數(shù)學(xué)例習(xí)題“二次開發(fā)”點亮學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能

黃彩虹

【摘要】以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，初中數(shù)學(xué)例題、習(xí)題教學(xué)的現(xiàn)狀，進(jìn)行列舉和分析，結(jié)合教學(xué)實踐中的相關(guān)案例，緊緊圍繞教材例題、習(xí)題 “二次開發(fā)”。 開發(fā)例題中的數(shù)字 提高課堂教學(xué)效果;開發(fā)例題的背景， 使數(shù)學(xué)課程更具現(xiàn)實性;開發(fā)一題多變，培養(yǎng)思維的靈活性;開發(fā)一題多解，培養(yǎng)思維的發(fā)散性;開發(fā)增加或改變知識點，結(jié)論適當(dāng)延伸，培養(yǎng)思維啟發(fā)性;開發(fā)例題的題設(shè)和結(jié)論 發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) ? 例題習(xí)題 ? 二次開發(fā) ? 思維的發(fā)散性 ? 思維的廣闊性 ? 思維啟發(fā)性

在新課改程理念下，數(shù)學(xué)教材不再是教師上課誦讀、宣講的對象，而是教學(xué)的材料和學(xué)生主動建構(gòu)意義的對象。這就要求教師在教學(xué)設(shè)計中，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點和心理規(guī)律，有效地分析教材、 整合教材、創(chuàng)新教材，對教材進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造、使教材發(fā)揮其課程資源的應(yīng)有功能，以提高課堂教學(xué)實效。

一、開發(fā)例題中的數(shù)字 提高課堂教學(xué)效果

數(shù)學(xué)教師在上課時常用的方法，特別是在講解計算型的題目時，如：合并同類項時。例、“3a+4a”引導(dǎo)學(xué)生改成“6a+7a”或“5b+3b”，再改成“-3a+4a”，再總結(jié)合并同類項的規(guī)律，這對教學(xué)效果是沒有任何影響的，同時這樣隨意改動，學(xué)生覺得得心應(yīng)手，學(xué)生自已增加自信心，提高了課堂教學(xué)效果。

二、開發(fā)例題的背景 使數(shù)學(xué)課程更具現(xiàn)實性

有時為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，不要忽視課堂情感的投入。在上課時可以對題目的背景進(jìn)行適當(dāng)更改，教師有意識地進(jìn)行題目背景的更換，使知識溶入在不同的背景中，選擇的背景是學(xué)生熟悉的事物和情景，這會讓數(shù)學(xué)教學(xué)因貼近生活而變得更加可親.讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和思考發(fā)生在身邊的現(xiàn)象，使數(shù)學(xué)課程更具現(xiàn)實性。

如圖，點D，E分別是AB，AC邊上的點，且AD=4，BD=2，AC=8，若ΔADE∽ΔACB，則AE的長是多少？

變化1：如圖，亮亮想測量操場上旗桿AB 的高度，他站在該旗桿的影子上前后移動，直到他身體影子的頂端正好與旗桿影子的頂端重疊，此時同伴穎穎測出亮亮與旗桿距離BE=12m，亮亮的影子長CE=4m.已知亮亮的身高DE=1.6m 圖中ΔCDE 與ΔCAB是否相似？請說明理由; 求旗桿AB的高度。

變化2：如圖亮亮和他的同學(xué)穎穎利用樹影測量樹高，他們在同 一時刻測得穎穎身高為1.5m其影長為1.35m，因大樹靠近一棟教學(xué)樓，大樹的影子不全在地面上，他們測得地面部分的影子長BC=3.6m，墻上影子高CD=1.8m，求樹高AB？

