淺談高中數學平面向量解題中的消元思想

摘 要：平面向量的主要作用是將代數和幾何之間建立了聯系，而代數和幾何又是高中數學的核心內容，因此可以說平面向量是高中數學教學過程中非常重要的一部分，所以教師要在教學過程中盡量保證每一個學生都能夠充分掌握和運用平面向量的知識。解決高中數學平面向量這部分題目的方法有很多種，教師可主要探討高中數學中平面向量解題中的消元思想。

關鍵詞：高中數學;平面向量;解題;消元思想

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2020）22-0091-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.22.045

一、消元思想在高中數學平面向量解題中的主要作用

在高中教學階段，數學是一門重點科目，平面向量教學內容是數學課程中重要的組成部分，平面向量知識具有非常強的邏輯性和概念性，對學生的學習和理解來說有一定的難度，因此教師應該引導學生采取合理的數學思想方法，使學生能夠更透徹地領悟平面向量知識的概念，提升學生的解題能力。消元思想就是高中數學教學中重要的思想方法之一，其既可以幫助學生掌握具體的解題技能，也可以為學生指引正確的解題方向，是提高學生平面向量知識運用能力的重要途徑之一。消元思想在平面向量解題過程中，可以促使學生對題目和結論產生刪繁就簡的解題意識，讓學生明確條件和結論之間的轉化關系，使學生掌握正確的解題思想，發散學生的解題思維，培養學生的解題意識。因此，消元思想對學生在高中數學平面向量解題中產生著積極的影響作用，其不僅可以深化學生對平面向量知識的記憶和理解，也能顯著提升學生的解題能力和運用能力。除此之外，在解題時融合消元思想，可以有效提高學生的解題效率，使學生在成功解題的過程中獲取成就感，增強學生的自信心，調動學生自主學習的積極性，激發學生不斷探索平面向量知識的學習熱情，為學生構建更完善的平面向量知識體系，提升學生的數學素養，從而達成教師理想的教學目標。

二、運用消元法解題的常規步驟

在解決一些復雜的數學題目時，題目中往往會有許多復雜的變量，為了求出每一個變量，就需要通過等效代替或者化簡的方式進行，從而可以從復雜的關系式中求出某一個變量的值，而這種解決問題的方法就叫做消元法。消元法在高中數學的解題過程中應用非常廣泛，它不僅可以解決平面向量中的一些問題，而且可以解決解析幾何中的一些問題。

1.認真審題，通過觀察題目中的數學關系式，或者挖掘題目中隱藏的數學關系式，來尋找下手點。同時，認真審題也是學生解題的基礎條件，能夠使學生樹立正確的解題思路，為學生接下來的解題過程創造有利的先決條件。

2.可以將題目中的條件轉化成數量關系式，然后將題目中給出的關系式進行比較，如果發現有一種量的數值相同，那么就可以把這種數值消去，實現消元思想在數學解題中的運用。

3.如果在比較題目給出的數量關系式時，發現兩種量的數都不相同，這時不要著急，可以用一個特殊的數或者關系式去乘等式的兩邊，經過變換后會發現有一個量的數相同，從而也就將這個量消去，發揮消元思想的具體解題作用。

4.用消元法解答完之后，需要將算出的結果帶入到題目給出的關系式中，從而檢查結果是否正確，發揮消元思想在數學解題過程中的實際作用，使學生更透徹地掌握消元思想的運用方式，更有效地拓展學生的思維空間，也充分體現了數學思想和數學知識融會貫通的特性。

三、消元法在平面向量題目中的運用

數學思想和數學方法是高中數學的核心，也是學生靈活運用數學知識的前提，因此，在高中數學教學過程中，教師應該注重教授學生一些數學的思想和解決問題的方法，并且根據具體的題目探討這道題運用到了什么思想和方法，簡單地讓學生明白具體的過程和正確的答案，使學生掌握一定的解題技巧，從而有效提高學生的解題能力。平面向量可以說是高中數學的一個橋梁，它將高中數學的兩個大板塊—代數和幾何緊密聯系到了一起，幫助學生更加深入地了解代數和幾何的內在關聯。而消元思想也是在解決平面向量問題的過程中最常用的方法之一，下面我們將探討消元法在平面向量解決中的具體運用。

（一）運用消元法解決普通平面向量題目的常規步驟

在利用消元法解決平面向量的題目時，第一步要認真審題，建立明確的數學關系式，第二步明確解決這個題目要消去什么量，第三步就是選擇基本量，基本量可以是一個向量，也可以是多個向量。選擇基本量的主要用途是用基本量表示其他的向量，從而達到消元的目的。運用消元法解決普通平面向量題目時一定要把握好兩點，第一個關鍵點是一定要找到題目中向量之間的關系式，普通題目給出的向量和關系式很明確，但是在解決一些其他題目時，就需要我們審題，分析題目，整理出題目隱藏的關系式。消元法主要有代入消元法、加減消元法、整體消元法、換元消元法、構造消元法、因式分解消元法、常數消元法、利用比例性質消元法等。在用消元法解決平面向量的普通題目時，第二個關鍵點就是消元，消元可以用帶入消元法，也可以用加減消元法，需要我們根據題目采用合適的消元法，然后用基本向量表示出題目中的其他向量，題目就可以解決。因此，學生在利用消元法解決平面向量問題時，教師一定要注重培養學生的審題能力，指導學生分析題設，抓住問題的重點，確立數學關系式，使學生知道所要消掉的量，引導學生正確選擇基本量，再根據不同的問題進行具體消元法的甄別和選擇，為學生的解題思路不偏離正確方向提供保障，鍛煉學生的獨立思考能力和自主解題能力，培養學生優異的探索能力和分析能力，使學生更科學有效地實現消元法在解決平面向量問題中的運用，提高學生的解題效率，最大程度地發揮消元法在平面向量解題中的作用，收獲理想的教學成果[1]。

