三角函數圖象的學習，可知函數y=Asin（ωx+φ）是周期函數，只要做出一個周期的函數圖象，就能夠將該函數的圖象基本形狀呈現出來。如：作出函數的一個周期的圖象，可以對相位取關鍵值，然后列表可得：

右表中的五點是根據正弦函數y=sinx中關鍵的五點：向上趨勢的平衡位置的點——最高點——向下趨勢的平衡位置的點——最低點——向上趨勢的平衡位置的點，五點組成一個周期圖象。然后利用相位的值得出x與y的值，使相位取到具備以上特征的五個點，最后描點并連線成圖，所得圖象如圖3所示。

三、描點法在函數y=Asin（ωx+φ），x∈（a，b）作圖中的應用

一個周期的圖象在作圖中只需要利用周期中關鍵的“五點”，通過描點法的基本步驟就可以作出。整個函數圖象只需要對一個周期圖象的復制，不斷地周而復始即可。但是當遇到的問題是所給的函數的自變量限制了范圍，不再是一個周期內的圖象的時候，圖象的的做法就相應的變得復雜，而相位與自變量所選取的關鍵點也相應的發生變化。接下來以函數，的圖象為例，敘述整個函數的作圖過程。

（1）在草稿紙上確定范圍，先將自變量的兩端點列在表格中，如表1所示：

（2）通過自變量兩端點的值，一方面確定相位的范圍，另一方面確定兩端點自變量所對應的函數值，如表2所示：

（3）根據表2，可以得出相位的取值范圍是，根據之前所描述的一個周期內關鍵點的特點可知，相位還應該取到的關鍵值有：。這些關鍵點要么是最值點，要么是平衡位置的點，對圖象的確定起到關鍵的過作用。可得結果列表如表3：

（4）根據表3，計算出相應的自變量和函數值，為后續作圖做準備，計算得出表4：

（5）根據以上列表，描點得出圖象，如圖4所示 。

四、描點法在函數y=Asin（ωx+φ）+k，x∈（a，b）作圖中的應用

通過對函數y=Asin（ωx+φ）在限制定義域時的作圖方法的介紹中，可以看出限制了定義域之后，關鍵點的選取也相應發生了變化，但是該函數的平衡位置與沒有限制定義域以及正弦函數的平衡位置沒有區別，所以在考慮的過程中，除了多考慮兩端點的位置之外，其他關鍵點的特征與沒有限制定義域時的關鍵點的特征完全一致。

但是當平衡位置發生變化的時候，關鍵點的考慮也要發生相應的變化。以函數，的圖象為例。該圖象的平衡位置由原來的x軸平移到y=-1，列出表格如表5所示：

通過表5描點之后，在連線時由于與y軸相交的位置不確定，所以必須增加一個關鍵點，也就是與y軸的交點，此時才能得到最終的圖象與y軸相交于正半軸。如果需要更加精確的圖象，那么還可以通過列表，找到該函數與x軸的交點。但如果需要的僅僅只是草圖的話，完成之前的步驟就足夠將該函數的草圖描繪出來。

y=Asin（ωx+φ）是高中階段最重要函數圖象之一，描點法作圖也是該函數作圖最主要的一種方法。通過以上的講解可以看出，描點法中的點不能隨意選取，不同的題型和條件所需要的點都不同，但是歸結起來，還是主要抓住關鍵點和關鍵線這兩個方面的內容進行作圖。其中關鍵點一般指：端點、最值點、極值點以及與坐標軸的交點;關鍵線一般指：對稱軸、分界線（常見于分段函數）、漸近線等。不管是關鍵點還是關鍵線，最終的目的是為了能夠將所給函數對應的圖象的整體性質表達出來。至于其中比例的精確與否對整體的圖象表達并不會產生根本性的影響。由此可見，高中階段的作圖需要的并不是具體的每一個點的精確位置，而是關鍵點和關鍵線的位置不出錯，所得到圖象能夠清晰地表達函數的性質即可。

參考文獻

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基金項目：文章為福建教育學院2018年度基礎教育研究課題——人機交互下的翻轉課堂實施方案探索的研究成果，項目編號：JYYB-20128035;文章為福建省三明市三元區基礎教育科學研究2018年區級立項課題——“一題四層四翼”指導下的高三數學復習方案與應試方法研究的研究成果，項目編號：JYKT-18103。

作者簡介：王圣榮（1982- ），男，中學一級教師，研究方向：課堂教學。