基于分類討論思想的等腰三角形復習

盧浩挺

摘要：等腰三角形存在性問題是八年級學生學習特殊三角形的過程中的重、難點。通過對不同問題背景下等腰三角形存在性問題的探討，來整體復習等腰三角形。在問題解決的過程中，明確了此類問題分類討論的依據和標準，引導學生以點帶面，突破疑難問題，提升問題解決的能力，培養學生幾何直觀、邏輯推理等素養。

關鍵詞：分類討論；等腰三角形；復習課；幾何直觀；邏輯推理

一、問題產生背景

“如何上好復習課”是擺在每位教師面前的一個問題。日常的復習課主要包括基礎復習課和專題復習課兩種類型，但是復習的針對性和效果往往并不理想。究其原因，主要在于教師對學情的把握不準確，精心準備的復習“大餐”并不符合學生的“胃口”，簡單的復習學生吃不飽，拓展的問題學生吃不消。那么，學生到底需要怎樣的復習來幫助他們鞏固提高呢？其實，學生日常的疑難問題就為教師“烹飪”出一桌“大餐”提供了豐富的“食材”。

筆者在上課時就遇到了這樣一個問題：已知△ABC是等腰三角形，∠A = 80°，求∠B的度數。很多學生的答案是∠B = 50°或20°。問其如何思考，他們還能自信滿滿的說是通過分類討論，如果∠B是底角，答案就是50°；如果∠B是頂角，答案就是20°。

八年級學生已經基本具有運用分類討論思想研究問題的意識，但是很多學生都會出現類似上面的問題，也就是分類討論不徹底。如果∠B是底角，可能∠A是頂角，也有可能∠C是頂角，因此還要二次分類。等腰三角形分類問題中能否避免二次分類就將問題解決？學生產生錯誤的原因在于分類的依據往往是等腰三角形的腰和底，或者是頂角和底角。如果要一次分類完全，必須要打破學生的思維定勢，重新確定分類討論的依據。為了幫助學生解決這個疑難問題，筆者設計了“基于分類討論思想的等腰三角形復習”這節課。

二、問題解決過程

1.提出問題

問題1：已知△ABC是等腰三角形，∠A = 80°，求∠B的度數。

生1：∠B = 50°或∠B = 20°。

師：你是如何得出這個結論的？

生1：我是通過分類討論，如果∠B是底角，那么就是50°；如果∠B是頂角，就是20°。

師：生1提出了研究數學的一個重要方法，即分類討論，生1的答案是否正確呢？

生2：應該是∠B = 50°或∠B = 20°或∠B = 80°。

師：說說你的理由。

生2：如果∠B是底角，可能∠A是頂角，也有可能∠C是頂角，因此還要繼續分類討論。

師：也就是說需要進行兩次分類。現在以數形結合的方式將生2的想法呈獻給大家，如圖1所示。

師：大家觀察圖1中最后的三個圖形，他們的頂角頂點有什么特點？給了你什么啟示？

生3：這幾個等腰三角形的頂角頂點分別是點A，B，C，我們是不是可以按照等腰三角形的頂角頂點進行分類呢？

師：如果按照頂角頂點分類，我們如何用符號語言描述呢？

生4：頂角頂點確定了，就意味著等腰三角形的腰確定了，可以用兩腰相等去描述。例如，題中可以按照AB = AC，AB = BC，AC = BC來分類。

師：很好，老師先把你的想法寫下來。

問題2：如圖2，正方形網格中，網格線的交點稱為格點。已知點A，B是兩格點，若點C也是圖2中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，試找出所有的點C。

生5：若AB為腰，以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與正方形網格相交于兩個格點，同理以點B為圓心，AB為半徑畫圓，與正方形網格也相交于兩個格；若AB為底邊，則作AB的垂直平分線，又有四個交點，具體如圖3所示。

師：你是如何進行分類的？分類的標準是什么？

生5：將AB分別作為等腰三角形的腰和底邊，如果AB是腰，還得分別把點A，B作為頂角頂點進行討論。

師：很好！生5利用兩次分類把問題解決了。

生6：按照剛才角的分類，我發現對邊進行分類可以通過一次分類完成，就是分別以點A，B，C作為頂角頂點來進行分類討論。

師：非常好！對于等腰三角形的分類討論問題，無論是已知一個角還是一條邊，都可以用同一個標準進行分類討論。

【設計意圖】引導學生利用已有經驗去嘗試解決問題，并且不讓學生止于問題的解決，而是去尋找不同問題的內在規律。在等腰三角形的相關問題中，分類討論是一類常見的問題，無論是角的分類，還是邊的分類，兩者都有內在聯系——相同的分類標準（如圖4），讓學生充分感受分類的過程，經歷不同方法的思維碰撞。

2.形成方法

師：老師把剛才兩個問題的兩種不同方法展現給大家，大家比較前后兩種分類方法，你更喜歡哪一種？為什么？

生7：我更喜歡第二種，也就是以等腰三角形的頂角頂點作為分類依據，因為只要進行一次分類就可以了，而且不重不漏。

師：在研究等腰三角形的邊角分類問題時，我們的確經常按照等腰三角形的頂角頂點，從兩腰相等進行分類討論，可以簡化我們的思考過程，并做到不重不漏。我們今天就用這種方法來解決一些問題。

