高中數學不等式恒成立問題解題思路探究

摘?要：隨著我國教育事業的不斷發展，對高中生的數學素質要求進一步的提升，不等式的恒成立問題在高中數學的學習中占據重要的地位，也是實際學習的重難點，不僅是對學生“不等式計算”思維的一種培養，還能將其運用到實際生活當中。教師要充分研究解題思路，使學生掌握的解題方法，讓學生能夠又準又快的解決實際問題。

關鍵詞：高中數學;不等式恒成立;解題思路;探究

一、 前言

不等式的恒成立問題是高中數學學習的重要內容，也是高考的重要考點，它不僅可以對學生進行單獨的知識點考查，還可與函數、方程等部分重點內容進行綜合的考查，學生在學習過程中存在難度。因此在解題思路上教師和學生要善于總結，將之前學習過的知識與本節課的學習進行充分的聯系，從而找出適合自己的解題方式。不等式的解題具有一定的規律和技巧，只要學生扎實地掌握不等式恒成立的相關知識和概念，并且將與之有關系的數學知識靈活地運用，就能夠有效地提升學生的解題速度和準確率。

二、 不等式恒成立問題教學的意義

（一）能夠利用不等式恒成立問題求解函數的最值問題

運用不等式的恒成立問題來求解函數的最值問題，是高中生普遍愿意采用的一種方式，在實際的解題過程當中，不僅能夠幫助學生理清解題的思路，還可以提高學生的解題技巧和能力，讓學生的正確率有所提高。

【例1】?已知函數f（x）=12ax2+（1-a）x-lnx，a∈R，（1）討論f（x）的單調性（2）若a∈（-∞，-1），設g（x）=xex-x-lnx+a，證明：x1∈（0，2]。存在x2∈（0，+∞），使f（x1）-g（x2）>2-ln2，第一問答案略，第二問解題步驟如下：

由題意得f（x）min-g（x）min>2-ln2

由（1）可知，當a<-1，x∈（0，2]時，f（x）min{f（-1/a），f（2）}

f（-1/a）-f（2）=-ln（-1/a）-1/2a-1+ln2

令h（x）=-lnx+12x-1+ln2，x∈（0，1），h′（x）=x-22x<0，故h（x）在（0，1）上是減函數，有h（x）>h（1）=ln2-1/2=ln4/e>0，所以f（-1/a）>f（2），從而 f（x）min=2-ln2。

g（x）=xex-x-lnx+a，x∈（0，+∞），則g′（x）=（x+1）（ex-1/x）

令G（x）=ex-1/x，顯然G（x）在（0，+∞）上是增函數

且G（1/2）=e-2<0，g（1）=e-1>0，

所以存在x0∈（1/2，1）使G（x0）=ex0-1/x0=0，且g（x）在（0，x0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數，

g（x）min=g（x0）=x0ex0-x0-lnx0+a=1+a<0

所以g（x）min+2-ln2=1+a+2-ln2<2-ln2

所以f（x）min>g（x）min+2-ln2，命題成立

（二）能夠利用不等式恒成立問題解決參數取值的問題

參數范圍問題是高考的必考題，這類問題涉及的知識點多，思考轉化比較困難，在具體的解題過程中，學生會運用函數的單調性和導數等方法來求參數的取值范圍，很多時候，也可運用不等式恒成立的方式能夠將問題簡單化，提高學生的解題效率。

【例2】?已知函數f（x）=e-x-ax（a∈R）（1）當a=-2時，求函數f（x）的極值;（2）若ln[e（x+1）]≥2-f（-x）對任意的x∈[0，+∞）成立，求實數a的取值范圍。第一問答案略，第二問解題過程如下，

（2）因為f（x）=e-x-ax，

所以f（-x）=ex+ax，

又因為ln[e（x+1）]≥2-f（-x）對任意的x∈[0，+∞）成立。

所以ln[e（x+1）]≥2-ex-ax對任意的x∈[0，+∞）成立。

即ex+ax+ln（x+1）-1≥0對任意的x∈[0，+∞）成立。

引入函數g（x）=ex+ax+ln（x+1）-1（x≥0），

所以g′（x）=ex+a+1/（x+1），

令g′（x）=0，則ex+a+1/（x+1）=0

引入函數p（x）=ex+1/（x+1），則p′（x）=ex-1/（x+1）2。

所以當x≥0的時候，p′（x）≥0，

所以函數p（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，

所以當x=0時，p（x）min=p（0）=2。

討論：當-a≤2，即a≥-2時，g′（x）≥0，此時 g（x）在[0，+∞）上單調遞增。

所以ex+a×0+ln（0+1）-1≥0。

所以a≥-2。滿足題設：

當-a>2，即a<-2時，存在唯一實數x0，使g′（x0）=0。且分析知，當0≤x

又因為：g（0）=0。

當0

綜上，所求實數a的取值范圍是[-2，+∞）。

三、 高中數學不等式恒成立問題解決和教學中出現的問題

（一）學生對之前所學的知識回憶不起來，影響解題思路

在解決不等式恒成立問題時，要求學生不僅要熟練掌握不等式的相關知識，還要對之前的知識能夠及時地提取。在實際解題過程中，很多學生由于之前所學知識不扎實，導致學生浪費了大量的時間去思考解題思路，不知道如何下手，往往都是做到一半就不知道該怎么去做了，導致做題時間大大增加，效率低下。