變化3：測量宿舍樓的高度，亮亮和穎穎住在同一宿舍，兩人準(zhǔn)備用測量影子的方法測其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面的方法：如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當(dāng)調(diào)整自己的位置，當(dāng)樓的頂部M、穎穎的頭部B及亮亮的眼睛A恰在一條直線上時，兩人分別標(biāo)定自己的位置C，D，然后測出兩人之間的距離CD=1.25m，穎穎與樓之間的距離DN=30m（C、D、N在一條直線上），穎穎的身高BD=1.6m，亮亮蹲地觀測時眼睛與地面的距離AC=0.8m.根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出宿舍樓高。

對題設(shè)條件進(jìn)行變化，克服學(xué)生思維定勢。充分滲透數(shù)學(xué)猜想和歸納法，培養(yǎng)學(xué)生探究能力和發(fā)散思維能力。 教師有意識的進(jìn)行題目背景的更換，將知識融入在不同的背景中，選擇的背景是學(xué)生熟悉的事物和具體的情景，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界里開拓出可供他們思索、探討和發(fā)展的用武之地。

三、開發(fā)一題多變 ? 培養(yǎng)思維的靈活性

一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，是指變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而題目的實質(zhì)不變，從不同角度，不同方面揭示題目的本質(zhì)，用這種方式進(jìn)行教學(xué)，能使學(xué)生隨時根據(jù)變化了的情況積極思索，設(shè)法想出解決的辦法，從而防止和消除呆板和僵化，培養(yǎng)思維的靈活性。一題多變可以改變條件，保留結(jié)論;也可以保留條件，改變結(jié)論;或者同時改變條件和結(jié)論;也可以將某項條件與結(jié)論對換等等。

例如，我在評講北師大版九下《圓》復(fù)習(xí)題時，我把這題改編為：

已知：MN是⊙O的切線，切點為C，AB是⊙O的直徑。求證：點A、B到MN的距離之和等于⊙O的直徑。

此題看似一道很普通的習(xí)題，經(jīng)過一番探索，發(fā)現(xiàn)它有豐富的內(nèi)涵。

1.挖掘證明

思路1：連OC，證明半徑OC是直角梯形ABED的中位線。

思路2：連AC、BC，過C作CG⊥AB，證明△ADC≌△ACG，△BCG≌△BEC，得到AD=AG，BE=BG.

2.挖掘聯(lián)系

從圖中不難發(fā)現(xiàn)：OD=OE，AC、BC分別平分∠DAB、∠EBA，因此，本例實質(zhì)上是下面習(xí)題的再現(xiàn)：

（1）求證：直角梯形的兩個直角頂點到對腰中點的距離相等。

（2）設(shè)AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和⊙O在點C的切線垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.

又因為AB=AD+BE，所以它是下面習(xí)題的一種特殊形式：

（3）已知：梯形ABED中，AD∥BE，AB=AD+BE，C為DE的中點，求證：AC、BC分別平分∠DAB和∠EBA.

這樣通過典型范例的思路剖析，使學(xué)生牢固掌握基本題型及解題規(guī)律，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系、前后貫通、引伸拓寬，使學(xué)生的思維活動始終處于一種由淺入深、由表及里，由一題到一路的“動態(tài)”進(jìn)程之中，形成了一條較為完成的知識鏈，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，激發(fā)學(xué)生探求知識的欲望，發(fā)展了學(xué)生思維的廣闊性。

四、開發(fā)一題多解 ? 培養(yǎng)思維的發(fā)散性

一題多解實際上是解題或證明定理、公式的變式，因為它是以不同的論證方式反映條件和結(jié)論問的同一必然的本質(zhì)聯(lián)系，運用這種變式教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生對同一材料，從不同角度、不同方位思考問題，探求不同的解答方案，從而拓廣思路，使思維向多方向發(fā)展，培養(yǎng)思維的發(fā)散性。

