追求有梯度的課堂

【摘?要】為讓每一個學生在課堂獲得不同程度的提升，教師在課堂教學中要有分層教學的意識和智慧、分類指導的設計和舉措，以及多維評價的理念和行動，落實因材施教的教學原則，追求有梯度的課堂。

【關鍵詞】分層教學;因材施教;多維評價;有梯度的課堂

【作者簡介】戴啟猛，正高級教師，廣西特級教師，廣西八桂教育家搖籃工程學員，廣西師范大學教育學部特聘研究員，現任南寧市教育科學研究所所長。

到了初中階段，學生在數學學習中的個體差異逐漸顯現出來，且出現較大的差距，這就要求教師在課堂教學中要有分層教學的意識和智慧，分類指導的設計和舉措，多維評價的理念和行動，追求有梯度的課堂，以幫助每一個學生在課堂中獲得不同程度的提升，體會自己的獨特和精彩。

一、分層教學，分類指導，追求有梯度的課堂

分層教學是指教師根據學生現有的知識、能力水平和潛力傾向，把學生科學地分成水平相近的群體并區別對待，這些群體應在教師恰當的分層策略和相互作用中得到最好的發展和提高。因此，分層教學又稱分組教學、能力分組，學生按照智力測驗分數和學業成績分成不同水平的班組，教師根據不同班組的實際水平進行教學。

在教學資源緊缺的地區，筆者認為分層教學不是西方發達國家已經實施的分層走班模式，而是應在現有的教學行政班內，從各個層次學生的實際出發，通過確定不同層次的目標，進行不同層次的教學、輔導和檢測，使每個學生都得到充分的發展。或是在具體的教學中實施“分層互動”的教學模式。這種“分層”是一種隱性的分層，教師要通過調查和觀察，掌握班級內每個學生的學習狀況、知識水平、愛好特長及社會環境，將學生按照心理特點分組，形成一個個學習群體。利用小組合作學習和成員之間的互幫互學形式，充分調動師生和學生之間的積極性，為每個學生創造整體發展的機會。特別是對于學生間的人際互動，教師應利用學生層次的差異性與合作意識，形成有利于每個成員協調發展的集體力量。筆者以人教版數學九年級上冊“圓周角”教學為例，談談自己的一些做法和體會。

（一）從學生實際出發，確定不同層次的教學目標

通過課堂觀察和分析，筆者將教授班級的學生分成三種類型：一是學習基礎較好、思維敏捷的學生，他們對之前學習圓的有關性質及圓心角等知識掌握得比較扎實，對接下來圓周角概念以及分類證明的學習有比較強的信心;二是學習基礎一般的學生，他們需要跟著教師的教學思路進行學習，對分類證明圓周角定理、為什么要分類證明、怎么分類等問題的理解有一定難度;三是學習基礎較差的學生，他們不但對前面所學的知識掌握不牢，而且對于直線型有關角的概念的認識也比較模糊。初中數學“四度六步”教學法[1]的“溫故”（復習提問，溫故孕新）和“引新”（創設情境，引入課題）環節就是從學生實際出發，在實踐架構的層面為分層教學做好鋪墊，讓學生的認識更清晰、更完整，喚醒學生記憶潛能，提高學習興趣。

（二）照顧不同層次學生需求，精心設計教學內容

為了照顧不同層次學生的學習需求，首先，教師以“畫一個圓心角”引導學生回顧圓心角的特征，然后提出問題“如圖1，圓心角可以看成是哪些簡單的幾何圖形疊加在一起？”，引導學生根據角的要素進行描述，以訓練學生對圖形刻畫與文字描述兩種數學語言的相互轉換。接著，教師用幾何畫板引導學生思考“既然圓心角是角與圓的一種特殊疊加，那么在同一個圓中的兩個相等的圓心角（如圖2中的∠BOA與∠B′O′A′），將其中一個角繞圓心旋轉會出現什么情況？”，借此復習同圓或等圓中相等的弧、弦、圓心角的關系定理，從而為后續學習圓周角定義和認識圓周角中角與圓的聯系做好鋪墊。最后，教師向學生追問“如果我們單純地從疊加角度來研究圖形，你認為將角和圓這兩個基本圖形進行疊加后，除了角的頂點與圓心重合，還可以把角的頂點放在哪里？”，從而引導學生動手將圓與角疊加后可能出現的圖形（注意要有重疊）盡可能地畫出來。同時，創設情境“老師在課前也做了準備，畫出了圓與角疊加后可能出現的圖形（如圖3），現在請同學們比較一下，你畫的和老師畫的有沒有不一樣的地方？”，以此引發學生積極討論，并歸納出圖3-b的獨特之處，從而自然地引入課題，輕松把握圓周角的特征，進而讓學生理解圓周角的定義。

