建構知識體系 落實核心素養

劉興安

[摘? 要] 以二次函數復習教學為例，根據新課程標準的要求，大膽設計教學內容，有效組織實施教學過程，取得了良好的教學預期，有效實現了學生知識體系的構建，以及核心素養的生成.

[關鍵詞] 二次函數;復習課;核心素養

九年級的數學復習課，不能就是講幾道典型例題了事，而應厘清數學對象的基本思路與方法，勾起學生回憶，讓學生重構知識體系，通過一系列有序的問題提升學生的思維水平，通過典型例題的解讀提高學生分析問題、解決問題的能力;同時，在各個環節不斷滲透數學基本思想方法，全面落實核心素養. 筆者在前不久執教了一節數學復習課，課題為“二次函數”，根據新課程標準的要求，大膽設計教學內容，有效組織實施教學過程，贏得了一致好評. 現將本節課作一呈現，以供點評.

學情分析

本節課所授班級的學生數學基礎知識扎實，知識接受能力強，普遍成績比較好.二次函數的相關知識學生在新知學習時已經掌握，能夠用二次函數的模型解決具體的實際問題，對于函數的學習積累了一些基本方法與經驗，學生有一定的觀察能力、總結概括能力，知道數形結合、分類討論、特殊與一般等數學思想.但學生的思維還是以形象思維為主，處于由形象思維向抽象思維過渡的階段.

復習目標

（1）掌握二次函數：形式、圖像與性質，學會運用不同的方法確定二次函數解析式;理解二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者的相互聯系.

（2）親歷二次函數相關知識的梳理過程，進一步熟悉研究函數的基本思路與方法，提升觀察圖形、分析圖形的能力，體會數形結合等數學思想.

（3）體驗數學知識之間的相互聯系，學會從生活化問題中抽象函數模型，并應用其解決生活問題，使數學抽象與數學建模的核心素養落地生根.

教學呈現

1. 溫故知新，知識再構

師：二次函數是我們九年級學習的一類函數，關于二次函數我們學習了哪些內容？這些內容又是如何學習得到的？

生：二次函數我們學習了它的概念、圖像與性質;二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的相互關系;二次函數在實際生活中的應用;二次函數圖像與幾何圖形的綜合;等等.

生：二次函數的研究是這樣的：由實際生活的事例，提取二次函數模型;由二次函數的表達式用描點法畫出二次函數的圖像;由二次函數的圖像來研究二次函數的性質，在研究二次函數的性質時，按從特殊到一般的規律進行研究;然后探究二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯系，最后應用二次函數的性質解決實際問題.

師：在學習二次函數的過程中，我們學習了哪些數學思想與方法？

生：待定系數法、配方法、數形結合思想、從特殊到一般的思想、方程思想、函數思想.

師：請同學們用自己的方式表示二次函數所有知識點之間的縱橫關系.

經過15分鐘的討論、爭論，師生共同總結的內容如圖1.

設計意圖? 在復習前，在學生頭腦中二次函數的知識是孤立的、分散的，所以，復習中，教師應引導學生再建知識結構圖，理清二次函數相關知識的發生、發展脈絡，掌握二次函數的核心知識與研究函數的一般方法，不僅要通過文字語言表述二次函數的相關內容，而且要與圖形語言、符合語言相互配合與轉化，加深學生對數學語言的理解與掌握，從而提高學生對二次函數性質、相關思想方法的理解與認識.

2. 數形聯手，構建聯系

師：畫二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的一般步驟是什么？

生：畫二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的一般步驟是：（1）先將二次函數的表達式配方成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，找出拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標;（2）以對稱軸為中心列表;（3）描點，連線.

師：如果二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，觀察函數圖像，你能從中得到什么信息呢？

生：拋物線的對稱軸為直線x=1，與y軸的交點坐標為（0，-2），根據拋物線的對稱性，得到拋物線與x軸的兩個交點的坐標為（-1，0），（3，0）.

生：當x<-1或x>3時，y>0;當x=-1或3時，y=0;當-1

生：根據拋物線與坐標軸的三個交點坐標，可求得拋物線的解析式為y=■x2-■x-2，頂點坐標為1，-■.

生：一元二次方程■x2-■x-2=0有兩個不相等的實數根，一元二次方程■x2-■x-2=-■有兩個相等的實數根.

師：如圖3，如果增加直線y=-■x，觀察圖像，你又能得到什么樣的結論？

生：聯立得方程組y=■x2-■x-2，y=-■x，解得x■=-2，y■=■;x■=■，y■=-■.說明直線與拋物線的交點坐標為-2，■，■，-■.

師：根據圖像信息，可以求出函數解析式、方程的解或方程組的解，可以得到不等式的解集，那么同學們能從中得到不等式組的解集嗎？

生：不等式組■x2-■x-2>0，-■x>0 的解集是x<-1;不等式組■x2-■x-2>0，-■x<0 的解集是x>3.

設計意圖? 函數解析式反映了函數中兩個變量之間的數量關系，而函數圖像則是用圖形反映了兩個變量之間的變化趨勢，函數解析式精確不直觀，函數圖像直觀不精確，當兩者結合時，就能發揮兩者的優勢，通過觀察函數圖像，利用函數圖像與坐標軸的交點坐標，兩個函數圖像的交點坐標等特殊點的坐標，學生發現了諸多有用的結論，從而將二次函數、二次方程、二次不等式三個二次有機結合在一起，加強了三者之間的溝通與比較.

3. 應用模型，回歸生活

數學知識抽象于生活，同時又服務于生活，通過數學模型建構解決生活中的實際問題，是落實核心素養的有效舉措，對促進學生的核心素養生成具有重要作用.

例如，大華超市在銷售一種商品時發現，商品每月賣出的數量是銷售單價的一次函數，其中某種商品的銷售單價與月銷售量之間有如下的對應關系. 注：月銷售利潤=月銷售量×（售價-進價）.

（1）①求y關于x的函數表達式;

②當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤.

（2）為控制銷量，大華超市提高了銷售單價，在原來的基礎上增加了m元，但是超市又不想讓單價超過40元，超市要想得到2600元的利潤，應該增加多少元？

設計意圖? 二次函數的實際應用體現了二次函數模型的應用價值. 學生根據實際問題抽象出二次函數的模型，然后應用二次函數最值的性質確定獲得最大利潤時的單價，使數學抽象與數學建模的核心素養落地生根，在應用的過程中，提高了學生分析問題解決問題的能力.

教學感悟

梳理舊知時，要注重知識與方法并重，不僅要讓學生回憶學過的知識與方法，再建知識結構，而且將知識的發生與發展的歷程也作為梳理的重點. 本節課就重新梳理了一下研究函數的一般套路與程序，學生可以使用這種方法研究其他的函數，為進一步學習做好鋪墊;重視數學思想方法的滲透，數學思想方法是數學知識的提煉與升華，它對數學知識的生成、研究方法的使用、解答試題的策略都有很強的指導意義，如本節復習課就向學生滲透了數形結合、分類討論、從特殊到一般、方程思想、函數思想等;重視模型的回歸應用，落實核心素養，本節課要求學生根據實際問題抽象出二次函數的模型，然后應用二次函數最值的性質確定獲得最大利潤時的單價，使數學抽象與數學建模的核心素養落地生根，在應用的過程中，提高了學生處理關鍵問題的能力.