探尋“抽象”向“具象”轉(zhuǎn)變的方法

宋波

【摘 要】 數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)思想中的主要組成部分，通過數(shù)量與圖形關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換，讓原本抽象的數(shù)學(xué)問題以更加具象化的方式呈現(xiàn)出來，便于學(xué)生理解，降低了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的難度，成為當(dāng)前較為常用的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。本文從數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的原則入手，并針對數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用進(jìn)行了重點(diǎn)闡述，以供參考。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;運(yùn)用

“數(shù)”與“形”在數(shù)學(xué)課程中是對立又統(tǒng)一的關(guān)系，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，有助于教師快速、高效地突破教學(xué)重難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，積極探索數(shù)學(xué)“數(shù)”與“形”靈活轉(zhuǎn)換的奧秘。縱觀高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)代化發(fā)展局勢，數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為廣大數(shù)學(xué)教師的教學(xué)主線，并且通過數(shù)形結(jié)合法的滲透提高了學(xué)生的知識理解能力與知識應(yīng)用能力，為學(xué)生指出了數(shù)學(xué)問題解決的捷徑，對高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量提升具有積極作用。

一、數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的原則

數(shù)形結(jié)合主要是通過從數(shù)到形、從形到數(shù)或者利用向量法相互轉(zhuǎn)換的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，但是無論哪種轉(zhuǎn)換方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用都需要遵循以下兩點(diǎn)原則：

1.等價(jià)原則

數(shù)形結(jié)合中的等價(jià)原則是指幾何性質(zhì)與代數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化中的等價(jià)性，也就是說，無論是哪種轉(zhuǎn)換方法，都必須保障數(shù)學(xué)問題中的“數(shù)”與“形”所反映出的數(shù)量關(guān)系一致。比如在數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為幾何圖形的時(shí)候，若是圖形構(gòu)造過于粗糙、精準(zhǔn)性差，將會(huì)對學(xué)生數(shù)學(xué)問題的思考產(chǎn)生誤導(dǎo)，從而導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)偏差。由此可見，等價(jià)原則在數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用中起到關(guān)鍵作用。

2.雙向性原則

數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用需要堅(jiān)持雙向性原則，讓學(xué)生在幾何問題的探究中學(xué)會(huì)借助直觀的分析掌握代數(shù)抽象問題的解決方法，同時(shí)能夠有效運(yùn)用代數(shù)表達(dá)式克服幾何直觀運(yùn)算問題中的諸多局限，在相互促進(jìn)中提高學(xué)生的數(shù)形靈活轉(zhuǎn)換與運(yùn)用能力。

二、數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略

1.在集合中的應(yīng)用

集合作為蘇教版高中數(shù)學(xué)第一章節(jié)內(nèi)容出現(xiàn)，足見其重要性，通過數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生將抽象的集合問題以更加具象化的圖形展示出來，讓學(xué)生更加清晰地了解集合之間存在的隱蔽關(guān)系。如：學(xué)校組織學(xué)生參與社團(tuán)活動(dòng)，學(xué)生可以根據(jù)自己的喜好報(bào)多個(gè)社團(tuán)，高一（4）班共30人，其中15人喜歡音樂、10人喜歡圍棋，還有8人表示對這兩項(xiàng)活動(dòng)均不感興趣，那么同時(shí)喜歡這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生有多少人呢？此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用繪制韋恩圖的方式找出兩個(gè)集合中的交集，設(shè)同時(shí)喜歡音樂與圍棋的學(xué)生人數(shù)為x人，列式“（15-x）+x+（10-x）+8=30”，經(jīng)過計(jì)算可得x=3，得出只喜歡音樂、圍棋的人數(shù)則分別為12人、7人，讓學(xué)生輕松解決集合問題。

2.在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4中的主要教學(xué)內(nèi)容，在三角函數(shù)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，可以幫助學(xué)生求解三角函數(shù)的值域，提高學(xué)生在三角函數(shù)證明題中的解題能力，如在“求函數(shù)y=sinα+-3的值域”問題中，引導(dǎo)學(xué)生把原函數(shù)改為y=sinα-，那么此時(shí)把y看作定點(diǎn)A、B的連線斜率，A的坐標(biāo)為（3，-2），B的坐標(biāo)為（cosα，sinα），設(shè)x=cosα，y=sinα，通過推理分析畫出該函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖像，讓三角函數(shù)求值問題更加具象化，經(jīng)過計(jì)算得出y=sinα+-3的值域。

三、在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何主要是研究曲線與方程問題的教學(xué)內(nèi)容，“曲線”就是“形”，“方程”則是“數(shù)”，曲線與方程的教學(xué)內(nèi)容為數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用提供了最佳的平臺，最大化地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)價(jià)值，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)中普遍面臨的難題。在曲線與方程問題的解決中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法需要以下幾個(gè)步驟：第一步，建立直角坐標(biāo)系;第二步，篩選出幾何條件并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件;第三步，通過代數(shù)的計(jì)算得出結(jié)果并將結(jié)果用幾何的方式表現(xiàn)出來，以此提升高中生在解析幾何中的學(xué)習(xí)成果。

四、在不等式中的應(yīng)用

不等式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的地位，直接影響著學(xué)生解題能力的提升，因此教師應(yīng)在不等式教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合在證明不等式、解含有參數(shù)不等式中的應(yīng)用。如在“解關(guān)于x的不等式ax2-2≥2x-ax，其中a∈R”時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的基本思路為：（1）寫出不等式代表的函數(shù);（2）觀察圖像與圖像之間是否存在交點(diǎn);（3）解不等式問題得出答案。通過不等式轉(zhuǎn)化為具象化的精準(zhǔn)圖像，為學(xué)生解決不等式問題提供了現(xiàn)行條件。

綜上可知，數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)各個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容中的應(yīng)用方法，教師應(yīng)將數(shù)形結(jié)合思想滲透到課堂教學(xué)始終，讓學(xué)生充分了解“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)換的必要性，并且能夠靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，在數(shù)學(xué)問題解答中學(xué)會(huì)適當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方式，以此幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提高高中生的數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)了高中生的數(shù)學(xué)思維，對于高中生今后學(xué)習(xí)與發(fā)展均具有深遠(yuǎn)的影響。

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