本節課通過復習圓心角定義，從角的構成要素和疊加圖形的視角關注圓與角的聯系，類比遷移生成圓周角的概念。在接下來的圓周角定理學習中，教師引導學生關注圓與圓周角疊加時，角兩邊與圓的兩個交點將確定一段弧，而該弧與圓周角存在對應關系。類比同圓或等圓中相等的弧、弦、圓心角的關系定理，自然感受圓周角與其所對應弧之間的密切聯系，然后再通過猜想、證明、應用等，加深對圓周角概念及其性質的理解。

因此，筆者在“溫故”（復習提問，溫故孕新）和“引新”（創設情境，引入課題）環節的教學設計，往往是換個角度、換個方式呈現前一課學習的主要內容，設計指向與新知有關聯的知識情境，為新知學習做鋪墊。教師要有分層教學的意識、因材施教的理念，實現教學內容的梯度設計、教學問題的分層思考，讓每一個學生都能在課堂中體會自己不一樣的精彩。

二、靈活追問，變式深化，追求有梯度的課堂

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發展提供良好的環境和條件。教師的組織作用主要體現在兩個方面：第一，教師應準確把握教學內容的數學實質和學生的實際情況，確定合理的教學目標，設計合適的教學方案;第二，在教學活動中，教師要選擇適當的教學方式，因勢利導、適時調控，努力營造師生互動、生生互動的課堂氛圍，形成有效的學習活動。教師的引導作用主要體現在通過恰當的問題，或者準確、清晰、富有啟發性的講授，引導學生積極思考，激發學生的好奇心;通過恰當的歸納和示范，使學生理解知識、掌握技能、積累經驗、感悟思想;關注學生的差異，用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生都能積極參與學習活動，提高教學活動的針對性和有效性。這就要求教師在課堂教學中，精心設計教學活動和問題，通過靈活追問、變式深化，逐步趨向對數學知識本質的理解。

（一）由表及里，靈活追問

古人云：“善問者，如攻堅木，先其易者，后其節目。”課堂追問藝術亦是如此，首先從簡單開始，然后逐步深入滲透。教師在教學中要反復實踐、不斷完善，靈活運用追問方式，選擇和抓住有利時機，以追問形式激發學生學習興趣，引導學生深入思考，挖掘學生的思維潛能，讓課堂妙趣橫生、趣味無窮[2]。課堂追問是一種有效的教學組織形式，它是聯系教師、學生和教材的紐帶，是激發學生學習興趣、啟發學生深入思考、引導學生解決問題、檢驗學生學習效果的有效手段。具體做法如下。[3]

1有的放矢，以追問激發思維的廣度

新課程標準提倡師生互動，要求學生主動參與課堂，在課堂中培養學生自主學習意識和探究能力。追問就是教師激發學生學習興趣，吸引學生積極參與的重要途徑。然而，追問必須要注重質量。有的教師為了營造課堂氣氛，調動學生積極性，追問連續不斷，但追問的內容質量并不高。因此，課堂追問要避免熱熱鬧鬧流于表面，而應追求真正實效。即教師的追問不在多，而在精;不在形式，而在質量。筆者以人教版數學八年級上冊“三角形的內角”教學為例，在引導學生如何證明“三角形內角和等于180°”時，進行如下追問的教學設計。

