滲透“基本套路” 培養數學思維

趙萬程

摘 要：“基本套路”是事物發生發展的基本規律，數學中的“基本套路”是研究數學問題發生發展的基本規律，即數學思維。要培養學數學思維，發展學生核心素養，首先要讓學生體會、掌握這種基本思維，因此，新課程標準提倡教師以“研究一個數學對象的基本套路”為指導設計和開展教學活動。作為一線教師，我們應該研究“基本套路”、實施“基本套路”、反思“基本套路”、發展“基本套路”，踏踏實實地落實新課程標準，實現立德樹人的目標。

關鍵詞：基本套路;核心素養;意義;實施;思考

一、“基本套路”教學的意義

數學是一切自然科學的基礎，不僅僅表現在數學知識的應用層面，更體現在數學思維的運用層面，正如美國數學家萊克因所說：“數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度”，柏拉圖也曾說：“數學是一切知識的最高形式”。因此，我們要教會學生用數學的眼光觀察世界，用數學的語言描述世界，用數學的思維思考世界，這正是新課程標準所希望達到的效果。

新課程標準注重發展學生的六項核心素養，體現數學教學的育人功能。要落實核心素養，核心是數學教學育人要回歸數學的學科本質。所有的科學問題在本質上都是簡單而有序的，用簡單的概念闡明科學的基本問題，用相似的方法解決不同的問題，數學更是如此。數學的研究對象多種多樣，但研究的內容、過程和方法是如出一轍的，正所謂“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”。因此，我們在教學生每一種數量關系、幾何關系，都應該以“研究一個數學對象的基本套路”為指導進行教學設計和開展課堂教學，使學生感悟到數學思想和方法的普適性，學會用相似的方法、已知的方法解決陌生的、未知的問題，逐漸形成“數學的思維方式”，以達到培養學生核心素養的目的。

二、“基本套路”教學的實施

1.明套路，知章法

這里的“套路”并非狹義的指解題方法。比如分式函數的值域問題，我們可以通過設將函數轉化成二次函數加以解決，也可以設，將函數轉化為雙勾函數加以解決，還可以去分母通過考察“二次方程根的分布”加以解決。其實這些方法均是將一個未知函數轉換為已知函數加以解決，是同一種思想的不同處理。很多文章上都把這些不同的處理總結成不同的方法，才會出現“函數值域的十種方法”，甚至“函數值域的十六種方法”，并稱之為“套路”，不同函數的值域用不同的套路。在筆者看來，函數值域就一種思想方法：化未知為已知。具體到用代數還是幾何還是數形結合，均是“化已知”的不同思考角度，不同處理方式。筆者曾聽過一位老師的課，課上在講解如上函數值域問題時老師總結強調：“二次分式函數轉化為分子分母一個為一次一個為二次的結構，然后對一次結構進行換元構造雙勾函數，這是解決二次分式函數值域的基本套路，而且是最普適的套路?！笨梢韵胂?，這樣的講解會固化學生的思維，不利于學生數學核心素養的形成，也許“應試”有用，但卻為了一時影響了學生一生。我們不需要這樣的“套路”。

這里的“套路”，是指事物發生發展的一般規律，比如餓了要吃飯，困了要睡覺。數學的發生發展也有著它的一般規律，比如基本初等函數都遵循著“背景——概念——圖像與性質——應用”的基本規律。明白事物發展的一般規律，才能用相同的思維思考不同的對象，才能達到“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”的效果，才能讓學生在以后碰到未知問題時知曉如何思考，如何去解決。

新課程標準提倡教師在教學過程中滲透“基本套路”意識，強調“相同的模塊有相同的套路，不同的模塊有不同的套路”，教師首先自己要強化“套路”意識，研究不同模塊“套路”結構，優化“套路”實施方式，發展“套路”教育理念，并依“套路”進行設計教學、開展教學過程，才能潛移默化的影響學生，使學生體會數學思想和方法的普適性，學會用相似的方法解決不同的問題，形成數學的思維方式，核心素養就潤物細無聲的落實了。

