巧用四法 解決不等式的證明問題

蔣鈺香

摘 要：學生若不能熟練地掌握不等式的證明方法，則需要一定的知識總結以及方法歸納技巧。教師應該對此加以重視，認真對待，經常進行練習和總結，讓學生找到屬于自己的不等式證明方法。本文擬從比較法、分析法、放縮法和歸納法四個角度對不等式的證明問題進行探析。

關鍵詞：高中數學 不定式證明 方法探析

不等式證明是高中數學的重點內容，也是難點內容。在高考的數學試卷中，不等式的證明問題一般是壓軸題或者是壓軸題的一部分。要想掌握高中數學不等式的證明方法，需要長期堅持相關問題的練習，也需要一定的知識總結和方法歸納技巧。數學是練習思維的學科，是提升學生思維轉換能力的基礎學科，也是實用的學科，數學知識對于理工科的其他學科的學習都有幫助，只有學好數學，才能為其他學科的學習打下基礎，才能為以后的學習生活做好鋪墊。而關于不等式的證明問題，是鍛煉思維的問題，也是容易激發想象力和辯證思考能力的問題，所以，對于不等式的證明問題，我們應該加以重視，認真對待，經常進行練習和總結，讓學生找到屬于自己的不等式證明方法。

一、比較法證明，直觀易解

在小學數學學習中，學生就已經接觸到比較大小的問題了。關于比較法的學習，學生已經有了一定的基礎，對于比較法的思想，也很容易掌握。不過高中數學相對于小學數學來說，在比較大小的問題上難度有所加大，并且在比較類型上涉及更廣泛，不再只是簡單的數字之間的比較，而是轉化到代數式之間、函數之間的比較，有時候也牽涉圖形相關方面的比較。

比較法有兩種方式：一種是作差比較，一種是作商比較。作差比較是將不等式兩邊的代數式轉換到一邊，進行作差比較，設這個作差代數式為函數，并分析這個函數的大小，證明出其與0之間的關系，從而達到證明的目的。作商比較法，是在知道不等式兩邊的代數式的正負后，將其作商轉換到一邊，通過與1相比較，得出這個問題的證明結果。

比如：作差比較法——要證明a>b，只要證明a-b>0。

例題總結：這兩題都是關于比較法在不等式中的應用解題。在例題1中，關于對數的問題，可以利用對數性質，也就是換底公式來達到目的。在例題2中，是比較法中的作商法，在高中數學關于代數式的相關證明過程中，因為沒有數字關系，所以具有一定的抽象性。解題時，進行對比分析，可以發現左右兩邊存在著一定的對稱性，又由于都是正數，所以可以想到將其作商，最后得出答案。

二、分析法證明，思路清晰

分析法類似于反證法，但是相比于反證法，它又是從證明要求的正面進行分析的，最后直接分析出結論的正確性。分析法，首先從要證明的不等式出發，為了尋找不等式成立的充分條件而努力。為此，一步步往前追溯，可能是為了尋找符合題目的已知條件，也可能是為了符合一些定理，直到得到這兩個可能性中的一個即可。

例題總結：例題3從形式上觀察其規律，學生不能很容易地找到一些特點。再觀察，也沒有發現其與我們學習過的定理或者類似結論有什么牽連。在這種情況下，可以采取分析法證明該例題。利用分析法證明不等式，需要有清晰的解題思路，不能思維混亂。要有嚴格的格式，一步步進行推理，直到得出題目中給出的證明結論（利用某些定理或者題目的已知條件得出）。

從該題目的解答過程可以看出，這是分析法與綜合法綜合運用的結果。在解答時，要注意格式的規范性，比如：分析法的書寫過程應該是：“欲證……需證……”綜合法的書寫過程是：“因為（∵）……所以（∴）……”在這兩種方法進行綜合運用時，不能弄混，要理清思路，從容應對。

三、放縮法證明，適當變換

放縮法是利用不等式的傳遞性，適當地放大或縮小，從而證明不等式的方法。它也是分析法的一種特殊情況，它根據的是不等式的傳遞性： a≤b，b≤c，則a≤c，只要證明大于或等于a的b小于或等于c就行了。

放縮法一般包括：縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和。

四、歸納法證明，實用客觀

數學歸納法，先證明在起步的條件時首項成立，再證明通項也成立，以此類推，得出整體項都成立。數學歸納法是高中數學的常考知識點，對于學生的歸納分析和推理思考能力都有一定的促進作用。在高中數學的教學過程中，數學教師要注重數學歸納法的幾個重點，將其清晰而明確的教授給學生，使得學生能夠建立完整的知識框架，利用數學歸納法，巧解數學不等式的證明題目。

例題5： 觀察下面兩個數列，從第幾項起an始終小于bn？證明你的結論。

{an=n2}：1，4，9，16，25，36，49，64，81 …

{bn=2n}：2，4，8，16，32，64，128，256，512 …

解答：猜想： 從第5項起，an< bn，即n2<2n，n∈N+

（n≥5）。

（1）當 n=5時，有52<25，命題成立。

（2）假設當n=k（k≥5）時命題成立，

即k2<2k，

當 n=k+1時，因為

（k+1）2=k2+2k+1

所以，（k+1）2<2k+1.

