以數學史為依據改進小學數學教學的行動研究

梁燕

摘 要：數學學習需要閱讀，數學教學也需要閱讀，尤其是對數學史的閱讀，即多比較、多挖掘、多追問，梳理人類認識提升的各個時期，細究一個時期到另一個時期以什么為標志，突破了什么，是什么形成了這個突破。只有把握住知識形成的過程，才能在教學過程中更好地呈現知識的來龍去脈。文章以教學片段為例論述如何通過閱讀數學史梳理教學關鍵，讓教師對“教什么”和“怎么教”這兩個問題猶如醍醐灌頂。

關鍵詞：數學閱讀；數學史；數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-11-22 文章編號：1674-120X（2020）15-0070-02

人們對“數學閱讀”的理解，有狹義和廣義之分。狹義的觀點認為，數學閱讀的載體是教材、習題，是以解決問題為目的，通過讀題、審題，來提取、分析數學信息的數學活動。廣義的觀點認為，數學閱讀的載體除了包括數學教材、習題之外，還包括更為廣泛的數學材料。數學閱讀就是對這些廣泛的數學材料進行數學化分析（信息提取、轉譯、內化），形成并表達自己的數學觀點的過程。

在以往的研究中，研究對象多為學生，研究方向指向如何將數學閱讀與日常教學結合，如何培養學生的閱讀習慣以及提升學生的數學閱讀能力等。從教學的角度看，數學閱讀可以作為學習資料、教學資源的補充，還可以作為教學活動的延伸，豐富學生課余時間的數學活動。由此可見，數學閱讀不僅能凸顯數學的本質，還能提升學生的數學素養。但在現有的研究成果中，很少有人專門研究教師如何通過數學閱讀活動來提高自身的教學能力和數學素養。難道數學閱讀的主角只能是學生嗎？教師應該如何開展有益于專業能力提升的數學閱讀活動呢？

筆者通過對數學史的閱讀和思考，發現數學史不應該只是作為課外閱讀資料呈現給學生。從教研的角度看，閱讀數學史不僅可以幫助教師在歷史中甄別學生的學習障礙，還可以幫助教師從數學發展過程中篩選出教學重點、抓準教學難點。總之，數學閱讀，尤其是對數學史的閱讀，應是學生與教師共同進行的數學活動，是教學與教研不可或缺的內容。

一、通過數學史甄別學生的學習障礙，抓準教學難點

筆者對比了北師大版、蘇教版、青島版教材后發現，三個版本的教材都是通過氣溫高低、海拔高度這類生活現象，直觀地引入對正、負數的認識。教材編寫的意圖是通過具體情境，讓學生體會引入負數的必要性，先通過溫度高低這個情境擴展“0”的意義，再由海拔高度這一知識幫助學生加深對“0”的理解，最終幫助學生認識到“為什么0既不是正數也不是負數”這一抽象概念。但是，這樣的教學沒有涉及數學的真問題——“負數從何而來？”

正數、負數表示生活中相反意義的量。理解意義不難，認識負數也很簡單，但是歷史卻告訴我們：人類在數學中理解負數，用了2 000年左右。比起認識自然數、分數，認識負數需要更強的抽象思維能力。歷史上，帕斯卡認為“從0減去4純粹是胡說！”笛卡爾也認為負數是“不合理的數”。施蒂費爾認為負數荒謬的原因是“小于一無所有”，即比0更小，0表示什么都沒有，這就已經到了盡頭了，而負數比“什么都沒有”還要少，這怎么可能？在當時，“0表示沒有，是最小的數”是基本數學常識，而認識負數卻要顛覆這種常識。數學家尚且如此糾結，更何況學生呢？梳理至此，本課的教學重點聚焦到對“0”的重新認識，這更是本課的教學難點，只有重新認識了“0”，才能真正理解負數。

“認識負數”教學片段：

環節一：重新認識“0”

師：出示動畫人物的合影，這里有幾位動畫人物？去掉五位動畫人物，只留下背景，現在呢？在我們尺子上的“0”也表示沒有嗎？

引入資料，熊大身高184cm，光頭強身高174cm，吉吉身高164cm。討論，如果以吉吉的身高為標準，他們三人的高矮情況如何？

生：光頭強比吉吉高10cm，熊大比吉吉高20cm。

師：如下表所示，以吉吉的身高為標準，請你找個數表示他的身高，你覺得是哪個數？

設計意圖：本環節讓學生知道0的意義有多種，在新的情境中對0的意義還可以進行拓展。用0來表示比較的標準這點并不難。

環節二：體會“意義相反的量”