2.教套路，練章法

教師應依據所教知識研究的“基本套路”進行教學設計，并在教學中通過各種教學活動讓學生能夠體會、理解 “套路”意識，并提供平臺供學生演練“套路”研究，使學生逐漸形成數學的思考方式。

比如在“冪函數”的教學中，我們要依據研究基本初等函數的“套路”進行教學設計：

在研究冪函數的圖像和性質過程中，先通過描點法畫特殊五個特殊函數的圖像，然后對性質進行總結歸納，再適當加以證明。整個教學過程體現了事物發生發展的基本規律。教材對冪函數的要求不高，只需要通過具體實例得出冪函數的概念，結合五個具體冪函數（其中有三個初中學過）的圖像，歸納抽象出五個冪函數的性質即可。但如果把“冪函數”放到《函數的概念和性質》這一章中分析就會發現，“冪函數”這節內容所體現的不僅僅是冪函數本身，它是函數的概念和性質的具體表現，可以進一步加深學生對函數的概念和性質的理解，它也是是函數的概念和性質的應用，可以讓學生體會概念和性質的作用;如果把“冪函數”放到“函數模塊”中分析又會發現，通過對要求較低的冪函數的研究，可以讓學生明確研究初等函數的“基本套路”，為后面研究相對較難的指對數函數和三角函數甚至數列指明研究策略。因此，“冪函數”這節內容的要求雖然不高，但其作用巨大，有承前啟后之功效。因此，在后面學習指對數函數時，可提供平臺讓學生仿照冪函數的研究過程嘗試自己去研究指對數函數。

筆者在和徒弟探討基本初等函數的教學時，突發奇想和她一起進行了一個實驗，在她所任教的兩個班中選擇一個班級按如下方案授課：

①講完“冪函數”后，直接上“指數函數的概念”，然后讓學生仿照冪函數的研究套路課后自行研究指數函數，總結指數函數的圖像和性質，下節課展現研究成果;

②接著上“指數運算”，在指數運算最后一節課用10分鐘講解“對數”的概念，讓學生仿照指數運算的研究套路課后自行研究對數運算，下節課展示研究成果;

③在對數運算后給學生一個實際背景，讓學生課后仿照指數函數的研究套路自行對數函數進行研究，下節課展示研究成果。

即上課順序為：

其目的就是想試試看“基本套路”教學是否會影響學生的思維方式，并鑒定其效果。故在其上教學內容上完以后，為兩個班同時留了一道作業附加題：請研究二次函數和指數函數復合而成的新函數。從學生呈現出來的研究成果可以看出，按如上方式上課的班級學生總體對新的復合函數研究種類的多樣性、性質的完整性好與另一個班級?？梢钥闯觯瑥娬{研究對象的“基本套路”確實有利于學生數學思維的培養，更有利于核心素養的落地。

當然，這只是試驗，筆者不建議為了講“套路”而隨意改變教學內容的順序，數學是一門整體性、系統性很強的學科，教材的內容編排順序自有其合理性、科學性，隨意改變不一定符合知識發生發展的自然過程和學生對知識發生發展過程的認知。教師只要在日常教學過程中盡可能多的滲透“基本套路”的意識即可?！盎咎茁贰币庾R的形成也不是一蹴而就的，教師要多引導，多滲透，多給學生創造機會和平臺練習，潛移默化中改變學生的思考方式，培養數學思維。

3.思套路，調章法

依據研究新的數學對象的“基本套路”進行教學，雖然很早就有人在研究，但真正引起所有一線教師關注的還是新的課程標準的實施，目前依然處于研究階段。章建躍博士指出高中數學中“基本套路”的載體比比皆是，但他并沒有詳細說明“基本套路”的內涵是什么，已有的研究也大多數是直接套用章建躍博士的觀點，“基本套路”的內涵并沒有達成一致，“基本套路”的實施也都還在摸索，因此我們一線教師在教學過程中要實時的進行思考、反思、調整，形成自己的、適合學生的一套理論和辦法。

