滲透數學思想，提升數學教學實效

楊軍華

[摘要]在數學學習過程中，讓學生接觸并感悟一些基本的數學思想，可以推升學生的學習層次和數學素養。在具體學習過程中，如何讓學生感悟到數學思想的價值，促使學生掌握基本的數學思想和策略，成為擺在教師面前的難題。教師需要透過知識來授予方法，引導學生自己去感悟和提煉，并加以靈活運用，從而讓學生熟悉數學思想。

[關鍵詞]數學思想;數形結合;方程思想;整體思想

2011版數學課程標準提出了“四基”的概念，除了基本知識和技能之外，基本活動經驗和基本數學思想也凸顯出來，成為教學中必須要重視的部分。之所以將基本數學思想提到如此重要的高度，是因為在很多數學課堂中，教師的教學偏重于知識的傳授和技能的訓練，而忽視了學生的經歷和感悟，導致學生的學習比較單一和枯燥，很難將內容接近的知識聯系起來，難以自覺運用所學技能去解決新的問題。因此，在實際教學中，教師要重視學生對基本數學思想的領悟，要推動學生將基本的數學方法和數學思想內化成自己的東西，這樣才能促進學生的深度數學學習。在教學過程中，教師可以從以下幾方面著手。

一、迎合學生認知特點，滲透數形結合思想

對于小學生而言，直觀思維比抽象思維的難度要低很多，所以在數學學習中，可以有意識地培養學生的數形結合能力，讓學生體會到運用數形結合的方式可以讓問題更清晰地呈現出來，從而找到解決問題的最佳方案，這符合小學生的認知特點。

例如在教學“稍復雜的分數問題”時，筆者提供給學生這樣一個問題：“甲乙兩個倉庫共有70噸大米，如果從甲倉庫運2/9給乙倉庫，兩個倉庫的大米數量正好相等，那么甲乙兩個倉庫原來各有大米多少噸？”

學生在讀題之后進行了獨立思考，在交流過程中發現一部分學生的困惑在于找不出兩個倉庫的大米之間的關系，所以集體交流的時候，筆者引導學生畫線段圖來表示甲乙兩個倉庫的數量關系。因為從甲倉庫運出了大米的2/9，所以甲倉庫的大米為9份，運走2份之后還剩下7份，這時候與乙倉庫的大米數量相等，說明乙倉庫原來的大米份數為5。在線段圖的幫助之下，學生清晰地認識了問題，找到了數量關系。還有學生提出，既然知道了兩個倉庫大米的份數分別是9份和5份，也可以用按比例分配來算出兩個倉庫的大米噸數各是多少。學生之所以發現了更簡單便捷的方法，與線段圖的幫助是分不開的。在數形結合的思想下弄清楚題目中的數量關系之后，解題就水到渠成了，還能促進學生對這類問題的新理解和新認識。

數形結合是重要的數學思想，在小學數學教學中出現了多次，比如一列相連的數求和時，可叫督所有數畫成一個梯形來理解;在搭配的規律教學時，可以用連線的方法來探索規律的本質。在遇到這類問題的時候，教師要推動學生自己去感悟數形結合的作用，幫助學生形成數形結合的思想。

二、比較不同方法的優劣，滲透轉化思想

轉化同樣是小學數學中一種重要的思想，在學生遇到新的問題時，很多時候可以運用轉化的思想將未知的問題轉化為已知的問題來解決，也可以將復雜的問題轉化為簡單的問題來解決，這樣學生在解決問題的同時可以自覺形成轉化的意識，體會到轉化在解題中的實際作用。在實際教學中，教師還可以引導學生比較不同解題方法的優劣，讓學生體會到轉化思想的重要性，給轉化思想添上濃墨重彩的一筆。

例如在教學“轉化的策略”時，例2和例3都可以用多種方法來解決，在教學中教師要引導學生關注到解決問題的方法的多樣化和優化，引領他們體會到思想轉化的妙處。

比如教學例2（10支球隊進行比賽，比賽采用單場淘汰制，直到決出冠軍，一共需要進行多少場比賽？）的時候，有的學生運用除法計算的方法來找出一共需要多少場比賽，也有學生根據教材的提示，用點表示出10支球隊，然后用連線的方法找出直到決出冠軍一共需要多少場比賽。在組織集體交流的時候，教師引導學生換個角度思考：一場比賽淘汰幾支球隊，到決出冠軍一共要淘汰多少支球隊？在這個視角之下，學生發現只要轉化思路，就可以用10減1算出需要比賽的場次。在引導學生比較各種方法的異同時，學生發現如果參加比賽球隊數量變多，轉化策略的優勢將越來越明顯地凸顯出來。

在教學例3的時候，大部分學生在計算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32的時候是用通分的辦法來解決的，但是在教師提示可以用一個正方形來表示1，然后將這個加法算式中的所有加數表示出來之后，學生發現整個加法算式可以轉化為1-1/32來解決。教學這道例題之后，教師再出示幾道類似的問題，學生嘗試畫圖，然后成功地將加法算式轉化為減法算式計算。在此過程中，學生體會到轉化的妙用，轉化的思想不自覺地建立起來。

