小學數學結構化學習：整體意義關聯的教學理解與設計

孫謙 吳玉國

摘要：小學數學結構化學習是兒童基于熟悉的、整體的、關聯的經驗知識而展開的學理分析、學情調研、學材開發、學程設計與學評調控，目的在于系統地提升小學數學教師結構化學習的教學指導水平，發展小學數學教師組織與創造教學活動的專業化素養。小學數學結構化學習應關注內容、核心任務、學習活動、目標評價的結構化，立足實踐、指導深度學習，通過教師與兒童意義融合性創造學習的資源開發，實現兒童數學的“連續—關聯—循環”的互動活動。

關鍵詞：小學數學;結構化學習;思維發展

中圖分類號：G633.2 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）09A-0053-06

現實中的小學數學學習，普遍存在著內容排列缺乏整體性、過程設計缺乏深度關聯、目標評價缺乏綜合性的現象。究其原因，主要是作為“教”的主體——教師，對教學教育文化的連接性、教學實踐的內在關聯以及學生學習心智的過程轉換等存在理解缺失。具體表現在以下五個方面：一是對數學知識缺乏學習原理的分析與理解，套用書本講解;二是對學生認知缺乏學情調查和研究分析，淺表籠統地推測學情現狀;三是對學習資源缺乏師生教學共同開發的認識與實踐，簡單機械地拼合學習材料;四是對學習活動缺乏思維結構層級發展的框架與措施，單向一元地組織學習過程;五是對學習目標缺乏創新發展潛在能力的理解與設定，盲目封閉地采用識記評價。小學數學結構化學習，立足學理分析、學情調研、學材開發、學程設計與學評調控的“五學”框架，目的在于系統地提升小學數學教師結構化學習的教學指導水平，發展小學數學教師組織與創造教學活動的專業化素養。讓學生通過“連續—關聯—循環”的三個結構化學習環節，逐步提升個體數學觀察、理解與應用的基礎素養。

結構是系統的屬性，是元素及關系的整體關聯，是具有能動性功能的完整體系。皮亞杰指出，結構就是由具有整體性的若干轉換規律組成的一個有自身調整性質的圖式體系[1]。結構化即系統化，可以理解為作用于主體并促進對事物的元素及關系整體關聯而形成自主認知建構的過程。正如美國認知心理學家布魯納所說：“學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的。”[2] 結構化學習，就是學生在學習中能將點、線、面狀的知識展開后，用整體關聯的方式融通、融合起來，深刻理解，創造模型，從而達到解決復雜情境下新數學問題的目的。具體可以從以下三個方面闡述：

一、小學數學結構化學習，關注四個層面，培養關鍵能力

學習過程就是學習主體的原有認知結構與從環境中接受的感覺信息相互作用，是主動構建信息意義的生成過程[3]。小學數學結構化學習是基于小學數學學科的整體系統性、結構關聯性的本質特征，引導兒童自然而有意義地開展數學學習——即從結構化數學知識本身出發，通過結構化學習活動，培育學生數學學科核心素養。從現實的數學學習來看，主要包括四個層面的結構化：一是學習內容的結構化。包括基于教材三個層次的梳理與理解——課時知識點元素關聯形成的數學知識概念結構、概念關聯組成的數學知識單元結構以及單元發展的數學知識大概念結構。對小學數學知識進行整體性的梳理與理解，是小學數學教師理解數學專業化的基礎要求。二是核心任務的結構化。包括結構化學習過程中與目標要求的認識、理解、應用與學科素養發展中的必備品格、關鍵能力、情意態度的階段發展相匹配的層級任務結構化。三是學習活動的結構化。包括知識與認知連續性對接、互動探究關聯性展開以及變化情境循環式應用，逐步形成教師主體、師生雙主體、學生主體建構的活動結構化。四是目標評價的結構化。情境問題中發現元素、整體關聯中理解建構、應用創新中結構遷移，都可以通過表現性觀察記錄乃至數據化實證分析，達到對兒童數學學習的“抽象、推理、模型”的關鍵能力發展水平進行結構化評價的目的。

二、小學數學結構化學習，立足實踐，指導深度學習

小學數學結構化學習，是兒童在已有數學知識經驗的基礎上，借助數學教師對數學學習內容整體理解與適切的課程開發，經歷個性化的連續、關聯、循環的認知轉化[4]，指向具有知識經驗的結構內容、思維方式的結構過程、思想方法的結構目標，促進個體思維結構發展，影響并引領學生的未來發展。教師能夠理解知識整體單元的變化發展，明晰知識載體之上的學科育人價值，學會基于了解和分析兒童學習經驗與心理，整理與整合教材資源，創新與創造學習活動，設計學習過程。從“真實”情境中來，到“真實”問題中去，以較完整的內容呈現、多變化的問題表達向兒童傳遞“貼近”的數學信息，并滲透相應的數學方法與思想，凸顯數學知識元素的聯系，培養兒童科學地認識和理解概念的能力，發展數學的基本思想與方法，不斷形成對數學的整體認知結構。從這個角度來看，小學數學結構化學習，就是從建構數學基本思想與方法的角度，對數學知識進行合理統整。打破孤立的“一節課”局限，將學程的起點定在“一類、一組、一系列課”的組織與設計，包括學什么、為什么學、怎么學、為什么這么學、還可怎么學以及學到什么程度。目的在于促進兒童良好的思維方式與習慣的形成，幫助其從意義的角度理解知識的發生、發展，凸顯元素整體關聯與系統結構發展，“本著整體性和結構性教學思想，尋找相關知識、方法和思想的連接點，統整相關教學資源，達到幫助學生整體建構知識的目的”[5]。