師：請同學們認真對照圖形想一想本題已知什么，求證什么。

生：已知△ABC，求證∠A+∠B+∠C=180°。

師：請大家分別在圖上用簡單的符號標一標、畫一畫，看看有哪些信息在圖上找不到。

生：有，180°角。

師：∠A、∠B、∠C都在圖上，但是180°角在圖上找不到。那么由180°你們會聯想到什么呢？

生：平角。

師：圖上有平角嗎？如果有，那我們就可以把問題轉化為證明∠A+∠B+∠C等于這個平角。

生：沒有。

師：對，圖上沒有平角。怎么辦？

師：是否可以構造一個平角？請同學們先討論一下，然后各學習小組推薦一名同學匯報。

（教師激發學生積極參與討論，然后組織學生相互交流，如圖4的四個圖形都是學生的想法）

生1：作BC的延長線CD，如圖4-a。

生2：過點A作直線DE，如圖4-b。

師：可以作一條特殊的線嗎？

生3：可以，過點A作BC的平行線DE，如圖4-c。

生4：在BC上任取一點D，如圖4-d。

師：很好。同學們一下子想出了四種構造平角的方法。但是在這四個圖形中，哪一個圖形對我們尋找三角形的三個內角與平角的關系最有利？我們可以選擇哪一個圖形來證明？

教師引導學生利用圖4-c進行證明后，又提出一個問題：從剛才證明“三角形內角和等于180°”來看，很顯然，同學們聯想到“180°是一個平角”是證明的關鍵。請問看到“180°”除了會聯想到是一個平角，還會想到什么？于是教師引導學生通過“互為補角”把問題轉化為證明角相等，在讓學生發現和感悟新的證明方法的同時，再次掀起課堂研究新高潮。數學教育家斯托利亞爾在《數學教育學》一書中指出：“數學教學是數學（思維）活動的教學。”他在列舉數學教學目的時把發展學生的思維能力放在第一位。思維是數學教學的核心問題，人們獲取或發展數學知識都是思維的結果。所以，教師通過由表及里，靈活追問的方式，逐步趨向數學知識的本質，不僅深受學生喜愛，而且是追求有梯度的課堂的有效策略。

2巧妙假設，以追問挖掘思維的深度

教學中追問的方式不拘一格，需要教師深入研讀教材，找準追問點，以有效的追問挖掘學生思維的深度。如在數學教學中，教師應引導學生通過對問題設問的情境、設問的角度和設問的方法等顯性信息，以及命題的意圖、解題的方法等隱性信息的追問，幫助學生從中挖掘題干的重要信息，從而快速、準確地解答試題。假設式追問就是常用的一種追問方法，如果在教學中能合理地使用，可以起到事半功倍的效果。

人教版數學八年級下冊有這樣一道習題：如圖5，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點，四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？根據學生對四邊形的認知水平，不妨對本題進行改編并采取假設式追問“如圖5，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，欲使四邊形EFGH是菱形，請問四邊形ABCD應是什么四邊形？為什么？欲使四邊形EFGH是矩形呢？”通過這樣的改造和追問，借助分析與歸納、類比與聯想，猜想與驗證等使本來較抽象的結構能獲得相對直觀的形象解釋，能從一道習題的求解中獲得整章知識內在聯系的系統建構，將一些看似無處著手的問題轉化成具有規律的數學模型。

（二）變式深化，攀“梯”登“頂”

根據原上海市青浦縣數學教改實驗小組的研究成果表明，數學問題一般分解為三個基本成分：1初始狀態——問題的條件;2解決的過程——根據一定的知識和經驗，變換問題的條件，向結論過渡;3最終狀態——問題的結論。[4]如果一道題的條件和結論都很明確，其解題過程也是學生所熟知的，那么我們將其稱為標準題。如果對標準題的三個基本成分（即問題的條件、解決的過程和問題的結論，分別用字母A、B和C表示）作改造和變化，使三個基本成分中缺少一個或兩個，而且這些成分學生不知道或不明確（即未知的成分），這樣的題目稱之為變式題。標準題、變式題與不同的教學水平相對應（見表1），其中x、y、z分別代表題目的三個未知成分。

