從知識結構談函數主題單元教學

摘 要：在“一核四層四翼”的新高考評價體系之下，教師也在尋求培養學生的路徑。田慧生提出主題單元教學，指出新課程的教學應該站在單元的角度進行備課。文章從函數的結構以及其滲透的數學素養出發，針對函數教學中的重難點提出建議與想法。

關鍵詞：主題單元教學;核心素養;函數結構

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2020）29-0062-02

一、函數內容結構分析

函數是高中數學的重要組成部分，知識點多而難。從結構上理解函數內容結構，可以厘清其內部知識之間的聯系，使知識能夠成為體系，避免知識碎片化。同時，教師可以從結構的高度上引導學生生成新知識，并對不同知識點之間的研究方法進行橫向對比，從而讓學生深入理解學習內容。

在高中初始階段，學生已經對集合進行了學習，教師可結合現實生活中的例子，引入一般函數的概念，進而帶學生研究函數的表示方法，其后研究函數性質，包括奇偶性、單調性、拓展周期與對稱性等。在理解函數性質的定義與性質之后，教師可以開始帶學生對一些特殊的函數進行研究，包括指數函數、對數函數、冪函數、三角函數以及特殊的離散型函數-數列。從其每個小專題的研究順序結構上看，我們可以將函數的研究學習過程分為：定義→表示→運算與性質→應用四個環節，同時在研究完一個問題時，往往會進一步研究其內涵（子類）或是變形與拓展（衍生類）。

二、數學核心素養的體現與培養

主題單元教學，不僅僅可以體現知識結構的完整性，其對學生數學核心素養的培養也有著至關重要的作用。數學核心素養的培養不是一朝一夕的，零碎的課時教學，缺乏整體規劃，對學生核心素養的培養是不利的。在不同的環節，不同的教學內容中核心素養培養的重心是有所不同的。同時核心素養的培養也應該是分階段進行的，教師應當制訂多個小目標，逐步培養學生核心素養。函數作為高中的重點內容，可以作為多種核心素養的培養載體，以下筆者將分析各個核心素養在函數教學中的主要體現。

1.做好概念教學，培養學生的數學抽象素養

函數教學的第一環節往往是概念的引入，教材一般以具體示例引入，以幫助學生在具體情境中感知函數的存在，并讓學生從中抽象出共性的特征，總結出函數定義、單調性、奇偶性等概念。在這個環節中，引導學生進行體會，讓學生嘗試對概念進行定義、符號化，可以起到培養學生數學抽象素養的作用。

2.注重多種形式的表達，培養學生的直觀想象素養

函數教學的第二環節往往是函數的表示，包括函數解析式，列表法等代數表達以及利用圖像描述函數。對函數表示的學習，一方面可以讓學生對函數形成更為直觀的認知，另一方面可以引導學生從多個角度理解函數。同時在函數表示的學習中引入分段函數，可以更進一步引導學生體會圖像在研究函數方面的作用，培養其利用圖像描述問題、解決問題的能力。

3.性質推導，重視過程，培養學生的邏輯推理素養

函數是根據定義證明其單調性、奇偶性等問題，重視定義在證明中的作用，能夠培養學生的邏輯推理能力。在指對運算中，通過類比兩者運算中的聯系得到對數的運算方法，可以培養學生類比推理能力。在整個函數的結構中，為什么要針對特殊函數進行研究，包括數列的研究中為什么要對等差、等比數列進行研究，主要是通過對特殊函數、特殊數列的研究，讓學生體會其中的研究方法與性質，從而推廣到一般函數、一般數列的研究，滲透特殊到一般的思想方法。讓學生從宏觀角度理解函數內容結構是培養學生邏輯推理能力的有效途徑。

4.重視算理，培養學生的數學運算素養

函數單元包括指數運算、對數運算以及三角運算等內容，公式較多，學生往往不能較好地掌握其中的算理、算法，計算問題較大。那么，教師在函數模塊如何提高學生的數學運算素養？第一，強化運算性質的推導過程，讓學生做到能夠理解運算性質的由來，進而能夠較好地記憶和運用運算性質。第二，培養學生在計算中嚴格利用算理的習慣，做到每一步計算都有算理可依。第三，運算性質剖析到位，讓學生通過典例建立公式與常見形式的聯想，什么時候應該想到什么，用什么公式進行計算。第四，強化計算套路的熟練程度，在運算上有一些常見的計算過程，如三角函數的降冪輔助角操作，通過對學生進行不斷的強化，總結每一步計算細節，從而加快計算速度，減少計算失誤。

5.重視閱讀，重視應用，培養學生的數學建模素養

在函數模塊的教學中，有多處可以培養學生的數學建模素養。一方面對抽象的概念定理進行實例講解，有利于引導學生進行閱讀，同時讓學生理解函數模型、函數性質在現實中的具體體現，并讓學生更容易進行聯想拓展。另一方面，在函數的練習中也蘊藏著建模思想。剖析函數中的增長速度、奇偶性、周期性等函數性質，能夠在實際生活中找到函數模型對學生進行建模素養培養。