即n=k+1時，命題成立。

由（1）（2）可知，n2<2 （n∈N+，n≥5）.

例題總結：利用數學歸納法證明不等式的過程：首先取n為初始值時，命題成立。然后假設n=k（k>n）時命題也成立。利用這個條件，得出n=k+1時，命題也成立。當滿足了這兩個條件以后，證明命題對于題設所給條件成立。數學歸納法要求學生先猜想、后證明。在訓練的過程中，指導學生學習數學的一般方法，并且培養學生分析問題、解決問題的能力。在不斷學習數學的過程中，培養學生的創新意識和解決實際問題的能力，從而為社會培養更多的人才。

高中數學不等式，不是能被忽略的內容，也不是能被一筆帶過的知識點。對高中數學不等式的證明的學習，是比較漫長的過程，貫穿于高中的每個學期，也貫穿于每個章節的相關知識點中。在學習高中數學不等式時，我們要站在宏觀的角度，首先根據題目分析題眼，找出關鍵點和突破口，然后根據挖掘出的隱含條件，尋找對應的解題方法。有時候，解題方法不是唯一的，學生應該挑選最適合自己的或者自己最有把握的方法，最終獲得成功。

摘 要：學生若不能熟練地掌握不等式的證明方法，則需要一定的知識總結以及方法歸納技巧。教師應該對此加以重視，認真對待，經常進行練習和總結，讓學生找到屬于自己的不等式證明方法。本文擬從比較法、分析法、放縮法和歸納法四個角度對不等式的證明問題進行探析。

關鍵詞：高中數學 不定式證明 方法探析

不等式證明是高中數學的重點內容，也是難點內容。在高考的數學試卷中，不等式的證明問題一般是壓軸題或者是壓軸題的一部分。要想掌握高中數學不等式的證明方法，需要長期堅持相關問題的練習，也需要一定的知識總結和方法歸納技巧。數學是練習思維的學科，是提升學生思維轉換能力的基礎學科，也是實用的學科，數學知識對于理工科的其他學科的學習都有幫助，只有學好數學，才能為其他學科的學習打下基礎，才能為以后的學習生活做好鋪墊。而關于不等式的證明問題，是鍛煉思維的問題，也是容易激發想象力和辯證思考能力的問題，所以，對于不等式的證明問題，我們應該加以重視，認真對待，經常進行練習和總結，讓學生找到屬于自己的不等式證明方法。

一、比較法證明，直觀易解

在小學數學學習中，學生就已經接觸到比較大小的問題了。關于比較法的學習，學生已經有了一定的基礎，對于比較法的思想，也很容易掌握。不過高中數學相對于小學數學來說，在比較大小的問題上難度有所加大，并且在比較類型上涉及更廣泛，不再只是簡單的數字之間的比較，而是轉化到代數式之間、函數之間的比較，有時候也牽涉圖形相關方面的比較。

比較法有兩種方式：一種是作差比較，一種是作商比較。作差比較是將不等式兩邊的代數式轉換到一邊，進行作差比較，設這個作差代數式為函數，并分析這個函數的大小，證明出其與0之間的關系，從而達到證明的目的。作商比較法，是在知道不等式兩邊的代數式的正負后，將其作商轉換到一邊，通過與1相比較，得出這個問題的證明結果。

比如：作差比較法——要證明a>b，只要證明a-b>0。

例題總結：這兩題都是關于比較法在不等式中的應用解題。在例題1中，關于對數的問題，可以利用對數性質，也就是換底公式來達到目的。在例題2中，是比較法中的作商法，在高中數學關于代數式的相關證明過程中，因為沒有數字關系，所以具有一定的抽象性。解題時，進行對比分析，可以發現左右兩邊存在著一定的對稱性，又由于都是正數，所以可以想到將其作商，最后得出答案。

二、分析法證明，思路清晰

分析法類似于反證法，但是相比于反證法，它又是從證明要求的正面進行分析的，最后直接分析出結論的正確性。分析法，首先從要證明的不等式出發，為了尋找不等式成立的充分條件而努力。為此，一步步往前追溯，可能是為了尋找符合題目的已知條件，也可能是為了符合一些定理，直到得到這兩個可能性中的一個即可。

