數(shù)形結(jié)合思想在初中代數(shù)問題中的運用策略分析

吳婧婷

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的數(shù)學(xué)思想之一。數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的應(yīng)用，可以銜接不同階段的教學(xué)內(nèi)容，減少學(xué)生對代數(shù)問題的畏難心理。本文旨在探討數(shù)形結(jié)合思想對代數(shù)問題的意義及數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的具體運用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);代數(shù)

《福建省初中學(xué)科教學(xué)與考試指導(dǎo)意見（數(shù)學(xué)）》指出：數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。在解決初中數(shù)學(xué)問題的過程中，數(shù)形結(jié)合思想可以將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，使抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，拓寬解題思路，優(yōu)化解題的途徑。

數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。其中“以形助數(shù)”指數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的應(yīng)用，即以形作為手段、數(shù)作為目的，將較難理解的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成直觀易懂的幾何問題，利用幾何工具解決代數(shù)問題。本文將探討數(shù)形結(jié)合思想在初中代數(shù)問題中的運用。

一、 數(shù)形結(jié)合的概述

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩大基本對象?！皵?shù)”是指數(shù)與式，“形”是指圖形與圖像。數(shù)形結(jié)合思想可以將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以利用數(shù)軸、圖形和平面直角坐標系將代數(shù)問題和幾何問題緊密聯(lián)系起來，為解決問題提供新的思路和策略，達到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

華羅庚先生曾寫過一首小詩強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。”在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》規(guī)定的初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”及“綜合與實踐”均滲透著數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想不僅能提高教學(xué)效率，更能有效訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極重要的數(shù)學(xué)思想之一。

二、 數(shù)形結(jié)合對初中代數(shù)問題的意義

（一）銜接不同階段的教學(xué)內(nèi)容

初中階段的數(shù)學(xué)知識，起著承上啟下的作用。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識為易于學(xué)生理解較為圖像化，高中階段的數(shù)學(xué)知識較為抽象化和邏輯化，運用數(shù)形結(jié)合思想可以很好地銜接這兩個階段。在理解數(shù)學(xué)概念的前提下，打破數(shù)與形的界限，將不同類型的數(shù)學(xué)知識組合起來，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運用能力。學(xué)生在思考與討論的過程中，學(xué)會舉一反三，以多種視角對問題進行思考，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（二）減少學(xué)生對代數(shù)問題的畏難心理

絕大部分數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較有困難的初中生的難點，都在于代數(shù)問題尤其是代數(shù)問題里的函數(shù)問題。初中生心智尚不成熟，面對晦澀難懂的代數(shù)問題難免有畏難心理，這是可以理解并可以避免的。將數(shù)形結(jié)合思想運用在代數(shù)問題中，可以將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楦庇^、易理解的題目，借助直觀的幾何圖形和位置關(guān)系等，降低題目的難度，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，進而提高學(xué)習(xí)效率。

三、 數(shù)形結(jié)合在初中代數(shù)問題中的運用

在教學(xué)實踐中需潛移默化的滲透數(shù)形結(jié)合思想，逐步形成在代數(shù)問題中運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維模式。以下探索數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的具體運用：

（一）運用數(shù)軸理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的第一個實例，建立了有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系：對于每一個有理數(shù)，都能在數(shù)軸上找到唯一的點與之對應(yīng)。由此可引申到絕對值、相反數(shù)的概念，可運用于有理數(shù)的加減法的運算及代數(shù)式的化簡等。例如，絕對值的幾何意義是數(shù)軸上兩點之間的距離，互為相反數(shù)概念的幾何意義是在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱。

在學(xué)習(xí)實數(shù)后，這種對應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)閷崝?shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系。實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生更好的理解無理數(shù)的概念。例如：如圖1，矩形ABCD的邊AD長為2，AB長為1，點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是-1，以A點為圓心，對角線AC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點E，則這個點E表示的實數(shù)是_____。

（二）運用圖形比較不等式的大小

借助數(shù)軸和圖形可以直觀感受如何求出不等式的解和不等式組的解集。解一元一次不等式組需要同時滿足兩個約束條件，學(xué)生通常較難理解它們的關(guān)系，常搞錯符號。將兩個不等式表現(xiàn)在同一個數(shù)軸上，學(xué)生就能清楚地看出兩個約束條件的關(guān)系，得到最終的解集。

學(xué)生在熟練掌握如何解一元一次不等式組后，還可以探究不等式組的有解無解問題，從而加深學(xué)生對不等式組解集的理解。在深入挖掘不等式組的含義基礎(chǔ)上，運用所給解的局部特征和逆向思維，可以求出參數(shù)的取值范圍。例如：不等式組3x+a<0

2x+7>4x-1的解集為x<4，則a的取值范圍為 ? ?。

（三）運用圖形推導(dǎo)代數(shù)公式

利用幾何圖形推導(dǎo)代數(shù)公式，可幫助學(xué)生更好的理解和記憶代數(shù)公式。例如兩個全等的梯形拼成的一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式，正方形的分割圖可以用來記憶平方差公式和完全平方公式等。其中平方差公式和完全平方公式是初中最常用的兩個公式，但是學(xué)生經(jīng)常會粗心記錯。用圖像表示面積得到公式，加深學(xué)生的理解，建立由形到數(shù)的聯(lián)想。

