落實三項舉措 提高復習效率

李紅梅

[摘? 要] 應用題是高考必考題型，也是學生求解質量不高的題型，基于這個現狀，文章提出了應用題復習的專題化設計的幾個路徑，復習中訓練學生通過“圈讀、解讀、聯讀”等方法讀全、讀懂、讀通題意，從而準確建模并強化運算求解的示范、訓練，切實提升學生的應用題解題能力.

[關鍵詞] 應用題;專題設計;閱讀;運算

應用題教學是增強學生數學應用意識，提高數學建模和問題解決能力的重要途徑. 應用題，貫穿整個基礎教育學段，它不僅是實現數學育人、提升學生數學素養的重要內容，還是各類考試必選的題型. 應用題考查及題型創新，甚至成為高考命題設計的一大亮點. 然而調查發現，盡管應用題在高考配分上占有相當的權重（8.8%～10%），但在整個高三的復習安排中，應用題復習如何組織并未得到很好的落實，缺乏完整的專題設計;學生應用題求解的質量也普遍不高，2017年至2019年的三年之中，江蘇省考生應用題平均得分率僅為0.40，還出現了得分率僅0.35的情況. 應用題，甚至成了一部分考生的“心理陰影”. 結合對應用題教與學的現狀分析及本人的具體實踐，要提高應用題復習的效果，必須精心落實好以下三項舉措.

加強應用題復習的專題設計

專題復習是高三復習組織的基本形式. 專題通常以《課程標準》《考綱》為依據，從知識、方法、能力三個維度，立足于整個中學數學內容體系，進行整體設計. 通過系統的專題復習，使學生的認知結構更加清晰、完整，綜合能力得到進一步提升. 在一定程度上，高三復習的專題設計及實施水平，直接影響學生的考場表現.

然而，縱觀整個高三復習的現狀，唯有應用題復習的專題化程度及實施質量是令人擔憂的. 一是少見有應用題復習的專題設計，縱觀現行的不知其數的高三復習資料，幾乎沒有哪本現成資料上有目標比較明確、專題比較突出、設計比較系統的應用題專題. 加之時間、精力、能力等諸多方面的原因，一線不少教師也無暇自主進行專題設計補充，往往只能停留于遇題講題的離散狀態. 二是應用題復習缺乏有力的“對癥”性措施. 復習時，對學生在應用題方面究竟存在什么樣的問題，查得不清、斷得不準，對如何真正解決好學生存在的問題，辦法不多、落實不力、訓練不夠.

應用題復習需要專題編設，需要有專題的復習安排. 應用題背景一般源自現實生產、生活，應用題大凡是出于考查數學知識、方法、能力的目的，通過逆向思維編制而成的. 應用題專題可以通過常見的模型為線索展開，如方程（組）型、不等式（組）型、函數型、統計（概率）型、線性規劃型等;可以由背景屬性為線索來組織，也可以由主要方法類型為線索展開，如平面幾何圖形性質分析、坐標解析法、數據分析法等;還可以從應用題求解的關鍵環節——閱讀理解、模型建構、運算求解為線索組織. 應用題的專題編制可以在備課組內分工負責進行，在備課組集體對應用題復習的目標設定、內容組織、復習要點進行集體研究的基礎上，按任務要求，進行合理分工、分頭落實. 應用題專題復習，要在專門的集中的時間內進行，還可根據學生掌握的真實情況，采取集中專題訓練與滾動式滲透性訓練相結合.

突出應用題的閱讀理解

閱讀理解是應用題求解的基礎. 數學應用題是所有數學問題中閱讀難度最大的一類問題. 通常情況下，應用題語言是現實生產、生活中的語言，由于學生現實生活經歷、經驗的局限，需要學生對這種語言有較好的適應和準確的理解（生活語言數學化）. 應用題的文字閱讀量較大，一般的應用題都在150字（符）以上，有的甚至超過200字. 而且應用題語句間，直接的邏輯聯系不明顯，學生要在3～5分鐘內，讀全——不遺漏任何一個信息點，讀懂——理解每一句話的數學意義，讀通——頭腦中建立起每句話內在的關系和聯系，不僅要注意力的高度集中，還需要有縝密的閱讀思維，更需要較高的語言轉化能力. 學生較多存在的應用題畏懼心理，首先就反映在難過應用題閱讀關.

應用題閱讀是有法可循的. 借助每一道具體問題，系統指導和培養學生“圈讀”“解讀”“聯讀”的習慣. “圈讀”指的是指導學生在閱讀過程中，及時進行標記（注），對題中重點、關鍵信息，尤其隱性、弱性信息進行標注;“解讀”指的是在學生準確理解題中直接語言的基礎上，對其語義的數學化理解及轉化，它是閱讀的關鍵;“聯讀”就是將題中各語句間的內在關系進行梳理，建立各信息點間的內在聯系. 訓練學生準確提取題中的“事件信息”“內容信息”和“問題信息”的能力，明確閱讀的任務方向. 以下題為例：

如圖1，某市有一個健身公園，由一個直徑PQ為2 km的半圓和一個以PQ為斜邊的等腰直角三角形PRQ構成，其中O為PQ的中點.現準備在公園里建設一條四邊形健康跑道ABCD，按實際需要，四邊形ABCD的兩個頂點C，D分別在線段QR，PR上，另外兩個頂點A，B在半圓上，AB∥CD∥PQ，且AB，CD間的距離為1 km. 設四邊形ABCD的周長為c km.