例題總結：例題3從形式上觀察其規律，學生不能很容易地找到一些特點。再觀察，也沒有發現其與我們學習過的定理或者類似結論有什么牽連。在這種情況下，可以采取分析法證明該例題。利用分析法證明不等式，需要有清晰的解題思路，不能思維混亂。要有嚴格的格式，一步步進行推理，直到得出題目中給出的證明結論（利用某些定理或者題目的已知條件得出）。

從該題目的解答過程可以看出，這是分析法與綜合法綜合運用的結果。在解答時，要注意格式的規范性，比如：分析法的書寫過程應該是：“欲證……需證……”綜合法的書寫過程是：“因為（∵）……所以（∴）……”在這兩種方法進行綜合運用時，不能弄混，要理清思路，從容應對。

三、放縮法證明，適當變換

放縮法是利用不等式的傳遞性，適當地放大或縮小，從而證明不等式的方法。它也是分析法的一種特殊情況，它根據的是不等式的傳遞性： a≤b，b≤c，則a≤c，只要證明大于或等于a的b小于或等于c就行了。

放縮法一般包括：縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和。

四、歸納法證明，實用客觀

數學歸納法，先證明在起步的條件時首項成立，再證明通項也成立，以此類推，得出整體項都成立。數學歸納法是高中數學的常考知識點，對于學生的歸納分析和推理思考能力都有一定的促進作用。在高中數學的教學過程中，數學教師要注重數學歸納法的幾個重點，將其清晰而明確的教授給學生，使得學生能夠建立完整的知識框架，利用數學歸納法，巧解數學不等式的證明題目。

例題5： 觀察下面兩個數列，從第幾項起an始終小于bn？證明你的結論。

{an=n2}：1，4，9，16，25，36，49，64，81 …

{bn=2n}：2，4，8，16，32，64，128，256，512 …

解答：猜想： 從第5項起，an< bn，即n2<2n，n∈N+

（n≥5）。

（1）當 n=5時，有52<25，命題成立。

（2）假設當n=k（k≥5）時命題成立，

即k2<2k，

當 n=k+1時，因為

（k+1）2=k2+2k+1

所以，（k+1）2<2k+1.

即n=k+1時，命題成立。

由（1）（2）可知，n2<2 （n∈N+，n≥5）.

例題總結：利用數學歸納法證明不等式的過程：首先取n為初始值時，命題成立。然后假設n=k（k>n）時命題也成立。利用這個條件，得出n=k+1時，命題也成立。當滿足了這兩個條件以后，證明命題對于題設所給條件成立。數學歸納法要求學生先猜想、后證明。在訓練的過程中，指導學生學習數學的一般方法，并且培養學生分析問題、解決問題的能力。在不斷學習數學的過程中，培養學生的創新意識和解決實際問題的能力，從而為社會培養更多的人才。

高中數學不等式，不是能被忽略的內容，也不是能被一筆帶過的知識點。對高中數學不等式的證明的學習，是比較漫長的過程，貫穿于高中的每個學期，也貫穿于每個章節的相關知識點中。在學習高中數學不等式時，我們要站在宏觀的角度，首先根據題目分析題眼，找出關鍵點和突破口，然后根據挖掘出的隱含條件，尋找對應的解題方法。有時候，解題方法不是唯一的，學生應該挑選最適合自己的或者自己最有把握的方法，最終獲得成功。

摘 要：學生若不能熟練地掌握不等式的證明方法，則需要一定的知識總結以及方法歸納技巧。教師應該對此加以重視，認真對待，經常進行練習和總結，讓學生找到屬于自己的不等式證明方法。本文擬從比較法、分析法、放縮法和歸納法四個角度對不等式的證明問題進行探析。

關鍵詞：高中數學 不定式證明 方法探析

不等式證明是高中數學的重點內容，也是難點內容。在高考的數學試卷中，不等式的證明問題一般是壓軸題或者是壓軸題的一部分。要想掌握高中數學不等式的證明方法，需要長期堅持相關問題的練習，也需要一定的知識總結和方法歸納技巧。數學是練習思維的學科，是提升學生思維轉換能力的基礎學科，也是實用的學科，數學知識對于理工科的其他學科的學習都有幫助，只有學好數學，才能為其他學科的學習打下基礎，才能為以后的學習生活做好鋪墊。而關于不等式的證明問題，是鍛煉思維的問題，也是容易激發想象力和辯證思考能力的問題，所以，對于不等式的證明問題，我們應該加以重視，認真對待，經常進行練習和總結，讓學生找到屬于自己的不等式證明方法。

一、比較法證明，直觀易解

在小學數學學習中，學生就已經接觸到比較大小的問題了。關于比較法的學習，學生已經有了一定的基礎，對于比較法的思想，也很容易掌握。不過高中數學相對于小學數學來說，在比較大小的問題上難度有所加大，并且在比較類型上涉及更廣泛，不再只是簡單的數字之間的比較，而是轉化到代數式之間、函數之間的比較，有時候也牽涉圖形相關方面的比較。

