以“數三角形”為例談數學思想方法在小學數學課堂中的有效滲透

李海濤

摘 要：2011版數學新課標中明確了“基本思想”也就是數學思想方法的價值和地位，現今社會創新型人才的需求要求數學思想方法必須從小學數學課堂抓起。具體到數三角形這個課例，課前從數線段、數角入手鋪墊，新授從拋出問題找到困難再到探索研究解決問題，最后及時歸納總結，在無形中潤物無聲地滲透思想方法。拓展環節巧設題目在爭論中打破思維定勢，課后留疑為以后獨立探索掌握思想方法這一神兵利器留有空間。

關鍵詞：數學思想方法;小學數學教學;化繁為簡;有序;滲透;真正發生

一、數學思想方法的價值和滲透數學思想方法的必要性

2011版數學新課程標準明確指出：“學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗……”“基本思想”正式成為“四基”之一。將思想方法列入促進學生在義務教育階段全面發展的目標之一，在理論上明確了其在小學數學教學中的重要價值和關鍵地位。

布魯納指出，掌握基本數學思想和方法能使數學更易于理解和記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。數學思想，就是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，是解決數學問題的基本觀點和根本思想方法，也就是我們在現在的小學數學教育中所提出的“通法”。它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，能夠為小學生解決數學問題能力的培養和數學思維的發展起到奠基性作用。在習總書記的倡導和推動下，培養創新型人才已成為社會共識，數學思想方法的培養是培育創新型人才的關鍵一招，其培養和滲透必須從小學數學課堂開始抓起。

二、“數三角形”課例展示及思想方法滲透分析

教學內容：人教版四年級下冊P71練習題7

1.前置探索，承上啟下

師：昨天老師給大家布置了“數一數”的前置作業，下面一起來匯報交流一下。

學生匯報自己數線段、數角時用到的方法。

師：剛才數線段時大家想出了兩種不同的方法，可以先1條1條地數，再2條2條地數，依次數下去。也可以先固定一個端點，把從這個端點出發的全部數完，再依次數下去，兩種方法都是非常“有序”的。數角的時候大家也用到了類似的方法，在“有序”的引領下做到了不重復也不遺漏。

師：大家數線段、數角都學得非常好。接下來你們還想數什么？

生：平行四邊形、長方形、正方形、三角形……

師：今天這節課我們先重點來研究數三角形。

導入環節設計了數線段和數角的前置作業，目的是讓學生在自主探索中喚起舊知，回憶起三、四年級數圖形教學當中“有序”。經歷了先前置探究再課上交流這兩次思維火花的碰撞，對“有序”的思想方法進行了有效滲透，為數三角形思想方法的進一步滲透做好了鋪墊。

2.探究新授，潤物無聲

師：圖中一共有多少個三角形，開始數吧。

師：你數出來了嗎？你遇到了什么困難？

生：數不出來。單個的小三角形有2019個，還有組合起來的三角形，太多了。

師：是呀，單個基本三角形都有2019個，還有2個2個地數，3個3個地數……真的太多了。碰到了這種很復雜的問題，我們要怎樣解決呢？

生：要是少一點就好了，就能數出來了。

師：是的，碰到一個復雜的問題，可以先把復雜變簡單，從簡單入手去研究。聽你們的，少一點，少到多少呢？

生：2個基本三角形、3個基本三角形……

師：每個人想要研究的數量不同，為了提高學習效果，小組內分工合作，先定好要研究的基本三角形個數，把三角形畫好，再數一數，最后把結果記錄下來。

這個環節，首先拋出一個復雜的數學問題讓學生獨立分析，給學生真正直面問題的機會，面對困難自主開始想方法去解決問題。經歷了這樣一個讓學習真正發生的心路歷程，可以更好地激發學生的探索興趣，引發學生真正思考，提高了后面思想方法滲透環節的可接受性。碰到復雜情況怎么辦？這個問題引發學生的大討論，學生根據生活和學習經驗等自然地想到了要變“多”為“少”，把“復雜”變成“簡單”，在無形中學生自己提出了解決問題時要“化繁為簡”，把數學思想方法在討論中巧妙地滲透了進去，為以后學生獨立解決時喚醒“化繁為簡”的思想方法打下了很好的基礎，為解決這道題指明了方向。

師：老師巡看時，發現有些同學做得非常好，小組內的同學互相交流一下。

依次請2個基本三角形、3個基本三角形（重點）的同學上來講怎樣數的。

生：先數3個基本三角形，再數由2個基本三角形組成的，再數由3個基本三角形組成的。

師：李老師來當你的助手，你數，我貼。觀察一下，李老師為什么要這么擺，你發現了什么？如果我們用算式簡單地記錄下來，怎么寫？

生：這樣擺非常有序，可以看出數法。3+2+1=6（個）

師：3個基本三角形的類型，還有不同的數法嗎？

生：先固定三角形最左邊的邊，把含有這條邊的三角形全部數出來有3個，再固定第二條邊不重復的數有2個，再固定第三條邊有1個。

師：兩種方法都是3+2+1，這兩個3一樣嗎？這兩種方法，又有什么聯系的地方呢？

生：不一樣，第一個3是三個基本三角形，第二個3是從最左邊這條邊出發數出來的3個三角形。

生：第一種數法如果豎著擺就是第二種數法，雖然兩個3不一樣，但數出來結果一樣，可以轉化一下變得一樣。

師：剛剛我們數三角形的時候，想了兩種不同的方法。雖然方法不同，但都做到了“有序”思考，成功地解決了問題。而且，大家通過“轉化”，使兩種方法又聯系起來，把“變與不變”分得清清楚楚。