一道題到底屬于哪一個級別，取決于教學的情況以及學習該題的學生。例如對某個班級的學生來說，這道題教師已講透徹，并且要求學生熟練掌握，那它應是標準題。對另一個班級的學生來說，這道題學生尚未接觸過，需要自己探究求解的思路，那它就是變式題。同一道題在不同的學習階段也不一樣，例如“解方程x2+x-6=0”這道題，在學生學習了求根公式之后，它是封閉性變式題（ABz型）;但在此之前求解，需要配方法或用兩個因式的積等于零的性質去求解，且求解的過程和結論事先都不明確，那就是一道開放性變式題（Ayz型）。著名的教育家和心理學家布盧姆在進行目標分類時曾經意識到這一現象帶來的麻煩，他認為兩個學生解同樣的試題，一個學生以前未學過這類題目，必須應用一般原理推導結論。也就是說，達到同一分類目標，對經驗背景不同的學生來說往往并不意味著付出了同樣的努力。由于布盧姆的分類理論僅以教學結果的外顯行為作為根據，未與教學過程中的行為及其水平聯系起來，因此無法解決這一矛盾。但筆者認為，對數學題做這樣的劃分，不僅能促成教與學水平的遞進，還能根據教學實際、把握梯度、指向知識本質設計一系列相關聯的變式習題，從而對不同學習水平的學生進行由淺入深、富有成效的訓練，發展學生的思維能力，激發學生學習數學的興趣。

三、因材施教，多維評價，追求有梯度的課堂

因材施教是以承認人的心理的個別差異和學情為基礎的教學策略。從總體上說，就是激勵學生積極性，明確學習目標，掌握學習方法，使學生通過學習，在原有基礎上得到發展和提高。因材施教實際上就是根據學生的情況進行分層教學、分類指導，做到“幫困保底”“扶中提高”“培優拔尖”。筆者認為，義務教育數學學科教學應樹立上不“封頂”，下要“保底”的教學理念。對待資優生，教師應根據學生的興趣特長進行拓展、延伸、拔高，但對于學困生，教師要幫助他們掌握走向未來的必備數學學科基礎知識。一般來說，教學上的因材施教主要是以智力差異為基礎，教育上的個別對待主要是以性格差異為基礎。教師實行分層遞進教學，使因材施教得到有效的實施。在因材施教中，“幫困”可以做到“補差”，保證基本教學目標的實現，也就是“保底”;對于中等學生，使他們在原有的基礎上得到提高，課堂教學中，教師應設法給他們展示的機會，從而在同伴學習的成功體驗中逐步樹立學習的自信心;對待資優生，教師應適時發揮他們“小老師”的作用，學習金字塔理論也指出，“教別人”或者“馬上應用”，是學生記憶效果最佳的教學方式。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發展和變化。應采用多樣化的評價方式，恰當呈現并合理利用評價結果，發揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。通過評價得到的信息，可以了解學生數學學習達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結與反思，調整和改進教學內容與教學過程。數學教學評價不但要關注學生的學習結果，比如建立課堂教學日日清、周周清、單元測、期末評測相結合的評價制度，還要關注學生在學習過程中的分析、思考、推理、判斷、假設等，從多維度及時評價，激發學生的無限潛能。教師也應通過評價給予學生自信心，使學生從一個成功走向另一個成功。

心理學家克魯切茨基曾說過，即便有最完善的教學方法，在數學能力上也總會有個別差異——一些學生更有能力，另一些學生則可能暫時能力不足。在這方面永遠不會平等。因此，數學教師應當在著力發展所有學生的數學能力，在培養他們對數學的興趣與愛好上，有針對性地、系統地做工作，全心愛護每一個學生，同時，也要適當注意數學上超常的學生，為他們布置特殊的作業，以便進一步發展他們的數學能力[5]。這也是筆者提出因材施教，多維評價，追求有梯度的課堂的價值所在。

參考文獻：

[1]戴啟猛.基于初中數學“四度六步”教學法的理論基礎與實踐架構[J].中小學課堂教學研究，2020（3）：22-26，39.

[2]戴啟猛.創造更加精彩的課堂：初中數學“四度六步教學法”的20年實踐與探索[J].廣西教育，2020（2）：15-19.

[3]奚小慧.有的放矢，注重梯度：淺談初中語文課堂追問藝術.文理導航[J]，2014（31）：16.

[4]青浦縣數學教改實驗小組.學會教學[M].北京：人民教育出版社，1991.

[5]克魯切茨基.中小學生數學能力心理學[M].趙裕春，李文湉，楊琦，等譯.北京：教育科學出版社，1984.

（責任編輯：陸順演）