（2）求周長c的最大值.

該題中“事件信息”是要在一個由半圓及等腰直角三角形的組合圖形內建一條四邊形跑道. “內容信息”是半圓的直徑是2 km，△PRQ是底邊為2 km的等腰直角三角形，四邊形ABCD是高為1 km的梯形. “問題信息”是求梯形周長的最大值. 本題的閱讀難度在于讀出四邊形ABCD為等腰梯形和其中的一個主變量，從而建立起“周長”與該主變量之間的關系. 訓練學生的“解讀”能力，關鍵就是如何在不同的背景下，選擇合適的主變量并找到相關量間的內在聯系. 要準確“解讀”題意，可從這幾個方面進行分析：①對象的性狀——是什么對象（圖形結構、數量關系）;對象處于什么狀態——確定的還是變化的. ②影響對象性狀的關鍵因素——如本題中四邊形ABCD的邊還是角（大小、位置）. ③已知與所求間的內在聯系——主變與因變的關系.

概言之，應用題閱讀關鍵在于通過系統、持久的訓練，使學生熟練掌握怎么讀、讀什么.

強化應用題運算實踐

在不少時候，運算被誤認為是一種“簡單數學勞動”而被忽視. 尤其是在應用題訓練中，無論是教還是學，往往習慣于以理解題意、建立關系為興奮點，嚴謹合理的運算求解，通常被留著“課后”. 這種情形自初中“列方程（組）解應用題”開始，就被一直延續著，尤其到高中后，如果所列關系式的結構比較復雜，運算量較大時，為了所謂的節約課上的時間，都不愿在課堂上對具體的運算過程作充分的展開. 長此以往，造成了學生對應用題運算求解的重視不夠、實踐虛浮、能力不足，最終無論是學生平時的作業練習，還是考試的關鍵時刻，“列而不求”“求而多錯”就成了一種常見現象. 連續幾年的江蘇高考分析報告指出，應用題運算求解失分所占比例一直很高. 分析中還發現，考生運算求解失分，主要由對“復雜”運算的畏懼心理、對運算路徑缺乏合理的規劃、對運算結果缺少嚴謹的“檢驗”（數據的背景意義關注不夠）等原因造成的. 這些與學生平時缺乏扎實的運算實踐都有內在的關系.

事實上，運算過程包含著多種數學素養成分——運算程序規劃、最簡路徑設計、最優方法選擇、換元轉化思想等. 運算也是一種特定的數學思維，應受到高度重視. 面向高考的高三應用題復習，更要自覺強化運算求解環節的落實.

首先，要充分發揮好教對學的示范作用，課堂教學中要帶著學生一起“算”. 要從運算程序的規劃、法則的遵循、路徑的選擇、方法的優化、細節的推敲作全面展開. 要摒棄重結果輕過程的習慣，要在“算”的過程中挖掘和彰顯數學運算所蘊含的智慧精彩. 要以“問題串”設計為抓手，使運算求解的過程成為“想著算”的過程. 如前所列題例中，若以CD長（設為2x）為主變量，則最終的關系式為c=2x+2+2（0

①根據運算式的結構特征及x的取值范圍，通過什么途徑，可使式子得到簡化？（在嘗試比較后選擇三角換元）所得簡化式為c=2sinθ+2cosθ+2.

③你的下一步打算是什么？借助什么途徑求得c的最大值？

其次，要嚴格對學生運算過程實踐的要求，克服運算畏懼心理和惰性習慣. 平時的作業訓練，要求學生提供具體的運算過程，并對“算法”選擇作簡要說明（因為習慣上的“化簡、求解”的背后隱匿了太多虛空的東西）.

第三，要重視基于思維發散的路徑優化訓練. 應用題的解答是一項“大運動量”活動，運算求解只是其中最后一個環節，通常情況下，學生容易出現“體力不支”的現象而影響最后的運算投入. 路徑探究，直接決定“模型”式的繁簡及解題的運動總量. 還以前例為例，如果選擇解析法：以O為原點，RO所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設B（cosθ，sinθ），θ∈0

，，則比較容易地就能得出c=2sinθ+2cosθ+2. 同樣，如果選擇直線RO與OB構成的銳角θ為主變量建立模型，也能使求解的運算總量減輕.

最后，要強化運算細節的關注，應用題的運算求解，就運算對象而言，具有數據“大”及數據的實際意義規定的特點，如何通過“單位”轉換將數據“化大為小”，如何始終關注數值的“取值范圍”都是運算求解時特別重要的細節，細節往往決定成敗.