在學生數三角形的時候，抓住3個基本三角形這種類型，讓學生講了自己的兩種不同方法，殊途同歸，再次凸顯“有序”思想方法的價值和普遍適用性，加深學生的認識。兩個“3”一樣嗎，又有什么聯系，這一關鍵問題引發學生仔細地觀察和思考，在問題的引導下，學生通過觀察發現兩者換個方向看可以變得一樣，滲透了“轉化”的思想。同時，本來不一樣又回到一樣，經歷了這個變化過程，在比較中滲透了“變與不變”的數學思想。數學思想方法的滲透需要有效的載體，選擇合理的數學問題可以在同一問題情境下滲透多種數學思想。

師：5個基本三角形的類型，猜一猜，一共有多少個三角形？怎么想的？

生：5+4+3+2+1。根據前面發現了規律，一共幾個基本三角形就從幾往下一直加到1。

師生一起來驗證5個、6個、7個基本三角形的類型。

師：那10個基本三角形的、200個基本三角形的，2019個呢？n個呢？

生：2019+2018+…+2+1。n+（n-1）+……+2+1。

師：這個復雜的問題被我們解決了，我們是怎樣把它解決出來的呢？

生：我們碰到了一個復雜的數學問題，把多變成少，從簡單入手開始研究，有序思考，探索規律，再運用規律解決問題。

師：其實今天我們的研究方法與大數學家華羅庚先生所說的不謀而合（ppt出示華羅庚的話），也就是以退為進，化繁為簡。

學生自己完整經歷了解決最開始復雜問題的過程，總結出要多變少，有序地去找規律，在總結中理解了“化繁為簡”這一解決復雜問題的核心思想方法。但學生只是一種模糊的感知，沒有內化和系統，老師及時地進行小結并且將華羅庚先生“善于退，足夠的退，退到原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅”的名言展示出來，給學生形成系統的認識，加深對化繁為簡的理解。數學思想方法的滲透是潤物無聲的，但又要注意及時地總結和歸納，為學生點亮“思想方法”這盞明燈。

3.拓展延伸，打破定勢

師：那現在看這個圖形，一共有多少個三角形？誰可以快速地答出來。

……

生1：2019+2018+……+2+1（個）

生2：不對，這里線段不是斜著的，是橫著的。上面是一個三角形，下面是梯形，梯形不是三角形。

師：看來有爭論，數學課堂就需要這種不同的聲音，真理越辯越明！那這個問題要怎樣解決呢？

生：可以化繁為簡，從簡單入手開始研究，去找規律，再驗證。

學生動手探索研究，解決問題。

學生在前面習得了“化繁為簡”“有序”“轉化”“變與不變”等數學思想，但同時得到了n+（n-1）+…+2+1這個規律，形成了思維定勢。這道拓展題目擺出來，學生之間就產生了爭論，通過生生爭論，思維定勢和理性思考激烈沖突，學生發現規律不再適用于這個題目。這時候自然而然就會想到要用數學思想解決這個問題。學生用爭論打破定勢，證明了重要的是思想方法而不是死記結論。數學思想方法是宏觀的“通法”，與解決某個具體問題的“解法”不同，具有更好的適用范圍，但學生往往會受思維定勢等的影響，更容易記住“解法”，通過類似的爭論等方法輔助思想方法的滲透，讓這盞明燈越來越亮。

4.課后留疑，研精覃思

師：我們今天研究了這兩種數三角形的方法。（課件）如果繼續數三角形，你覺得可能研究哪一種？

生：一個大三角形里，既有橫著加線又有豎著加線的。

師：這節課我們一起研究了數三角形。數學學習重方法，今天你們用到的“有序”“轉化”“變與不變、化繁為簡”等思想在以后的學習中會像明燈一樣點亮你們學習的方向。這些思想在數長方形、正方形、梯形的時候是否也用得上呢？一個大三角形里，既有橫著加線又有豎著加線的又怎樣解決呢？留給你們課后去探索和研究！

在課堂的最后，引導學生自然拋出“一個大三角形里，既有橫著加線又有豎著加線的共有多少個三角形”的問題，為學生課后探索提供素材，讓學生可以通過課后的探索練習加深對思想方法的認識。同時是否用得上的問題引發學生思考，為以后學習數其他圖形打下基礎。數學思想方法不能止于課堂教學，課后也要留有問題，給學生豐富的思考空間，讓學生在自己的探索和應用中融會貫通，成為以后數學學習的神兵利器。