陳國興 陳惠增

[摘? 要] 文章從課堂教學的實用性角度來探討目前復習課堂中的突出問題，并從課本中的基本圖形、基本模型以及數學活動出發，以點帶面，整合提升，把部分零散的知識點串聯成整體的問題串，以達到提升數學復習實效性與有效性的目的.

[關鍵詞] 復習;實效;感悟;變式;演變

數學復習課對于初中學習來說是一個重要的課型，是教師為了不讓學生所學的知識遺忘而進行的數學課堂活動之一. 課堂復習的目的是讓學生所學的知識得到鞏固、解決問題的能力得到提升，并站在更高的角度思考問題，因此它的重要性不容小覷. 一節效率高的數學復習課要鞏固所學知識，優化解題方法，滲透數學思想方法，提升解題效率. 下面，筆者針對復習過程中的一些問題與困惑，談幾點探索與創新的嘗試.

問題的提出

多數數學復習課采用教師為主的課堂模式，教學順序基本按照“知識點羅列——例題講評——練習鞏固”的方式進行. 這樣的復習模式優點雖然較多，但具體的教學中卻發現學生的收獲很少，課堂中忽視了學生的主體地位，忽略了學生是學習的主人，而且知識的呈現過于直接，呈現的方式都是點狀的，無法以點帶面，缺乏知識來源過程的領悟;解題方法比較單一，缺乏總結、缺少深度. 這樣的復習課教學模式局限于老、舊例題的反復出現，以及關鍵知識點的順序羅列，容易陷入“題海”，容易讓學生覺得課堂乏味，而且課堂的收獲較低，不利于學生能力的培養以及數學素養的提升，復習效率低下.

提高數學復習實效的探索

新課程理念下的數學復習課教學過程，應注重學生在課堂教學過程中的主動參與和積極探索，應引導學生感悟解題方法，發現并挖掘重要知識的內涵與外延、變式與拓展，指導學生總結與歸納結論和方法，演變與創新教材中的數學活動資源，鼓勵學生一題多解、一問多思、一圖多變、多圖化一、多解歸一，使所有教學內容的應用性與實用性都得到落實. 要注重學生課堂學習的狀況，形成學生內化的知識結構和內生的意識能力，把提高學生解決問題的策略當成課堂的總要求，促進其思維能力、數學素養等方面的發展.

1. 發現并挖掘核心知識、核心問題的內涵

數學復習課應讓學生主動參與知識梳理的過程，發揮學生的潛力，讓其帶著問題思考，感悟所學知識點之間錯綜復雜的關聯，理清它們的區別. 初中很多知識點，其核心知識是相似的，學習方法也是相通的，這樣的學習完全可以通過類比的方式完成. 如整數與分數、整式與分式、整式方程與分式方程、方程與函數等. 在教學中，教師應引導學生發現相通知識的內涵，感悟知識間的聯系，揭示關聯知識的本質，引導他們高角度高方位地看問題，挖掘知識背后的關鍵內涵.

比如，復習“二次函數的圖像與性質”時，可以引導學生體驗如下過程：

針對方程x2-3x+2=0，預設如下問題：

（1）要求出此方程的根，你有哪些方法？

（2）在不求解方程的前提下，可以判斷這個方程的根的情況嗎？

在以上兩個問題的基礎上，可以借助與之相應的函數的圖像來解答如下問題：

（1）畫出拋物線y=x2-3x+2與直線y=0的圖像，觀察兩個函數圖像的交點，你有什么發現？

（2）若變為拋物線y=x2-3x與直線y=-2的圖像呢？

（3）若再變為拋物線y=x2與直線y=3x-2的圖像呢？

（4）若改為直線y=x-3與雙曲線y=-■的圖像呢？

（5）進一步探究方程x2-3x+2-■=0與方程x2-3x+2-■=0的根的情況.