轉化不僅是—種獨特的解題策略，而且蘊含著轉化的數學思想，這也是小學階段經常可見的一種數學思想。在本案例的教學中，教師首先由具體的問題引領學生感悟轉化思想的作用，通過比較方法的優劣來感知轉化思想的價值，然后引導學生回顧轉化思想在整個小學階段出現的例子，有效提高了學生對于轉化思想的認識，促進了學生的思想內化。

三、提供系列問題，滲透數學建模思想

數學建模對于小學生而言有一定的難度，但是一旦學生具備了數學建模的思想，他們的數學學習就可以從零散走向系統，從單一走向多元，這對于提升學生的數學核心素養和解決實際問題的能力有重要的幫助。從這個角度來看，在實際教學中教師可以為學生提供一系列的問題，讓學生從中感悟到一類問題的共同點，抓住問題的核心來完成數學建模，并感悟到數學建模思想的作用，這對于學生的數學學習而言是有很大幫助的。

例如在教學“假設的策略”時，筆者首先出示例題：“同學們去公園劃船，48名同學租了10條船正好坐滿，已知大船每條坐6人，小船每條坐4人，那么他們租的大船和小船各多少條？”學生在獨立嘗試的時候想到了多種不同的方法，比如一一列舉，也有學生用畫圖的方法來湊出48，在湊48人的時候，學生先畫出10條船，在每條船上都畫4個圓表示4人，然后算出比實際坐的人少8人，這樣只要再在4條船上各添上兩個圓就符合題意了。根據這個畫圖的過程，筆者引導學生用算式概括出畫圖湊48的過程，并反復說每一個算式的含義，這樣對照圖示，學生很快掌握了假設的思路。

解決這個問題之后，筆者出示了“雞兔同籠”的問題給學生，很快有學生發現“雞兔同籠”的問題跟剛才的問題是相似的，雞相當于題中的小船，兔相當于題中的大船，雞和兔的頭相當于題中的10條船，腳的只數相當于題中的48人。當學生有了這樣的認識之后，他們的數學模型其實已經建立了起來，遇到類似問題的時候，學生立即能調用之前的假設策略來解決。

有些時候教師布置大量機械重復的作業的初衷就是促進學生的數學建模，但是相對于引領學生感悟到數學建模思想而言，模仿的功效有限。實際教學中教師應當用題組來促進學生的觀察、比較和歸類，幫助學生形成數學建模的思想。就像案例中這樣，教師提供相近的問題來引導學生比較，促進學生的數學建模，在適當的時候也可叫督一些變型的問題提供給學生，豐富他們的數學模型，強化學生對一類問題的認識，拓寬學生的數學視野，這對于學生的數學學習而言是有益的。

四、關注思維發展，滲透整體思想

建立基本的數學思想有利于學生的數學學習，有利于學生的思維發展。在小學數學教學中，教師應當為學生的整體思想孕育萌芽，讓學生形成整體思維的意識，增強學生思維的靈活性。

例如在教學“梯形的面積”時，筆者給學生提出了這樣一個問題：“王大爺用柵欄一面靠墻圍成了一個梯形的花圃（如圖1），已知柵欄的總長度是19米，梯形的高是6米，求梯形的面積。”不少學生在獨立嘗試時糾結于無法找到梯形的上底和下底是多少米。在隨后的交流中，成功解決了問題的學生說出，了用19減去6米得到梯形的上下底之和13米，然后用“13×6÷2”的思路，頓時撥開了學生的疑云，讓他們體會到將梯形的上底和下底看成一個整體的重要性。

而在“圓的面積”教學中，筆者給學生提出這樣一個問題：“一個正方形的面積是48平方厘米，在這個正方形中畫一個最大的圓，圓的面積是多少平方厘米？”很多學生在分析這個問題的時候知道圓的直徑等于正方形的邊長，但是題中給出的條件是正方形的面積是48平方厘米，他們無法根據正方形的面積來求出正方形的邊長。在交流這個問題的時候，筆者引導學生從圓的面積計算方法入手來思考。結合畫圖，學生發現雖然這個問題無法找到圓的直徑（半徑）是多少，但是只要將正方形平均分成4個小正方形，其中一個小正方形的邊長就是圓的半徑，也就是說只要用48除以4就可以得到圓的半徑的平方是多少。這樣的發現讓學生對圓的面積計算有了新的認識，同時增強了學生的整體意識。

當然，在小學數學教學中運用整體思想來解決問題的案例絕不止這些，在實際教學中我們要利用典型問題來引導學生自己去感悟用整體思想解題的好處，要幫助學生建立整體的視角，從而提升學生的數學思維能力。

總之，數學思想作為教學環節中不可或缺的部分，需要得到教師的重視，需要在日常教學中做好引導，讓學生接觸更多的數學思想并感悟數學思想的妙用，從而提升學生對數學思想的認識，推動學生的深度數學學習。