（二）學生不愿意動腦

不等式恒成立問題，需要學生有很清晰的解題思路，但是大多數學生普遍認為這一類問題比較煩瑣，很多時候做成“爛尾樓”，效益不高，浪費時間，導致很多學生不愿意主動去思考，更不愿意主動去解決這類問題，學生的數學思維能力得不到有效的提升。

（三）教師的教學觀念比較落后

不等式恒成立問題的教學，要求教師有扎實的基礎知識和創新能力，才能夠給學生講解清楚，但是在實際的教學過程中，很多教師的教學觀念比較落后，所使用的教學方法無法滿足學生的需要，也無法順應教育改革的要求。受傳統觀念的影響，教師在教學中通常采用灌輸式，教師講的津津有味，學生聽得一頭霧水，這樣傳統的教學模式很難激發學生解決問題的興趣。另外，學生對這部分知識掌握的程度，教師沒有明確，在課堂上面對學生突如其來的問題，容易出現手忙腳亂，極大降低了課堂教學的效率和效果。

（四）教師的教學能力有待提升

不等式恒成立問題，要求教師有比較強的理解能力和邏輯思維能力，能夠將與本節課知識有關的知識進行充分的整理，才能夠最大限度地讓學生理清解題思路。另一個方面，很多高中教師是剛來的畢業生，雖然他們有豐富的理論和專業知識，也能夠又快又準地做出類似的題目，但教學經驗不足，導致教師在講解的時抓不住重點，往往自己能夠做出來但卻講不出來，數學語言表達不到位，導致學生對知識理解不透把握不準，解題思路也無法整理清晰，影響成績提升和綜合素質的培養。

四、 高中數學不等式恒成立問題的學習策略

（一）利用不等式恒成立的推理過程，培養學生的抽象思維

在課堂上，教師要給學生演示不等式恒成立問題的推理過程，每個步驟都應該詳細且準確，教師所塑造的推理氛圍，使學生對下一步的計算有一定的想象，充分地體會教師思維方式，能夠根據教師的解題思路，自己進行分析和適當的推理，形成自己獨特的抽象思維，并在解題過程中得以體現和表達，教師在引導學生獨立思考和分析的過程中，學生也能夠得到潛移默化的提升，不斷地促進學生抽象思維能力的培養。

（二）利用已知條件，逐步進行解題

除了上述的情況之外，還會遇到問題比較復雜或者是不等式的形式很煩瑣的情況，學生很容易出現煩躁、焦慮情緒，影響學生的正常解題思路。通常來說，不管是多復雜煩瑣的不等式，都是由幾個比較簡單的不等式和一些數學關系組成，只要學生熟練地掌握不等式的相關知識，保持良好的心態，逐步進行求解就能夠發現其中的內在聯系，將已知條件進行細分，一步一步地進行求解，就能夠更好地對這一煩瑣復雜的不等式進行科學的處理，同時，需要注意的是，應用分解復雜不等式的方式來進行解題，能夠將復雜的問題分解成幾個簡單的小問題，能夠有效地降低試題的難度，提高解題的速度和正確率。

五、 不等式恒成立的幾種解題策略

（一）數形結合法

數形結合法在高中數學的應用比較廣泛，可以將不等式兩邊的式子看成兩個函數，作出兩個函數的圖像，通過圖像上兩個函數的位置關系，在結合最初的不等式，就能夠列出相應的關系式，為解題提供了極大的幫助，并且準確性還比較高。例題3：a>0，a≠1，f（x）=x2-ax，當x∈（-1，1）時，有f（x）<1/2恒成立，求實數a的取值范圍，根據這道題我們不難發現，可以求出x2-1/2

（二）分類討論法

分類討論是針對已知條件存在多種情況，在給出的不等式中，如果兩個變量不能夠通過恒等變形的方式進行變形，就可以采用分類討論的方式，需要注意的是，要充分考慮到可能出現的各種情況，保證討論的完整性和全面性，不重不漏。

（三）逆向思維求解法

逆向思維在不等式的恒成立問題中運用的也比較多，有些問題通過常規的正向思維雖然也能夠得到最終的結果，但是問題的分析過程和實際的求解過程卻是非常的煩瑣，不僅速度慢，還容易出現錯誤，降低解題的正確率和效率，有些問題可以使用逆向思維，能夠快速找到解題的關鍵點，提高解題的速度。例如在已知丨x2-4x+p丨+丨x-3丨≤5，xmax=3，求p=？根據平常思維，在解題時，先去絕對值，然后再對不等式進行求解，最后根據條件求出p的值。我們不難發現，解題的步驟非常的麻煩，并且容易出現錯誤，仔細觀察可以看出，題目中已經給出了x的最大值，xmax=3，說明3就是不等式的一個解，將x=3代入，就可以得出p=8。采用逆向思維的方式，讓學生從另一個角度思考問題，進一步深化對題目的理解，找出正確的解題方法，從而提高解題的速度和正確率。

六、 總結

綜上所述，不等式作為高中數學的重要組成部分之一，在學習中占據非常重要的地位，這就要求教師在平常的教學中，注重學生基礎知識的學習，不僅要讓學生學會教材的知識點，還要讓學生對相關的知識點進行整合，從而培養學生的數學思維，找到解題的思路，注重解題策略的利用，用簡單的方式解決問題，提高解題的速度和準確性，促進自我綜合能力的提升。

參考文獻：

[1]靳國林.淺談高中數學不等式的解題策略[J].高中數理化，2012（10）.

[2]楚可悅.高中數學不等式應用與學習策略分析[J].中國校外教育，2018（5）.

作者簡介：

鄭建，湖北省咸寧市，湖北省咸寧高中。