學生在積極主動觀察圖像的過程中發現方程與函數的本質是一樣的，感受到了方程與函數之間存在著千絲萬縷的聯系，領悟到了一次函數、二次函數、反比例函數的圖像特點與方程之間的關系. 通過多角度的思考，學生歸納、總結了解決此類問題的策略，同時對各知識點進行了相應的補充，最終提升了自己各方面的能力. 復習中多以互相聯系的知識點為載體，能讓學生不斷地聯想、感悟、體驗，從而達到比較理想的學習效果.

2. 變式與拓展同一背景、同一模型的問題

復習課中，若再將新課所學的知識一成不變地重復出現，將不容易激發學生思維的火花，不利于調動學生參與課堂的主動性，學生會無法體驗到學習的新鮮感與成就感. 因此，在教學過程中，應不斷地對問題進行變式、拓展、整合，應將新、舊知識點串成問題串. 教師進行教學預設時，無法把握生成的結果，因此應關注如何整理復習資料，選擇典型案例，激發學生積極參與課堂活動的熱情，課后不斷反思，使復習課堂的有效性得以保證.

如初中的最值問題可做如下變式拓展.

探究：（1）已知A，B兩點在直線a的同側，如圖1，在直線a上找一點M，使MA=MB.

（2）若A，B兩點在直線a的異側，能否在直線a上找到一點N，使AN+BN最短？若A，B兩點在直線a的同側，能否在直線a上找到一點M，使AM+BM最短？

（3）已知A，B兩點在直線a的同側，能否在直線a上找到一點G，使△AGB的周長最短？

（4）已知A，B兩點在直線a的同側，能否在直線a上找到一點D，使DA-DB最長？

（5）已知A，B兩點在直線a的異側，能否在直線a上找到一點E，使EA-EB最長？

（6）已知A，B兩點在直線a的同側，請在直線a上找一點P，使△PAB是直角三角形.

（7）已知A，B兩點在直線a的同側，請在直線a上找到一點Q，使△QAB是等腰三角形.

（8）如圖2，若把直線a看作x軸，建立適當的坐標系，問題將變得新穎.

以上問題以“兩點一線”為背景建立模型，引導學生在變化的過程中發現基本的幾何模型（如“K”形圖，“X”形圖）. 復習時可以借助幾何模型的結論，探討解決基本模型的通性通法，從而利用幾何圖形的結論解決幾何壓軸問題. 對一些較常用的模型做變式處理，能引導學生歸納與總結某類題的通性通法，能激起學生強烈的參與熱情與求知欲望，從而進行有效復習.

3. 指導學生研究歸納的方法

課堂45分鐘的復習時間有限，所以課堂上應盡量避免出現下列情況：教師包辦、學生獨立思考時間短;練習量足夠多，但解題能力卻不見提升. 教學中，教師應指導學生研究、歸納解題方法，提升他們對同一系列問題的理解程度，同時在教師的指導下開展研究活動，讓學生成為復習課中的主人，而不是觀看者.

如復習平移、旋轉、軸對稱、位似這四個變換時，可以啟發學生研究下列問題：

（1）先歸納點（x，y）左右平移和上下平移后坐標變化的規律，再研究二次函數圖像的平移規律，以及一次函數、反比例函數圖像的平移規律. 如二次函數y=3x2向左平移4個單位長度后的函數解析式是什么？一次函數y=3x向左平移4個單位長度后的函數解析式是什么？雙曲線y=-■向左平移4個單位長度后的函數解析式是什么？

（2）再如旋轉，引導學生先歸納一個點關于原點對稱的坐標變化規律，再指導研究：若原點改為其他任意點呢？對稱后的坐標應如何變化？若一個點繞原點順時針旋轉90°、270°后坐標應如何變化？你發現了什么新的規律？拋物線y=3x2的圖像關于原點中心對稱的圖像是怎樣的？解析式是什么？直線y=3x-2關于原點中心對稱的圖像是怎樣的？解析式是什么？雙曲線y=-■關于原點中心對稱的圖像是怎樣的？解析式是什么？

（3）再如軸對稱，引導學生先歸納一個點分別關于兩條坐標軸對稱的坐標變化規律，然后研究一個點關于直線y=x（或直線y=-x）對稱的坐標變化規律.

