由一道初中數學填空題引發的思考

摘要：通過一道初中數學的基礎填空題，引發了對數學本質的思考，進而用近世代數的觀點解答了這道題;然后回到實際課堂當中，指出問題對初中數學教學的啟示;最后把問題引向深入，通過近世代數的視角探索了一個因式分解的例子。

關鍵詞：初中數學;近世代數;多項式環;未定元;未知數;因式分解

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2020）22-0354-02

一、符號說明

本文用正體粗體的表示實數集，用斜體細體的表示一個一般的環。

二、問題的提出、思考和解答

在初中數學整式一章的基礎練習中，常常出現這樣的填空題：

例1 ________。

在通常情況下，學生無外乎有兩種答案。

答案1 。

答案2

如果你是一位初中數學教師，你會認為答案2是正確答案。但作為一道填空題，做到答案1就可以了。在此，我們不禁要問：答案2真的比答案1更好嗎？如果你覺得答案2是正確答案，那依據是什么呢？為什么按照中考要求，答案1也正確呢？

事實上，答案1和答案2都可能是正確答案，但都有其局限性，關鍵看你用什么觀點來理解。

在初等代數意義下，如果我們把字母x看作一個數，則答案2顯然要比答案1完整。但是，在代數式當中，字母x真的表示一個數嗎？如果x表示一個數，那關于多項式的理論是不是毫無缺陷呢？

注：在近世代數中，“多項式”和“整式”表示同一個概念。

再舉一個簡單例子。

例2 將多項式進行因式分解。

例2最后的答案是還是，抑或有其他答案？

這就引發我們對數學本質的思考了。事實上，全體實系數一元多項式構成一個環（ring），它是一個歐幾里得整環（Euclidean domain），它和整數環有很多相似之處。多項式中的字母并不表示一個數，而有其特殊的含義。

在近世代數中，我們有如下的概念和結論。

定義1 設R是一個有單位元的環，是的擴環，是中的一個元素。如果滿足

（1）對任意的，;

（2）;

（3）對R的任意一組不全為零的元素，

則稱為上的一個未定元（indeterminate）（參看參考文獻[2]）。

定理1 設是一個有單位元的環，則一定存在環上的一個未定元（參看參考文獻[2]）。

定義2 設是一個有單位元的環，是上的一個未定元。上關于的一元多項式全體關于多項式的運算也構成一個環，稱為上的以為未定元的一元多項式環（polynomial ring）（參看參考文獻[2]）。

由上述定義和定理不難看出，由于實數集是一個有單位元的環（事實上還是一個域（field）），因此在上存在一個未定元，構成一個一元多項式環。

我們不禁要問：中的未定元是否屬于呢？由定義1的（3）不難發現，對于任意的，都有（因為此時），即，因此。用同樣的方法可以說明，在中，在中，在中……

事實上，對于任意一個有單位元的環R，在中我們都有。由于，因此。所以在任何一個一元多項式環當中，字母x一定不等于0。

有了這樣的認識，我們回過頭來看例1。如果我們把，都看成中的元素（實系數一元多項式），則是上的一個未定元（不是未知數），它一定不等于0，當然也不等于0。因此，分類討論就沒有必要了，此時答案1變成了正確答案。

對于例1我們可以這樣總結：如果我們把，看作兩個實系數一元多項式（此時x是上的未定元（indeterminate），），把原題看作多項式的除法運算，則正確答案是答案1;如果我們把，看作兩個定義在上的一元多項式函數（此時x是上的未知數（unknown number），），把原題看作函數的除法運算，則正確答案是答案2。

三、問題對初中數學教學的啟示

通過上一小節的論述，我們可以體會到，數學學科是相當嚴謹的。對于同一道題目，如果我們用兩種不同的觀點去看，就會得出兩種截然不同的答案。因此，老師在平時教學中，也要抱著科學嚴謹的態度，深刻理解每一個概念，用規范的數學語言引導學生，從而使學生養成良好的學習習慣。

當然對于例1，我們不能給中學生解釋“環”“未定元”這些近世代數的概念。但按照中考要求，答案1的確是正確答案。我想，我們可以告訴學生，在類似的問題里面，我們一般都把、、0看作代數式（整式），而和0是兩個不同的代數式，因此作為代數式的除法運算，只要除式（特別指明是除數）不為0，我們就不需要分類討論。我想，這樣的解釋，應該比簡單告訴學生我們默認為分母不等于0要好，至少更符合數學的規范。對優等生我們可以給他們提供一個思路：代數式當中的字母x有其特殊的含義，它和方程、函數中的字母x是不一樣的，如果你們今后學習高等代數和近世代數，就會逐漸接觸到這部分內容了。提供這樣的思路，是為了激發學生學習數學的興趣和進一步求知的欲望，并為他們從中學到大學學習數學做了很好的銜接和鋪墊。當然在大學代數類課程里，如果我們能給出類似例1和例2的一些實例，也會對學生理解“未定元”“多項式環”這些概念有很大幫助。

四、問題引向深入：對因式分解例子的初步思考與探索

回到例2，我們該如何對多項式進行因式分解呢？在初中數學課本里，我們這樣定義因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫作把這個多項式因式分解（factorization），也叫作把這個多項式分解因式（參看參考文獻[1]）。而在近世代數中，把一個多項式因式分解，是指把一個多項式寫成幾個不可約多項式（irreducible polynomial）的乘積的形式，而不可約多項式指的是相應多項式環中的不可約元（irreducible element）。對于多項式，當我們把它看作或或中的元素時它的標準分解式是（注：此時已經是不可約多項式，可以不用分解，我們習慣上把它寫成或或中的一個單位（unity）6乘以一個首一多項式（monic polynomial）的形式，這樣的寫法稱為域上多項式的標準分解式）;而當我們把它看作中的元素時它的標準分解式應該是或;另外，當我們把它看作高斯整環（Gauss domain）上的多項式環中的元素時，它的標準分解式則是;等等。關于多項式因式分解的話題，在此不做進一步展開，有興趣的讀者可以參考文獻[2][3][4]。

參考文獻：

[1]項家祥，黃華.數學（七年級第一學期，試用本，第2版）[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]韓士安，林磊.近世代數[M].北京：科學出版社，2009.

[3]楊子胥.近世代數[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]馮克勤，李尚志，章璞.近世代數引論[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

Thinking Caused by a Fill-in-the-blank Question in Junior High School Mathematics

—From the Perspective of Modern Algebra

HU Li-wen

（School of Mathematical Science， East China Normal University， Shanghai 200241， China）

Abstract： A basic fill-in-the-blank question in junior high school mathematics triggers the reflection on the nature of mathematics， and then the problem is solved from the perspective of modern algebra. This paper points out the enlightenment of the problem to the teaching of junior high school mathematics， and then explores an example of factorization from the perspective of modern algebra.

Key words： junior high school mathematics; modern algebra; polynomial ring; indeterminate; unknown number; factorization

收稿日期：2020-03-03

作者簡介：胡力文（1984-），男（漢族），安徽省蕭縣人，碩士，中學二級教師、國家二級心理咨詢師，研究方向：基礎數學、數學教育。