比較法有兩種方式：一種是作差比較，一種是作商比較。作差比較是將不等式兩邊的代數式轉換到一邊，進行作差比較，設這個作差代數式為函數，并分析這個函數的大小，證明出其與0之間的關系，從而達到證明的目的。作商比較法，是在知道不等式兩邊的代數式的正負后，將其作商轉換到一邊，通過與1相比較，得出這個問題的證明結果。

比如：作差比較法——要證明a>b，只要證明a-b>0。

例題總結：這兩題都是關于比較法在不等式中的應用解題。在例題1中，關于對數的問題，可以利用對數性質，也就是換底公式來達到目的。在例題2中，是比較法中的作商法，在高中數學關于代數式的相關證明過程中，因為沒有數字關系，所以具有一定的抽象性。解題時，進行對比分析，可以發現左右兩邊存在著一定的對稱性，又由于都是正數，所以可以想到將其作商，最后得出答案。

二、分析法證明，思路清晰

分析法類似于反證法，但是相比于反證法，它又是從證明要求的正面進行分析的，最后直接分析出結論的正確性。分析法，首先從要證明的不等式出發，為了尋找不等式成立的充分條件而努力。為此，一步步往前追溯，可能是為了尋找符合題目的已知條件，也可能是為了符合一些定理，直到得到這兩個可能性中的一個即可。

例題總結：例題3從形式上觀察其規律，學生不能很容易地找到一些特點。再觀察，也沒有發現其與我們學習過的定理或者類似結論有什么牽連。在這種情況下，可以采取分析法證明該例題。利用分析法證明不等式，需要有清晰的解題思路，不能思維混亂。要有嚴格的格式，一步步進行推理，直到得出題目中給出的證明結論（利用某些定理或者題目的已知條件得出）。

從該題目的解答過程可以看出，這是分析法與綜合法綜合運用的結果。在解答時，要注意格式的規范性，比如：分析法的書寫過程應該是：“欲證……需證……”綜合法的書寫過程是：“因為（∵）……所以（∴）……”在這兩種方法進行綜合運用時，不能弄混，要理清思路，從容應對。

三、放縮法證明，適當變換

放縮法是利用不等式的傳遞性，適當地放大或縮小，從而證明不等式的方法。它也是分析法的一種特殊情況，它根據的是不等式的傳遞性： a≤b，b≤c，則a≤c，只要證明大于或等于a的b小于或等于c就行了。

放縮法一般包括：縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和。

四、歸納法證明，實用客觀

數學歸納法，先證明在起步的條件時首項成立，再證明通項也成立，以此類推，得出整體項都成立。數學歸納法是高中數學的常考知識點，對于學生的歸納分析和推理思考能力都有一定的促進作用。在高中數學的教學過程中，數學教師要注重數學歸納法的幾個重點，將其清晰而明確的教授給學生，使得學生能夠建立完整的知識框架，利用數學歸納法，巧解數學不等式的證明題目。

例題5： 觀察下面兩個數列，從第幾項起an始終小于bn？證明你的結論。

{an=n2}：1，4，9，16，25，36，49，64，81 …

{bn=2n}：2，4，8，16，32，64，128，256，512 …

解答：猜想： 從第5項起，an< bn，即n2<2n，n∈N+

（n≥5）。

（1）當 n=5時，有52<25，命題成立。

（2）假設當n=k（k≥5）時命題成立，

即k2<2k，

當 n=k+1時，因為

（k+1）2=k2+2k+1

所以，（k+1）2<2k+1.

即n=k+1時，命題成立。

由（1）（2）可知，n2<2 （n∈N+，n≥5）.

例題總結：利用數學歸納法證明不等式的過程：首先取n為初始值時，命題成立。然后假設n=k（k>n）時命題也成立。利用這個條件，得出n=k+1時，命題也成立。當滿足了這兩個條件以后，證明命題對于題設所給條件成立。數學歸納法要求學生先猜想、后證明。在訓練的過程中，指導學生學習數學的一般方法，并且培養學生分析問題、解決問題的能力。在不斷學習數學的過程中，培養學生的創新意識和解決實際問題的能力，從而為社會培養更多的人才。

高中數學不等式，不是能被忽略的內容，也不是能被一筆帶過的知識點。對高中數學不等式的證明的學習，是比較漫長的過程，貫穿于高中的每個學期，也貫穿于每個章節的相關知識點中。在學習高中數學不等式時，我們要站在宏觀的角度，首先根據題目分析題眼，找出關鍵點和突破口，然后根據挖掘出的隱含條件，尋找對應的解題方法。有時候，解題方法不是唯一的，學生應該挑選最適合自己的或者自己最有把握的方法，最終獲得成功。