師：三人比身高，只能以吉吉為標準嗎？

如下表所示，這是我們以誰的身高作為標準進行比較的？

生：以光頭強為標準，因為把他的身高看作了0。

師：熊大和光頭強的身高差10cm，吉吉和光頭強的身高也差10cm，所以表格這么記，有問題嗎？

生：他倆好像一樣高了，看不出誰高誰低了。

師：以光頭強的身高為標準，熊大比光頭強高10cm，而吉吉比光頭強矮10cm，這樣一組相反意義的量還能用我們以前學過的數表示嗎？

師：思考一下，怎樣記錄就能一眼清楚地看出熊大是高10cm，吉吉是矮10cm呢？

設計意圖：相反意義有絕對相反和相對相反之分，相對相反不是天然形成的，而是通過和標準比較得出來的。有了比較標準，才能產生相反意義的比較結果。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求“在熟悉的生活情境中了解負數的意義”，因此本課各環節緊扣比較身高這一情境，以便學生重新認識0，理解“相反意義的量”，為結合幾何在直觀中把握負數和0之間的關系積累學習經驗。鑒于負數產生的歷史，我們不難發現，學習數學難，不僅是因為知識的抽象性，還在于某些概念在建構時附帶的負遷移，甚至顛覆已有常識，超越個體認知。數學教育家波利亞說過：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷。”教師只有通過閱讀數學史才能準確甄別學生的數學學習障礙。

二、通過數學史篩選教學重點

筆者對比了北師大版、蘇教版、人教版教材后發現，關于本課內容，各版本教材中提供的數學閱讀資料都有限。北師大版教材中介紹了“代數學之父”丟番圖，蘇教版教材中提到了韋達在代數學發展過程中的作用，而人教版教材中沒有提及任何數學家，只在七年級上冊“一元一次方程”單元的數學閱讀材料中簡單地介紹了花拉子米、笛卡爾對代數學發展的貢獻，還介紹了中國宋代數學家李冶在方程方面的研究成果。代數這門學科為什么會有這么多代表性的人物？到底是誰最先賦予它無窮魅力的呢？

回顧這段歷史，我們不難發現，雖然丟番圖和韋達都用字母表示數，但兩者的區別在于一個表示的是一個數，另一個表示的是一類數。按丟番圖的方法，每一個字母都具有特定的意思，所以丟番圖解方程一題一法。而韋達所用的字母已經不表示具體的意思，只是一個符號，從而引導人們關注數量中的共性，謀求同類問題的統一解法。丟番圖方法的本質是替代，而韋達方法的本質是抽象，這是數學思想的進化。

顯然，在“用字母表示數”的教學中，教師應把課堂上的學生放到數學史的視野中，在具體的情境下，讓學生經歷用字母表示數的抽象過程，體會用字母表示數的本質意義，領悟數學符號的概括性。

“用字母表示數”的教學片段：

環節一：喚醒已有知識經驗，準備建構新的概念。

師：生活中運用字母表示特定含義，如教室門高2.2m，我們可以把這個數量表示成什么呢？這里的m是英語單詞“meter”的縮寫。

師：在數學中，字母的運用更多地體現在其他方面。例如，3，6，9，x，15，…這里的x表示什么意思？

師：在這一數列中，x表示多少？能表示其他數嗎？看來它還是一個特定的數。

設計意圖：新知總是建立在已有的知識和經驗的基礎之上的，已有知識和經驗的模糊、雜亂對新知學習形成了一種干擾。特別是用字母表示數是對學生原有認知的跨越，學生更應該結合已有知識更為清晰地認識字母應用的特點。這種認識越清晰，也就越容易體會用字母表示數發生了什么變化。

環節二：在情境中經歷用字母表示數的抽象概括過程。

師：每3根小棒可以搭成一個三角形，擺2個三角形需要幾根小棒？3個三角形呢？4個呢？請用算式來表示擺三角形用的小棒數量。你有什么發現呢？

生：一個三角形的小棒根數是不變的，所以這些算式里都有一個乘數是3。

師：因為三角形可以一直這樣擺下去，所以永遠也寫不完。那么你能用一道算式表示活動中的所有情況嗎？

師：這個字母表面上只是一個字母，但它卻能表示……

生：無數個數。

設計意圖：歷史告訴我們，韋達的高明之處就在于用字母表示了方程中未知數前面的系數。這樣做不是因為對系數不了解，而是用字母去概括它們，可以獲得更為一般的方程。在教學過程中，為了突破這一難點，先有意在前一環節中借用生活經驗作為鋪墊，接著在本環節中讓學生對數學現象進行概括，幫助學生初步實現認知上的跨越。

本片段重在體現雖然丟番圖和韋達都是用字母表示數，但兩者有本質上的不同。縮寫代數與符號代數兩者是如此不同，所以在教學中才刻意地引導學生區別縮寫表示和抽象表示，體會字母已經成為一種數學符號，不存在任何具體意義。

在以往備課過程中，教師往往通過閱讀數學史，提取教學資源，并且選擇一些富有知識性和趣味性的內容，點綴一下課堂，或者借助數學閱讀將課上活動延伸到課下進行。教師很少考慮如何利用這些資源啟發、鼓勵、幫助和組織學生參與更有意義的數學活動。教師只有通過數學閱讀梳理數學歷史，才能站在人類社會發展的層面去品評歷史、審視教學內容，才會發現數學教學不是要求學生將數學作為工具使用，而是將數學知識視作人類社會活動的產物，因而學生學習數學的過程實質是經歷社會活動的過程。

參考文獻：

[1]蔡天新.數學簡史[M].北京：中信出版社，2017.

[2]郜舒竹.小學數學這樣教[M].上海：華東師范大學出版社，2015.