由一道初中數(shù)學(xué)填空題引發(fā)的思考

摘要：通過一道初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)填空題，引發(fā)了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考，進而用近世代數(shù)的觀點解答了這道題;然后回到實際課堂當(dāng)中，指出問題對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示;最后把問題引向深入，通過近世代數(shù)的視角探索了一個因式分解的例子。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);近世代數(shù);多項式環(huán);未定元;未知數(shù);因式分解

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-9324（2020）22-0354-02

一、符號說明

本文用正體粗體的表示實數(shù)集，用斜體細體的表示一個一般的環(huán)。

二、問題的提出、思考和解答

在初中數(shù)學(xué)整式一章的基礎(chǔ)練習(xí)中，常常出現(xiàn)這樣的填空題：

例1 ________。

在通常情況下，學(xué)生無外乎有兩種答案。

答案1 。

答案2

如果你是一位初中數(shù)學(xué)教師，你會認為答案2是正確答案。但作為一道填空題，做到答案1就可以了。在此，我們不禁要問：答案2真的比答案1更好嗎？如果你覺得答案2是正確答案，那依據(jù)是什么呢？為什么按照中考要求，答案1也正確呢？

事實上，答案1和答案2都可能是正確答案，但都有其局限性，關(guān)鍵看你用什么觀點來理解。

在初等代數(shù)意義下，如果我們把字母x看作一個數(shù)，則答案2顯然要比答案1完整。但是，在代數(shù)式當(dāng)中，字母x真的表示一個數(shù)嗎？如果x表示一個數(shù)，那關(guān)于多項式的理論是不是毫無缺陷呢？

注：在近世代數(shù)中，“多項式”和“整式”表示同一個概念。

再舉一個簡單例子。

例2 將多項式進行因式分解。

例2最后的答案是還是，抑或有其他答案？

這就引發(fā)我們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考了。事實上，全體實系數(shù)一元多項式構(gòu)成一個環(huán)（ring），它是一個歐幾里得整環(huán)（Euclidean domain），它和整數(shù)環(huán)有很多相似之處。……