在理解公式的幾何背景后，還可以用變式鞏固用幾何圖形表示數(shù)學(xué)公式的方法，讓學(xué)生深入了解數(shù)形結(jié)合在代數(shù)問題中的運用。例如：如圖2，四張相同的矩形紙片拼成一個圖形，利用圖中空白部分面積的不同表示方法，寫出關(guān)于a、b的恒等式 ? ?。

（四）畫圖理解方程的等量關(guān)系

方程類應(yīng)用題的難點在于根據(jù)題意列出含有未知數(shù)的等量關(guān)系。要攻破這道難關(guān)，通常需要借助數(shù)形結(jié)合，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖。不僅可以清楚地看出題目的出題意向和考查內(nèi)容，更能將抽象的題意轉(zhuǎn)化成具體的畫面，從而找出題目中沒有明確提出的隱藏條件。這些隱藏條件往往就是解題的關(guān)鍵，能幫助學(xué)生迅速找到解決問題的突破口。

例如：小明以80米/分的速度從家里出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘帶數(shù)學(xué)書了。于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在途中追上了他，問爸爸追上小明用了多長時間。將追及問題用圖形表示出來，就能一目了然地看出方程的數(shù)量關(guān)系。

（五）運用直角坐標系表示幾何意義

平面直角坐標系把“點”和“有序?qū)崝?shù)對”對應(yīng)起來，使抽象的“數(shù)”與直觀的“形”有了統(tǒng)一，開創(chuàng)了研究數(shù)學(xué)問題的新途徑。通過構(gòu)造幾何圖形，可以賦予代數(shù)表達式幾何意義，依靠直觀圖形幫助解決代數(shù)問題。

例如：求代數(shù)式x2+1+（x-3）2+4的最小值。整理得x2+1+（x-3）2+4=（x-0）2+（0-1）2+（x-3）2+（0-2）2，建立平面直角坐標系，設(shè)P（x，0）為x軸上的點，代數(shù)式可分別看成點P到點A（0，1）和點B（3，2）的距離，即表示線段PA與PB的長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值，此時利用對稱點就能求解最值問題。

（六）運用圖像把握函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個難點，同時又是數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得最充分的一個內(nèi)容。利用函數(shù)圖像的特點可以把握函數(shù)的性質(zhì)，例如，一次函數(shù)的斜率和截距，反比例函數(shù)的增減性和中心對稱性，二次函數(shù)的對稱軸、開口方向、判別式等，并可用于求解函數(shù)的最值問題和值域問題等。

運用圖像還可以將方程和函數(shù)聯(lián)系起來。方程和不等式中較難的問題運用函數(shù)圖象來解決，更易于理解，緩解學(xué)生對函數(shù)的畏難心理。例如：如圖3是二次函數(shù)ax2+bx+c<0的部分圖象，則不等式ax2+bx+c<0的解集是 ? ?。根據(jù)圖像要求在x軸下方的部分，仔細觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)與x軸還有另一個交點，利用圖像中的對稱軸可以求出。

四、 在教學(xué)中提高學(xué)生運用能力的建議

（一）緊抓內(nèi)在核心素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)過程中涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和運算能力。數(shù)學(xué)抽象是指抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中最直接的應(yīng)用，就是根據(jù)題干要求畫出符合題干的圖形，以輔助分析和理解題目。學(xué)生可以清晰地了解出題意向和考查內(nèi)容，也能從圖形中找到題目隱藏的條件。

（二）熟練使用幾何工具

數(shù)形結(jié)合思想以數(shù)軸、圖形和平面直角坐標系為基本工具。磨刀不誤砍柴工，只有掌握基本工具，在分析思考時才能得心應(yīng)手，及時聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的一大難點，學(xué)生常難以理解函數(shù)的內(nèi)涵與意義，借助平面直角坐標系，將抽象的函數(shù)轉(zhuǎn)化成直觀的幾何圖形，能使學(xué)生迅速建立起方程與函數(shù)的聯(lián)系。

（三）數(shù)形轉(zhuǎn)化的一致性

運用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問題時要注意等價轉(zhuǎn)換原則，即數(shù)與形轉(zhuǎn)化前后的一致性和圖形的全面性。解決代數(shù)問題的方法不唯一，應(yīng)根據(jù)不同的情況作出相應(yīng)的圖形，再進行分析。以多種視角對問題進行思考，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（四）提高綜合運用能力

在感悟滲透數(shù)形結(jié)合思想的過程中，也滲透著其他數(shù)學(xué)思想，例如函數(shù)思想、方程思想、化歸思想、分類討論思想、歸納推理思想等等。任何一種數(shù)學(xué)思想在解題過程中都不是孤立的，學(xué)習(xí)過程中要注重多種數(shù)學(xué)思想的綜合運用。

數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的運用，能充分提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。在教學(xué)實踐中，應(yīng)采取積極引導(dǎo)的方式點撥學(xué)生，點出數(shù)形結(jié)合解題思路的關(guān)鍵點，啟發(fā)學(xué)生自主探究，在尋找答案的過程中，逐漸領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想。

參考文獻：

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