（二）運用平面向量基本定理進行消元

平面向量基本定理說如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在唯一實數對x、y，使p=xa+yb。我們通過學習理解平面向量的基本定理可以發現，在解題過程中可以用基底來表示其他向量。平面向量的基本定理告訴我們，兩個不共線的向量都可以作為基本向量來表示其他向量，因此我們在選擇基本向量時，可以利用平面向量的基本定理來選擇。用一組向量來表示其他向量解決平面向量的題目，也是消元的一種方法。但是，我們不能太死板，因為不同的題目基本量的個數也是不同的，因此我們需要根據具體題目選擇合適的基本量。另外，基本向量的線性組合也可以作為基本向量來表示其他向量，這也是一種消元的方法，并且這種方法還體現了化歸的數學思想。

教師想要實現學生運用平面向量基本定理進行消元思想解題的教學目的，首先要做的就是鞏固學生的平面向量基礎知識，學生只有具備了過硬的基礎概念素質，才能在分析題目時，發現題目和平面向量基本定理之間的關聯，進而在解題時合理運用基本定理，并且能夠根據不同的題目內容，選擇正確的基本量，提升學生靈活運用平面向量基礎定理的能力，鍛煉學生的思考能力和解題能力，最終實現平面向量問題的合理解決。

（三）根據圖形的性質完成消元

消元的途徑有很多種，在利用消元法解決平面向量的題目時，我們通常采用基本量表示其他向量，然后用與實數運算類似的加減法來進行消元。但是，有時候我們無法用加減消元法來完成一些題目，而這類無法解決的題目基本都包括圖形，這時我們需要根據圖形的性質來完成消元。運用消元法解決這類含有圖形的題目主要是通過構建圖形，充分利用線段中點的性質，再通過利用向量的運算進行消元。在用消元法解決高中數學平面向量的題目時，主要是利用類似實數運算的方法進行消元，但是有時候我們需要根據圖形的性質間接消元。因此，對于一些無法用加減消元法解決的平面向量問題，學生應該首先分析題目的類別，然后采取“數形結合”的解題思路，根據題目內容構建圖形，將圖形的性質和運算進行融合和轉化，完成間接的消元，進而順利解決平面向量問題。

利用圖像的性質不僅可以完成消元解題，同時，構建圖像也是最快的解題方法，因為平面向量本身就是幾何和代數的結合體，所有的向量都是建立在圖像的基礎上，學生在解題時構建圖形、圖像可以清晰展示出各個向量之間的聯系，使學生能夠正確選擇所要消去的基本量，有效拓展學生的思維空間，增強學生的解題能力，幫助學生更透徹地掌握消元思想在平面向量解題過程中的運用要點，使學生的解題效率產生實效性的提高，發揮消元思想理想的教學目的[2]。

四、教師應用消元思想解題教學時的注意事項

教師在將消元思想融入平面向量解題教學的過程中，應該把學生的審題能力設置為第一教學要素，旨在培養學生良好的審題習慣和思考習慣，問題分析得透徹，就意味著問題解決了一半。教師要強化學生的審題能力，引導學生多角度觀察平面向量問題，找到相關向量聯系，使學生能夠由表及里，抓住問題本質，采取恰當的消元方式，從而更有效地解決問題[3]。

教師還可以在學生解決平面向量問題時，鼓勵學生一題多解或者一法多用，調動學生的思考能力，使學生的解題思路不局限于狹窄的空間，也不拘泥于某一種固定形式。如果一道題可以用消元法解決，教師可以繼續引導學生采取其他可以替代的方法，使學生能夠多角度地鉆研問題，更加深入地了解平面向量知識點的特征、差異和隱含關系，深化學生對數學概念的記憶和理解，提高學生數學思想的運用能力，拓展學生的思維空間，挖掘學生的思維廣度，發揮消元思想在解題過程中的最大作用。

參考文獻：

[1]邊秀麗.基于“先學后教”教學模式的幾點認識——以高中數學《平面向量數量積（1）》的教學為例[J].中學數學，2019（15）：13.

[2]劉佳，李琪，蘇淑華，皮帥玲.新課標下高中數學教材例題設置的難度研究——以平面向量為例[J].科教導刊（中旬刊），2019（7）：146.

[3]裴黎黎，殷木森.高中數學智慧課堂的建構與思考——以人教A版必修四《平面向量基本定理》一課為例[J].中學數學研究（下半月），2019（6）：F0002.

作者簡介：茍建忠（1976.11— ），男，漢族，甘肅臨洮人，中小學一級，研究方向：高中數學教學。