【設計意圖】讓學生經歷不同方法的形成過程，并對兩種方法進行比較和優化，得出適合自己的最佳方法。羅增儒教授認為，數學課堂應該在目標的引領下，通過任務驅動，讓學生用自己的方法去經歷學習的過程。相信通過已知和新知的碰撞，能夠助推學生數學能力的提升。等腰三角形分類討論問題中的分類標準的確立，為后續的實踐應用奠定了良好的基礎。

3.實踐應用

應用1：若以點A為原點建立平面直角坐標系，點A，B位置如圖5所示，試在坐標軸上找一點P，使△ABP是一個等腰三角形，這樣的點P有幾個？試畫出來。

生8：這里兩個點是確定的，先以點A為頂角頂點，即AB = AC，此時以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與坐標軸有4個交點；再以點B為頂角頂點，即AB = BC，此時以點B為圓心，AB長為半徑畫圓，與坐標軸有2個交點。以點C為頂角頂點時，即AC = BC，點C是在AB的中垂線上，作出中垂線后發現與坐標軸分別又有2個交點，所以一共有8個交點。

師：非常好！同學們現在可以準確應用分類討論的思想，利用“兩圓一線”模型來解決問題。老師現在對這個問題稍加處理，你們看看還能解決嗎？

師：生9將這個過程分析得很透徹，這個問題的本質與前面的問題相同，也就是有兩個點是定點，一個點不確定（動點）時，依然要用到按照等腰三角形的頂角頂點，從兩腰相等的角度進行分類討論。如果讓兩個點動起來會怎么樣？

應用3：如圖6，點P，Q分別是線段AC，AB上的動點，連接PQ。點P以每秒1個單位長度的速度從點C出發向點A勻速運動，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發向點B勻速運動，當點P運動到點A后兩點同時停止運動。試問多少秒后△APQ為等腰三角形？

師：在只有一個定點的情況下，我們該怎么辦？

生10：還是要分情況討論。

師：還能用“兩圓一線”模型嗎？

生11：不能，但是依然可以按照我們之前確定的分類依據進行討論。

師：誰來試試？

師：生12利用分類討論思想，結合方程思想解決了這個看起來有些復雜的雙動點問題。這樣看來，只要我們抓住問題的本質，合理選擇分類的依據，這種看似高不可攀的難題也能快速形成思路，后續的計算等學習了二次根式以后會更簡單。

【設計意圖】分類討論思想在不同的知識背景下均有涉及，如格點、直角坐標系、兩定一動、兩動一定等，通過三個遞進的應用題目讓學生感受無論問題怎么變，數學本質始終沒有變，分類討論的核心是分類標準始終沒有變。在不同的問題情境中，學生鞏固了等腰三角形的基礎知識，進一步滲透了分類討論思想、方程思想和數形結合思想.

三、反思

1.復習課接地氣，疑難問題巧成素材

一節復習課所承載的內容畢竟有限，需要教師更加用心地去挑選學生喜愛的“食材”。因此，課堂所呈現的內容必須接地氣，能夠幫助學生解決他們的疑難和困惑。在日常教學中，教師要多留心學生的問題，多注意難點和易錯點，將這些問題巧妙地融入到復習課中。例如，分類討論是等腰三角形中常見的一類問題，也是熱門考點。如何進行分類討論是思維上的難點，學生常常因為沒有合適的分類標準而出現漏解、錯解。學生日常的分類角度并不能準確地解決現階段的數學問題，因此需要打破學生的思維定勢，重新研究和發現分類標準，指導學生方便、快速地解決等腰三角形中常見的分類討論問題，這樣的復習課學生才有興趣，課堂才有效率。

2.復習課顯靈氣，以點帶面幫助提升

一節成熟的復習課，不僅需要選擇合適的切入點，而且需要整合相當的資源，照顧不同層次學生的不同需求。盡管筆者舉例的這節課是以分類討論為主線展開的，但是里面結合了等腰三角形的性質、判定，兩圓一線，兩定一動，兩動一定，方程和二次根式等問題，內容豐富，有一定的思維含量。幫助學生梳理出分類討論的標準后，學生顯得非常有靈氣，一些平時讓學生“聞風喪膽”的問題也變得相對容易，以分類討論這個點帶動等腰三角形整個面的復習、鞏固，最終提高了學生解決問題的能力。

3.復習課攢底氣，方法遷移所向披靡

對于很多學生而言，有時復習課上與不上沒有區別，會的本來就會，不會的還是不會，復習課沒有起到應有的作用。復習課往往是題目的堆砌，內容廣而散，不能有效帶動學生主動學習，自然談不上高效。復習課所承載的作用應該是為學生后續解決問題攢足底氣。一節高效的復習課會促進學生思維質的飛躍，能夠切實提升學生解決問題的能力，同時幫助學生利用所學內容進行知識和方法的遷移，最終讓學生能在數學的天地中自由翱翔，在數學問題的洗禮中所向披靡。

參考文獻：

[1]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]李淑杰.初中數學課堂教學的“三把尺”：以“等腰三角形”復習課為例[J].中學數學教學參考（中旬），2019（8）.

[3]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]朱愛雅.例談分類討論思想在等腰三角形中的應用[J].考試（中考版），2012（1）.