一是要反思自己對“基本套路”的理解是否到位。新教材重構主題模塊，整合同一模塊的知識主題，更有利于學生對知識體系的認知，也更有利于“基本套路”的實施和落實，教師要對同一模塊的不同知識對象的研究整合成同一“基本套路”，不能牽強，要自然而然，要能讓學生感受到這就是事物發展的一般規律，才能引起學生的共鳴，更有利于學生數學思維的培養;

二是思考不同模塊的不同套路之間的聯系、共性。不同模塊的不同套路之間不是割裂的、毫不相干的，無論是代數還是幾何，新知識對象的研究無不遵循著“發現——研究——應用”的一般規律，“套路”的不同只是因為研究對象的種類不同而產生的差異，是同一棵樹上不同的樹枝?！盎咎茁贰钡慕撟⒅貫閷W生構建一個前后一致、邏輯連貫的學習過程。因此教師在進行教學設計和教學活動過程中要體現這種聯系、共性，才能讓學生真正理解“套路”，靈活運用“套路”，才能將“套路意識”融入學生的血脈之中。

三是要反思“基本套路”的實施方案是否適合學生。一方面，“基本套路”重視知識的邏輯過程和教師“教”的角度，比較容易忽略學生對知識的主動需求和探索過程中對數學問題解決的那種千回百轉、生動活潑的心理活動，因此“基本套路”的研究還應充分考慮學生的心理需求;另一方面，不同學校的學生能力差異較大，同一學校不同層次的班級學生能力差異較大，同一班級的學生個體能力差異也較大，教師要依據任課班級的學生特點設計教學活動，適合學生的就是最好的。

三、 “基本套路”教學的思考

對象研究的“基本套路”并非是固化研究方式，“基本套路”是一種規律，我們要認識規律、研究規律、發展規律，進而形成數學思維、進化數學思維，才能大開腦洞，創造性的認識世界、發展世界。

1.“套路”一詞來源于武術，武者學習武術要從基本套路開始，隨著對武術理解的深入，逐漸能夠將各種套路融會貫通，信手拈來，再進一步則不在拘泥于某種套路，甚至能根據自身和對手的特點創造招式，而武術的最高境界則是無招，隨心所欲，無招勝有招。筆者想來，“數學思維”應該也是如此，康托爾說：“數學的本質在于它的自由”。我們今天教學生 “基本套路”的目的，是為了讓學生學會用“數學思維”思考世界，并將其成為一種本能，最后達到“無招”的境界。故我們在教學過程中，一方面要將“基本套路”意識滲透的足夠徹底，盡可能讓學生掌握的足夠扎實;另一方面也要滲透“基本套路”的靈活性、可塑性，總結分析不同模塊“套路”的共性和個性，逐漸發展為更高一級的“套路”，為學生數學思維的形成和升級奠定基礎。

2.在落實“基本套路”的過程中，非常容易使學生認為一切數學問題都能通過某一個套路進行解決，使得學生在解題時過于關注“通用通法”，失去對“一題多解”研究的動力和興趣，導致學生思維固化，不夠發散，最終的結果是喪失創造力。事實上，很多數學家也在尋求能夠解決某一類的所有數學問題的“套路”，比如希爾伯特提出了公理系統中的判定問題，有這樣一個設想：有了一個公理系統，就可以在這個系統基礎上提出各式各樣的命題，那么，有沒有一種機械的方法或者算法，對每一個命題加以檢驗，判斷它是否成立？然而數理邏輯的專家——哥德爾的不完全定理的面世，打碎了希爾伯特的夢想，哥德爾的成果指明：即使是在數論領域，對所有命題進行判定的機械化方法都是不存在的。滲透對象的研究“基本套路”是為了讓學生感受事物發生發展的一般規律，并非禁錮學生的思維，與發散性思維的培養并不沖突，無論思維如何發散，如何的天馬行空，都逃不開“規律”二字，發散的思維就像一個個自由飛翔的風箏，而“規律”就是風箏線，要想風箏飛得高、飛的遠、飛的自由自在，首先要拉好風箏線，然后給風箏自由。我們需要“基本套路”，也需要發散思維，在“基本套路”的指引下發散自己的思維，因此，我們在教學過程中要注意這兩方面的一致性。

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