高中“隱形圓”模型的探究與運用

秦詠梅

摘 要：在高中數(shù)學問題的分析和解答過程中，進行“隱形圓”模型的構(gòu)建，往往可以化繁為簡，化抽象為直觀，幫助學生更好地發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律，有效地解決問題。有關“隱形圓”模型的問題一般具有很強的綜合性和抽象性，這就要求教師要引導學生進行自主探究，掌握“隱形圓”模型的本質(zhì)，并應用“隱形圓”模型進行實際問題的分析和解決，提高學生的學習效率，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展。

關鍵詞;高中數(shù)學;“隱形圓”模型;運用策略

所謂“隱形圓”，就是在試題的題目中沒有出現(xiàn)有關圓的表述，試題所配的圖中也沒有圓形，試題直接給出的已知條件中看不到任何圓的信息。然而，對試題進行仔細的分析，并運用數(shù)學思想進行轉(zhuǎn)化，可以將復雜的試題信息巧妙地轉(zhuǎn)化為有關圓的知識，從而運用圓的性質(zhì)進行問題的分析和解決，往往可以起到事半功倍的效果。筆者將結(jié)合高中數(shù)學教學實踐，對有關“隱形圓”模型問題的構(gòu)建與運用的幾種類型進行論述。

一、根據(jù)圓的概念進行“隱形圓”模型的構(gòu)建

根據(jù)圓的概念，找出問題中“隱形圓”的圓心和半徑，進行“隱形圓”模型的構(gòu)建，可以將復雜的問題簡單化，有效地提高解題效率。

例題1已知向量，，則向量和的夾角范圍是多少？

“隱形圓”模型構(gòu)建，根據(jù)題意可以知道，點A是一個動點，其圍繞點C（0，2），以為半徑做圓周運動，因此可以根據(jù)圓的概念構(gòu)造出以點C為圓心，為半徑的隱性圓模型。這樣，將向量問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，從而過坐標原點做“隱性圓”的切線，得到兩個切點E、F，根據(jù)圓的性質(zhì)可以得到，因此，，，這樣問題的答案就迎刃而解了。

本題的“隱形圓”模型構(gòu)建的關鍵是要找出點A到定點C的距離是一個定值，然后根據(jù)圓的的概念可以得到“隱形圓”，從而有效地解決問題。

二、運用三角代換進行“隱形圓”模型的構(gòu)建

換元法是高中數(shù)學解題中的一種重要思想，通過三角代換，將已知的復雜三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為“隱形圓”模型，從而運用圓的性質(zhì)進行問題的分析和解決，則更效率。

例題2：已知a、b、c三個實數(shù)滿足等式，并且c≠0，那么，求的取值范圍是多少？

從題中的已知條件并不能看出“隱形圓”，因此，需要對等式進行變形，得到，然后運用三角函數(shù)的知識可令，，并且。同時，對分子、分母同除以c，可得：。設=k，則表示定點（2，0）與圓上任意點連線的直線斜率，設直線為，則可知<1，從而解出k的取值范圍，即的取值范圍為。解答本題的關鍵是構(gòu)造“隱形圓”，通過，（c≠0）同除以c2得到，構(gòu)造出的“隱形圓”模型，問題得解。

三、運用圓的性質(zhì)進行“隱形圓”模型的構(gòu)建

通過圓的有關性質(zhì)，可以進行“隱形圓”模型的構(gòu)建，找到“隱形圓”，從而將問題進行轉(zhuǎn)化，有效地解決問題。

例題3：已知a、b、c三個實數(shù)成等差數(shù)列，M點為一個定點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影，那么，求動點M與定點N（2，1）所組成線段MN長度的取值范圍。

本題已知a、b、c三個實數(shù)是等差數(shù)列，因此，我們可以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，構(gòu)建起三個實數(shù)之間的關系，即：2b=a+c，變形得：a-2b+c=0，帶入方程ax+by+c=0可知，方程恒過一點Q（1，-2），由題意可知定點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，則可以得到。由此可見，運用圓的直徑對應圓周角為90°的性質(zhì)可以進行“隱形圓”模型的構(gòu)建，點M在以PQ為直徑的圓上，圓心為（0，-1），半徑為，其中，N點到圓心的距離為，由此可以順利地求出線段MN長度的取值范圍。

本題是一個動點問題，構(gòu)造“隱形圓”的關鍵是確定，這樣，就可以構(gòu)造以PQ為直徑的“隱形圓”，從而將問題有效地轉(zhuǎn)化為求定點到圓上點距離的問題。

四、通過動點軌跡進行“隱形圓”模型的構(gòu)建

動點軌跡是高中的難點問題，通過動點軌跡進行“隱形圓”模型的構(gòu)建，可以運用有關圓的性質(zhì)進行問題的分析和解決，效果良好。

例題4.在中，已知，，AB=2，求三角形的最大面積。

本題通過常規(guī)的方法并不能有效地進行計算，因此可以將三角形放到直角坐標系中，構(gòu)建動點C的軌跡方程，可以令點A（-1，0），點B（1，0），設點C（x，y），根據(jù)和勾股定理可得，化簡可得關于x，y的方程，因此，三角形的C點在圓上運動，則根據(jù)三角形的性質(zhì)可知，當C點位于AB的垂直平分線上的時候，三角形面積最大，由此解決問題。

總而言之，在高中問題的解決過程中進行“隱形圓”模型的構(gòu)建，可以起到化繁為簡的效果，有效地提高學生的解題效率，幫助學生理解數(shù)學思想的具體應用，提高學生的自主學習能力，促進學生的全面發(fā)展。

參考文獻

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