學生在上述活動中不僅復習了這幾個變換的特點和規律，更通過“函數圖像的變換研究”對問題有了新的發現與認識. 這種“研究”方式將影響學生今后思考問題的方式.

4. 創新使用教材中實驗觀察與數學活動類資源

教材中各個章節后面都提供了“數學活動”“閱讀與思考”以及“實驗與探究”等資源. 近幾年，各省市中考題經常將教材中的這些資源作為背景來命題，因此我們在復習時可以挖掘課后實驗與探究以及數學活動的內容，將這些素材進行變式處理，從而深度理解教材，讓學生站在更高的角度看問題，順暢地進行數學探究活動.

如人教版八年級下冊第63頁實驗與探究“豐富多彩的正方形”（稍做修改）：如圖3，有兩個完全相同的正方形ABCD和正方形OEFG，且正方形OEFG的頂點O與正方形ABCD的對角線交點重合. 可以發現，不論正方形OEFG繞點O如何旋轉，兩正方形重疊部分的面積始終等于正方形ABCD面積的■，請說明理由.

接下來，可對上述問題做如下演變與創新：

（1）旋轉正方形OEFG的過程中，哪些量始終不變？

（2）如圖4，連接MN，GE，探究MN與GE的數量關系與位置關系，并說明理由.

（3）若AB=a，試探究兩正方形重疊部分的面積S與a之間的函數關系式;重疊部分的周長會隨著正方形的旋轉而改變嗎？

（4）如圖4，設BN=x，△MON的面積為y，試確定y與x的函數關系式，并求出y的最大值或最小值.

（5）如圖5，若改為點O與點A重合，猜想上述結論有哪些依然正確.

（6）若把上述兩個正方形變為形狀一樣的兩個正三角形或者正六邊形，你會得到什么新的結論？

在以上探究活動中，教師應讓學生體會任意正多邊形在旋轉過程中的不變性，體會動態幾何中隱藏的“不變量思想”與“方程函數思想”. 教材中的很多材料都可以作為這樣的素材進行變式與創新，體現了教材編寫組獨特的意圖，以及數學課本獨有的魅力. 教學中，我們應慢慢體會編寫教材專家們的“編寫初心”，領悟數學學習的本質內涵以及數學思維的發散本色.

反思與感悟

復習時切忌貪多求全，急功近利，要循循善誘，充分考慮到不同學生的個性差異以及認知結構，要關注復習過程中的知識關聯，以及學生的能力提升，要努力反思學生的學習收獲以及學習體驗，及時引導學生去發現、去歸納，讓問題在嘗試和互動中生成. 我們要交給學生解決問題的思路與方法，要達到講一題、通一類，使所有的解題策略達到“一通百通”的效果. 復習時，只要留給學生充裕的思考時間，讓他們主動質疑、反思，領悟解題策略，領會數學方法，掌握數學思維，就能讓他們在感受成功的同時體會學習的樂趣，養成勇于質疑、敢于創新的思維品質. 如講解完一道綜合題后，不要馬上講下一題，應留幾分鐘時間讓學生反思，讓學生從自己的視角來重新看這道題，這樣他就會有新的發現;復習時應分段進行，復習完一段后，先讓學生反思這一段的得失，總結方法，歇一歇，目的是為了更好地前行.

有效復習是一種教學理念，更是成功的方向，只要我們立足教材，抓住基本模型，對教材例題進行有效的變式，就會激發學生不斷地進取與探索;為了提高數學復習的實用性與有效性，我們應該堅持以先進的教育理念為引領，大膽探索，勇于實踐，不斷改進，創新求變.