數學抽象下的高中教學設計研究

胡昌亮

摘 要：數學抽象素養是聯系數學與現實世界的橋梁，高中數學為什么難，就在于一些學生不能將抽象的數學知識與自身經驗聯系起來.所以在高中數學課堂教學中，如何培養學生的數學抽象素養，更好地理解數學概念，將數學知識形象化，破解數學難題，顯得非常有必要.本文中，筆者以兩個教學片斷為切入點，通過設計數形結合思想和轉化化歸思想，達到訓練學生抽象思維的目的.

關鍵詞：抽象素養;數形結合;教學設計

“核心素養”是近幾年眾多教育專家學者熱議的主題，也是數學課程目標的集中體現.由于數學學科本身與現實世界的聯系是抽象的，所以作為六大核心素養首位的數學抽象素養的提出是必然的;其次，當前教育的主要形式是學校教育，課堂又是學校教育的主陣地，所以有效的教學設計尤其是以培育高中生的抽象素養為目的的課堂教學設計是有意義的.

縱觀現狀，我國專家學者如史寧中教授等對“核心素養”的研究已經非常深刻，但如何針對高中生的數學抽象素養進行教學設計的研究卻不多見.

數學研究的對象是現實世界抽象的產物，理性思維的形成需要數學抽象的奠基.作為一種思維過程和能力，數學抽象可讓高中生養成思考問題的一般性習慣，把握數學本質，更可以滲透到其他相關學科中去，解決相關問題.抽象思維能力作為數學思維能力的一種，在建構數學知識的過程中起到主要的支撐作用.高中生一般生理年齡在十六歲至十九歲之間，他們已經形成了較為成熟的邏輯思維和認知水平，但并不代表他們就不需要繼續培養數學抽象素養，與其他素養不同的是數學抽象需借助數學知識作為載體，通過系統的訓練才可以獲得.因此在課堂教學設計中引入數學抽象素養，對學生的能力結構的塑造也非常有意義.

史寧中教授將數學抽象劃分為數量與數量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象，虛擬和現實的抽象.要拿下數學抽象問題，感性認識和直觀體驗的結合是中學教學的第一要務.

數與形是刻畫事物本質的兩個重要方面，數無形不直觀，形無數不入微.“數”抽象難懂，“形”形象直觀.數形結合思想是數學中解決問題的重要思想方法，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，最終達到優化解題方法的目標.

教學片斷1：已知函數f（x）定義域為R，請你說出對f（x）=f（x+a）的理解，其中a為非零常數.

設計目的：這是函數中眾多抽象代數式的一種，蘊含著某些性質的抽象代數式往往會讓學生摸不著頭腦，無從下手.筆者認為，可借助圖形化手段思考代數式，培養數形結合思想，將抽象問題結合具體圖形去理解，提高抽象素養.

分析 我們借助正切函數的圖象作模型，如圖取a=π，對任意x0∈{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，

有f（x0）=f（x0+π），在依次取a=2π，3π，…，kπ，都有f（x0）=f（x0+a）.學生很容易想到這是函數值周而復始出現的一種表現，從而知道上式反映的是函數的周期性.根據圖象和取值，得到π是函數的一個周期，且周期不唯一，從而引申出π是無數個正周期中的最小的一個，得到最小正周期的概念.

上述解決過程不僅是數形思想的滲透，還是高中化歸思想的一種普及.學生在此次學習之后，在遇到類似抽象代數式時，便可利用函數圖象輔助教學，結合現實中一些具體的感知，進而加深對抽象代數式的理解.教師也可以相應給出變式訓練，如f（a+x）=f（b-x）揭示了什么數學本質，培養學生的發散思維，加強對所有此類問題的理解，提高學生抽象素養水平.

反之，幾何圖形雖然直觀形象，但要反映數學的本質，還需要借助數的運算;以數論形，可以讓學生理解幾何圖形背后的數學本質.縱觀高中數學，空間向量便是此類問題的典型代表，利用空間直角坐標系，將空間中線面位置關系與代數運算建立聯系，進而將幾何問題代數化.

教學片斷2：在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD;

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

設計意圖：形數不分家，圖形的直觀性優點有時候也難以揭示背后的規律，這時候就需要將圖形數量化，利用向量，函數，方程等代數手段“以數解形”.

分析與解答 第2問中的二面角求解，如果借助于幾何手段去尋找并且求解出來，會有一定的難度，對學生的空間思維能力要求過高，于是利用面面垂直性質定理借助于第一問，可建立空間直角坐標系，如圖所示，用定量的方法解決幾何問題.

簡解 建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.

設m=（x，y，z）是平面PAB的法向量，則同理可得m=（1，0，1）.后面轉化為求兩個法向量的余弦，這里省略.

數學中這樣的例子還有很多，借助于直觀和感官的思維，可以感受數量與數量關系，圖形與圖形關系的抽象.在高中課堂教學中，我們要善于在教學設計中合理并且善于利用數學抽象，提高課堂教學這個主陣地的效率和價值.

參考文獻：

[1]趙梓希.基于數學抽象素養的高中數學教學設計研究[D].長沙：湖南師范大學，2018：12-70.

[2]王春力.基于核心素養的高中數學單元主題教學設計研究[D].濟南：山東師范大學，2019：30-55.

[責任編輯：李 璟]