論高中數學圓錐曲線解題技巧

摘 要：高中數學圓錐曲線習題以計算繁瑣而著稱，是學生測試中最常失分的習題類型.教學中應注重講解相關的解題技巧，尤其為學生講解解題技巧的具體應用，提高學生應用解題技巧解答圓錐曲線習題的意識以及解題能力，幫助學生樹立解題自信.

關鍵詞：高中數學;圓錐曲線;解題;技巧

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0035-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：王素榮（1979.3-），女，安徽省界首人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

一、結論法解題

圓錐曲線教學中應注重與學生一起推導相關結論，要求學生做好結論的總結，尤其應注重在解題中為學生展示運用結論法解題的過程，使學生感受運用結論法解題的便利，從而更加積極主動地學習、記憶相關結論，為迅速解答圓錐曲線習題做好鋪墊.

例1 已知橢圓方程為x225+y29=1，點P為該橢圓上一點，F1、F2分別為橢圓的左右焦點，若PF1·PF2|PF1||PF2|=12，則△F1PF2的面積為（? ）.

A.33? B.23? C.3? D.3/3

該題目如使用常規方法，計算量比較大，很多學生計算時半途而廢，無法得出最終結果.事實上，該題目為焦點三角形問題，即，橢圓任意一點P和兩個焦點構成的三角形為焦點三角形.焦點三角形的面積計算公式為S△F1PF2=b2tanθ2，b為橢圓的短半軸長，θ為∠F1PF2的大小.該題目可使用該結論甚至能夠口算出結果.由平面向量的數量積可得cosθ=PF1·PF2|PF1||PF2|=12，可知θ=60°，又∵b2=9，則S△F1PF2=b2tanθ2=9×tan30°=33，正確選項為A.

二、特殊值法解題

遇到圓錐曲線習題時可結合已知條件對相關的線段長度進行巧妙的賦值，以迅速計算出正確結果.教學中為提高學生運用特殊值法解題的意識，應注重為學生展示相關例題，要求學生采用常規方法以及特殊值法進行解題，感受特殊值法解題的魅力，啟發其在以后的解題中應先不要急于動筆作答而應積極思考，運用特殊值法求解.

例2 已知F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，點P為該橢圓上一點，PF1⊥PF2，∠PF2F1=60°，則C的離心率為（? ）.

A.1-32? B. 2-3? C.3-12? D.3-1

該題目如采用常規方法計算繁瑣，浪費較長時間，在考試中是不可取的.根據給出的已知條件使用特殊值法可獲得事半功倍的解題效果.根據題意可設PF2=1，∵PF1⊥PF2，∠PF2F1=60°，則F2F1=2，PF1=3，即，2a=PF2+PF1=3+1，2c=F2F1=2，則e=2c/2a=3-1，正確選項為C.

三、參數方程法解題

圓錐曲線部分習題具有一定的技巧性，如采用常規思路難以作答，而采用參數方程法，將問題轉化為坐標運算，可使原本看似復雜的題目被順利突破.教學中為使學生掌握運用參數方程法解題的技巧，應注重為學生補充圓錐曲線相關參數方程，使學生搞清楚參數方程各參數表示的含義.同時，優選、精講相關習題，給學生帶來解題上的啟發.

例3 已知橢圓C的方程為x24+y2=1，點P為該橢圓在第一象限上的一點，A為左頂點，B為下頂點，PA交y軸于點C，PB交x軸于點D，若CD∥AB，則P的坐標為.

該題目難度較大，為使學生掌握運用參數方程解題的技巧，應注重為學生板書采用橢圓參數方程解題的具體過程，使學生認真揣摩，爭取掌握.由橢圓的標準方程不難得出橢圓的參數方程，從而可設點P的坐標為（2cosθ，sinθ），∵P在第一象限，則θ∈（0，π2）.A（-2，0），B（0，-1），直線PA、PB的斜率分別為kPA=sinθ2cosθ+2，kPB=sinθ+12cosθ，直線AB的斜率kAB=-12.則對應直線PA、PB的方程分別為y=sinθ2cosθ+2（x+2），y+1=sinθ+12cosθx，容易求得C（0，sinθcosθ+1），D（2cosθsinθ+1，0）.∵CD∥AB，則kCD=kAB，求得θ=π4，則P的坐標為（2，22）.

四、數形結合法解題

數形結合是一種常用的解題思想.通過數形結合可使抽象的問題直觀化，盡快地找到參數之間的關系順利破題.圓錐曲線解題教學中應注重設計相關習題，引導學生采用數形結合思想求解，啟發其在以后的解題中結合圖形以及所學的幾何知識巧妙解題.

例4 已知雙曲線方程為x2-y23=1，F1、F2為其左右焦點，△PF1F2的內切圓和x軸相切于點M，則MP·MF2的值為.

解答該題需要根據題意繪制出對應的圖形，結合圖形、雙曲線圖1、圓的知識找到參數之間的關系，以達到順利解題的目的.根據題意繪制如圖1所示的圖形，

如圖設N、H分別為直線PF1和PF2和圓的切點.設M點的坐標為（x，0）.由雙曲線的定義容易得到|PF1|-|PF2|=2，由圓的切線知識可知|PN|=|PH|，|NF1|-|HF2|=2，即，|MF1|-|MF2|=2，則（x+2）-（2-x）=2，得到x=1，M（1，0），則MP·MF2=（2-1，3）·（2-1，0）=2-1.

圓錐曲線是高中數學的重點、難點知識.相關習題的難度較大，很多學生望而生畏.為幫助學生樹立解題自信，教學中既要注重傳授相關的解題技巧，又要鼓勵學生在解題中多加應用，減少不必要的計算，提高解題效率，并不斷總結應用解題技巧時的注意事項，爭取真正地掌握，實現圓錐曲線解題能力的顯著提升.

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[責任編輯：李 璟]