例：解不等式：（x+4）（x-1）>0

解法1：利用分類討論的思想方法。

解：①當(dāng)x+4>0，則x-1>0當(dāng)若x+4<0，則x-1<0

即可以寫成： ?x+4>0 ? ? ? 即可以寫成： x+4<0

x-1>0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x-1<0

解不等式組得： x>-4 ? ? ?解不等式組得： x<-4

x>1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x<1

綜合以上兩種情況：不等式解集：x>1 或x<-4（以上解法依據(jù)：若ab>0，則a，b同號）

解法2：利用方程和函數(shù)的思想方法。

令y=（x+4）（x-1）

當(dāng)y>0時，x<-4或x>1

因此，原不等式的解集為x<-4或x>1。

解法3：利用數(shù)行結(jié)合的思想方法。

由函數(shù)y=（x+4）（x-1）的圖象可得

當(dāng)y>0時，x<-4或x>1

因此，原不等式的解集為x<-4或x>1.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是聯(lián)系各部分知識的紐帶，是解題時的“指南針”。思考數(shù)學(xué)問題時，用不同的思想方法，對問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，往往能使問題化繁為簡，化難為易。

五、開發(fā)增加或改變知識點，結(jié)論適當(dāng)延伸，培養(yǎng)思維啟發(fā)性

例： 如圖⊙o1 和⊙o2 外切于點 A， BC 是⊙o1 和⊙o2 的公切線， B、C 是切點， 求證： AB⊥AC.

分析： 講解例題時，可啟發(fā)學(xué)生用多種方法進(jìn)行求證，特別強調(diào)“切線與過切點的半徑垂直”，為解決問題做好知識準(zhǔn)備。

設(shè)計1： 如圖，延長例題 1 中的 BA 交⊙o2 于E，延長 CA 交⊙o1于D，連 BD、CE.求證 BD2=DA·DC.

分析： 本題實際上是例題 1的延伸.這道題的設(shè)計源于課本又高于課本，有助于考查學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。本題的結(jié)論可啟發(fā)學(xué)生利用例題結(jié)論結(jié)合切線的性質(zhì)通過相似三角形求證。

設(shè)計2： 如圖，在上題基礎(chǔ)上，過點D作⊙o2 的切線 DF，切點為F，求證： DB=DF.

分析： 對于這一問學(xué)生可能不易找到正確的解題途徑，但通過分析，利用第一問結(jié)論再結(jié)合切割線定理便可得到證法。

并由此歸納： 證明兩條線段相等除運用全等三角形、等腰三角形的有關(guān)知識外，還可以運用比例線段的知識進(jìn)行分析求證。從不變中求變化，從變化中求規(guī)律，可以培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力。

六、開發(fā)例題的題設(shè)和結(jié)論 ? 發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性

教材中的許多例題都有一定的代表性，教師上課時常以它為載體，對例題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行變式和改編，這對提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，鍛煉他們思維的靈活性是大有裨益。

例：如圖，△ABD和△AEC均為等邊三角形，B、A、C三點在同一直線上，連接BE、CD.求證：BE=CD.

方法1：改變例題的題設(shè)： 只將“B、A、C三點在同一直線上”改為“△ABD和△AEC分別繞點A旋轉(zhuǎn)”，其余部分不改。

方法2：改變例題的題設(shè)： 只將“等邊三角形”改成“等腰直角三角形”，繼而改成是“等腰三角形”，“正方形”，“任意正多邊形”，其余部分不改。

方法3：改變例題的結(jié)論： 只將“求證：BE=CD”改成“求出∠BHD的度數(shù)，其余部分不改。

蘇霍姆林斯基說過：“如果你追求的只是那種表面的，顯而易見的刺激，以引起學(xué)生對 學(xué)習(xí)和上課的興趣，那你就永遠(yuǎn)不能培養(yǎng)起學(xué)生對腦力勞動的真正熱愛”。研究表明，大量 的題型復(fù)制、繁難的習(xí)題求解演示和解題術(shù)的記憶與重復(fù)等活動并不能讓學(xué)生有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)。教師對數(shù)學(xué)課本例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”大大提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。

【參考文獻(xiàn)】

[1]俞紅珍.教材的“二次開發(fā)”.

[2]馮劍.淺談基本圖形的運用與變式.