一個容易被忽略的物理背景下的數學模型例析

陳國祥

【摘 要】《普通高中數學課程標準（2017年版）》在闡明數學核心素養之數學建模中指出，通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達、發現和提出問題，感悟數學和現實之間的關聯;能學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐經驗;能認識數學模型在科學、社會、工程技術等諸多領域的作用……同時用相當的篇幅介紹了很多基于數學表達的經濟模型和社會模型，包括指數函數模型（存款貸款模型、人口增長模型）、線性回歸模型（經濟增長模型）、線性規劃模型（投入產出模型）等。可見，讓學生了解數學模型并學會用它解決實際問題是數學建模的育人價值的體現。

【關鍵詞】高中數學;模型;例析

【中圖分類號】G633.7 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2020）16-0152-03

人教版必修4在《平面向量》一章利用力的合成引入向量的加法運算，并利用向量的加法運算解決實際問題。而對于向量減法運算的物理背景并未提及，也沒有利用向量的減法解決實際問題的具體事例，這總讓人感到有些遺憾[1]。

眾所周知，向量加法運算的物理背景是力的合成，向量的減法運算的物理背景是力的分解。那么，除了力的分解之外，向量減法運算還可以用來解決哪些實際問題？

實數的減法所得到的差其實是被減數在減數的基礎上增加的量。那么，對于向量的減法而言，其所得到的差自然就是在一個向量的基礎上增加的向量，這自然讓人們想到了相對運動這一概念。

萬物皆在運動，沒有絕對靜止的物體。運動是絕對的，靜止是相對的。物理學有一種運動被稱為相對運動。它指的是某一物體對另—物體而言的相對位置的連續變動，即此物體相對于固定在第二物體上的參考系的運動。因此，向量的減法這一數學模型其實是一個物體的運動（速度、位移、加速度等）相對于另一個物體的相對運動（速度、位移、加速度等）。下文通過具體事例研究利用向量的加減法解決物理背景下相對運動的各類問題。

例4 南海是我國的南大門，祖國的領土神圣不可侵犯。假設我海軍驅逐艦某日正朝著正南方向巡邏時發現正前方4海里的水域有一艘不明身份的敵艦正在以40海里/小時的速度，沿著北偏西60°方向行進，侵入我國南海水域。正在執行巡邏任務的我軍驅逐艦當時的行進速度為30海里/小時，為提高命中率，欲用魚雷從敵艦右側垂直方向將敵艦擊沉（這里先不考慮魚雷的導航功能），假設魚雷的發射速度可以在40～65海里/小時內任意選擇，請問我軍魚雷能否按要求擊沉敵艦？如果能，請求出魚雷的發射速度和發射方向。

由于，故我軍魚雷能按要求擊沉敵艦，魚雷的發射速度為45.8海里/小時，發射的方向與我軍艦行進方向的夾角為49.1°。

備注：通過對以上兩個例子進行剖析，能進一步理解向量的加減法在解決運動的合成與分解及相對運動等綜合物理問題中的應用價值。

生活離不開數學，數學無處不在。在物理解題中，可以運用數學方法將物理問題轉化為數學問題，將“物理模型”轉化成“數學模型”，然后運用數學的方法進行求解或論證，再將數學結論回歸到物理問題中進行驗證，從而完成物理問題的求解。數學不僅是解決物理問題的工具，更是物理學的研究方法之一。利用向量的加減法解決物體的相對運動問題，使得這一數學模型重新煥發出勃勃生機，體現了數學模型的橋梁作用，再次彰顯了數學強大的生命力和無窮的魅力。

課后練習：

（1）一人以的速度向北奔跑時，感覺風從正西北方向吹來，當他轉彎向東以的速度行走時，感覺風從正西南方向吹來，求風的方向與風速。

（2）一架飛機以相對于空氣為的速率從向正北方向飛向，與的距離為。假定空氣相對于地面速率為，且偏離南北方向有一角度，求飛機在、間往返一次所需時間為多少？

教育部把“核心素養”置于深化課程改革，落實立德樹人目標的基礎地位。數學是有用的，我們每個人無時無刻都離不開數學。因此，數學建模自然成為了數學六大核心素養之一，它是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題。因此，了解和掌握各類數學模型的實際應用對于提高數學建模這一核心素養是不可或缺的。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.