三、把握結構，突破函數重難點

（1）初學階段，包括對于一般函數概念、表示、性質的研究以及函數與方程。

從函數的整體結構可以看到具體函數的研究方法與初學階段函數的學習順序是相類似的，因此在函數的教學過程中，初始階段的學習尤為重要。只有掌握了函數的一般研究方法，后續特殊函數的學習才會變得十分輕松。反之，如果學生在初學階段對函數性質掌握得不好，由于后續特殊函數的學習還包括運算上的難點，就會讓問題變得更為復雜。

初學階段有以下幾個重點內容。

第一，函數的研究方法。在函數初學階段的學習之中，學生應當站在更高的角度審視其學習過程，體會函數研究過程，理解函數的研究方法是從其表示出發，進而研究其有關性質，最后加以應用。因此在遇到函數有關問題時，思維順序應當是利用作圖、特殊點等方式對函數進行觀察，培養其利用圖形解決問題的能力，進而研究函數的有關性質。只有了解了性質之后，學生才能更好地應用函數。

第二，函數的概念以及f（x）的抽象表達。由于學生第一次接觸f（x）這種表達方式，對其較為陌生，有恐懼感，所以這里需要引用更多的例子使學生對符號理解得更為到位，這樣才有利于后續的教學。反之，學生若對f（x）符號的不理解，其在學習有關抽象函數定義域、解析式問題，包括函數的單調性符號表示、偶函數的符號表示，更進一步的函數對稱性與周期性的表示就都有極大的困難。在教學中，教師對f（x）的講解往往安排時間較少，不夠深入，導致學生對后續內容的理解十分混亂。

第三，函數的表示方法?；A知識方面，在初高中銜接時，很多學生對二次函數、反比例函數的圖像還不熟悉，導致后續在與指對冪等其他函數結合時，因為初中知識的遺漏而在學習上十分困難。大多數學生利用圖形描述問題的意識薄弱，如學生在二次函數限定區間的值域求解上面存在非常大的問題，他們不懂得借助于圖像幫助思考。在這個階段，教師應當選擇合適的例題，讓學生體會圖像在解決問題上面的優勢，同時指導學生作圖，這里要求學生利用尺規嚴格作圖，培養準確作圖的能力。

第四，函數性質的抽象。在函數單調性、奇偶性的教學方面，教師應當注重函數性質的抽象過程。重視抽象過程，能夠幫助學生進一步理解f（x）的意義，加深其對函數性質的理解與記憶，同時對后期一般對稱性、周期性的拓展有著至關重要的作用。

第五，復合、四則運算下函數性質的變化。在教學函數性質的時候，教師應當滲透函數性質的四則運算性質以及復合函數性質的講解。在后續學習基礎函數之后，更多的題目是求解函數復合或者四則運算平移得到的更復雜的函數。理解函數性質的四則運算或是復合的結果，更有利于學生理解后續遇到的問題，做到多題一法。

（2）指對冪、三角函數、數列等特殊函數的研究。若學生在初學階段對知識掌握到位，那么，他們對特殊函數的學習會容易許多。對特殊函數教學也是定義→表示→性質→應用四個環節，相比初學階段的函數重點，學生對特殊函數的學習主要圍繞以下幾個點進行。

第一，高中新引入的對數與三角運算。這部分運算由于公式較復雜，靈活性強，導致題目難度較大，學生對后續函數的學習會產生較大的恐懼感，因此，教師在教學過程中不宜加大難度，而應讓學生熟悉新的運算，從而更好地學習函數內容。在運算的教學上，教師應該降低要求，做好分層教學，或是在學生后續的學習中再慢慢加大難度。

第二，新函數的學習以及函數復合、變換、分段結合的性質研究方法。學習新函數的重點在于對新函數性質的掌握，這部分難度不大，學生基本都能掌握。難點在于函數之間的知識點的交匯，這就需要用到前面所學的知識內容。如果學生初學階段的知識方法掌握得較好，那么此時更多的是對前面知識方法的強化，學生學習相對也會比較輕松。學生學習的信心以及對數學的興趣都會得到提升。反之，知識的高度綜合會讓學生對數學產生恐懼感，不利于后期學習。

第三，數列的學習。數列區別于其他函數，我們可以將其視為離散的函數。除了對函數本身的圖像、單調性、值域的研究，由于其離散性，其項之間存在某些關聯，還需要研究其遞推公式。在這里，學生通常不明白為何如此變形，為何用某種方法計算通項與求和，因此，教師在教學時應該從特殊的例子逐步拓展，讓學生更容易接受相關方法與知識，同時體現特殊到一般的思想。

四、教學建議

從單元結構上分析函數的知識內容，我們可以發現在整個知識體系的研究之中，均是依據定義→表示→性質→應用的順序進行，教學依照這個邏輯順序，站在研究方法的角度上進行教學，有利于學生知識結構的形成。在知識的教授方面，初學階段的教學意義重大，影響著學生后續的學習，因此教師在初學階段應該花費更多時間與精力，引導學生做好筆記，隨時進行檢測，做好落實工作。磨刀不誤砍柴工，前期扎實的學習會使后續的學習更為輕松。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

作者簡介：蔡開拓（1991— ），男，福建廈門人，中學二級教師，本科，研究方向：中學數學教學。