滲透轉化思想，促進思維發展

胡漢生

摘要：通過挖掘教材中例習題的潛在價值，不但可以把彼此孤立的知識串聯成線，融會貫穿，而且可以優化學生的解題方法，促進數學思維發展。在最短路徑問題中滲透了轉化思想，如果學生一旦掌握數學思想方法，就能舉一反三，觸類旁通，有效培養學生解題遷移能力。

關鍵詞：最短路徑;? 轉化思想;? 解題遷移;? 思維發展

如何上好九年級復習課，提高中考備考效率，歷來是每位畢業班教師最為關注的問題。縱觀近年全國各地中考試題，雖說千變萬化，但萬變不離其宗，其宗旨就是：研讀課標，挖掘教材。簡單來說，研讀課標即研讀教育部頒發的《義務教育數學課程標準（2011年版）》，挖掘教材則是有效地開發和利用教材資源。2020年是用課標作為命題依據的第一年，所以要加強現行教材內容的研究。通過挖掘教材中例習題的潛在價值，不但可以把彼此孤立的知識串聯成線，融會貫穿，而且可以優化學生的解題方法，促進數學思維發展。

例如，《北師大版義務教育教科書·數學》（七年級下冊）第123頁有這樣一道習題：

如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A，B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？

??? ?

這是一道最短路徑問題，基本思路是運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長。具體如解法圖形所示：作點A（居民區A）關于直線l（街道）的對稱點A′，連接A′B交直線l于點M，則點M即為所求點。最短路徑問題是當今中考的熱點題型，通常會以三角形、四邊形、圓、函數、立體圖形等為背景，重在考查學生對知識的遷移能力。

無獨有偶，最短路徑問題還出現在《人教版義務教育教科書·數學》（八年級上冊）第85頁的課題學習中。本文結合近幾年全國各地中考試題，就最短路徑問題究其本質，分類整理，探索解決此類問題的具體備考策略。

1? 以三角形為背景

例1如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=3，EM+CM的最小值為（??? ）

A. 4???????? ??????????????????B.

C.D. 3

分析：要求EM+CM最小值，首先應分析點M位置。根據等邊三角形“三線合一”的性質易知，點C的對稱點是點B，連接BE交AD于M，此時EM+CM最小值即是BE的長.

解答：如圖，連接BE.

∵點B和點C關于直線AD對稱，∴MB=MC，

∴BE就是EM+CM的最小值.

∵等邊△ABC的邊長為6，AE=3，∴CE=3

∴，∴EM+CM的最小值為3.

點評：本題考查的是最短路徑問題及等邊三角形的性質，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵.

2? 以四邊形為背景

2.1? 正方形

例2已知：如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（）

A.8

B.10

C.11

D.12

分析：要使DN+MN最小，首先應分析點N的位置。根據正方形的對角線互相垂直平分易知，點D的對稱點是點B，連接MB交AC于點N，此時DN+MN最小值即是BM的長.

解答：如圖，連接BM.

∵點B和點D關于直線AC對稱，∴NB=ND

∴BM就是DN+MN的最小值

∵正方形ABCD的邊長是8，DM=2，∴CM=6

∴，∴DN+MN的最小值是10.

點評：解答本題的關鍵是讀懂題意，因DN、MN不能直接求，故考慮通過作輔助線轉化DN、MN的值，從而求出其最小值.

3? 以圓為背景

例5如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點M在⊙O上，∠MAB=30°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點，則PM+PN的最小值為（??? ）

A.3???????????? B.3

C.6???????????? D.6

分析：要求PM+PN的最小值，可作點N關于AB的對稱點N′，連接MN′交AB于點P′，由“兩點之間，線段最短”易知，點P′即為PM+PN最小時的位置.

解答：如圖，作點N關于AB的對稱點N′，連接MN′交AB于點P′，點P′即為PM+PN最小時的點P的位置，連接OM，ON，ON′，MN′.

∵N是弧MB的中點，∴∠MAB=∠NOB=∠MON=30°，

∴∠MON′=90°，∴△MON′為直角三角形.

∵AB=6，∴ON′=OM=3.根據勾股定理可得MN′=3，

即PM+PN的最小值為3.

點評：本題主要考查軸對稱——最短路徑問題，直角三角形的性質等，確定點P的位置是解題的關鍵.

參考文獻：

[1]馬復.北師大版義務教育教科書·數學（七年級下冊）：北京師范大學出版社，2017：123.

[2]高峰.2020年廣東中考高分突破：世界圖書出版公司，2019，181.

[3]武澤濤.萬唯中考試題研究：新疆青少年出版社，2019：183-184.