在小學數學結構化學習中，國家課程成為教師引導兒童意義成長的一面鏡子（如圖1）。意思是小學數學學習要基于教材，并在梳理教材的基礎上理解其安排的內容結構與目標要求，從中感悟兒童數學學習的認知規律與方法結構，厘清兒童的數學學習原理。教師要從兒童數學生活的角度去理解這一點——數學其實就是兒童熟悉的、整體的、關聯的知識經驗，真正搞懂知識的來龍去脈與學習的過程、結構，同時重視兒童學習情況的調查與研究，確立兒童學習的主體地位，厘定數學學習的目標結構，將內容結構、方法結構、情意結構融入目標結構之中。教師與教材編寫者、兒童一起感同身受，融入學習中，研究開發學習需要的好玩材料、學習有趣的情境過程以及學習后進行反思聯想，真正通過學習促進兒童元認知水平的發展。結構化學習，“致力于尋找知識之間的連接點，將碎片化的知識連成線、織成網、筑成塊、構成體，讓學生整體感悟學習內容、學習進程，幫助學生建構整體的結構思維，建構學生的思維體系和認知結構”[6]，有效地促進了兒童基于小學數學學科的核心價值、必備品格與關鍵能力的意義學習。同時，學習過程伴隨著具有靈性意義的連續與關聯、轉換與遷移、創新與創造，促進了兒童情感、意志與思維的和諧發展，兒童學習的知識，也就會成為兒童成長的精神種子。這種充滿了生命靈動的學習過程，可以從以下三個方面循序漸進地進行：

1.基于課程與課標對接的理解，開展學理分析與學情調查。“就知識的整體性把握而言，我們不因停留于所說的邏輯關系，而應努力幫助學生建立起相應的概念網絡（或者說，認知結構），‘邏輯結構與‘認知結構的一個重要區別是：前者主要表現為線性的、單向的關系，后者則是雙向的（多向性）、網狀的。[7]”“小學數學結構化學習著眼于數學整體知識結構的建構，通過對課時內容與本單元、本領域、相關領域和學科外內容的關聯性結構分析，將課時內容置于數學整體知識結構中去建構，使課時內容具有連續性、關聯性和生長性……”[8]具體來說，當我們運用學科教材教學具體課時內容時，要將這一點知識“嵌入”到“單元”視野之中，從關聯的例題、單元、領域的目錄梳理中分析理解概念、單元、大概念的橫向和縱向的知識結構網，抓住基于數學本質的核心問題。同時也要明晰直觀操作、抽象推理與模型應用的認知結構融合式“螺旋上升”的層級結構，從而透徹辨析知識內在組織形態的優劣，并能從構建知識、教師、兒童學習共同體出發，立足兒童基礎知識與基本能力，科學了解兒童與之相關的生活學習經驗，調查了解兒童是否知、知多少與怎么知的整體經驗，考量兒童現實認知的整體水平與存在的具體差異。在此基礎上，將知識的單元結構與學生的整體經驗結合起來，進一步找到作為“發明者—編寫者—教育者—學習者”知識學習的核心任務，設計主題活動、凸顯潛在能力發展，真正理解知識結構與認知結構的關聯，刻畫立足知識結構與兒童認知結構，以及怎么學習的路徑圖。在這個過程中，課程經過標準對照與問題引領，向任務轉換，任務就具有了目標綜合性、主體多元性以及過程活動性，體現出基于發明者、編寫者、教育者與學習者的整體意義關聯后的“合一”。同時，這樣的研究活動還可以促使教師努力提高理解課程意圖的自覺性與專業水平，正確把握課程與標準的聯系，提升縱向貫通與橫向融合的教學理解力與創造力，達到從整體意義關聯的角度理解和把握學科教材的目的。

2.基于核心問題與核心任務的把握，開展學材開發與學程設計。在學理分析與學情調查的基礎上，著力將教材改變為學材，即通過數學教師的專業化知識，理解知識結構與兒童認知結構，設計連接兒童認知經驗的“真實”情境，激發學習者發現數學問題，找到關聯的數學元素，從而幫助教師理解知識的結構、邏輯、意義。在這里需要強調的是，這種知識結構是適合兒童學習的，體現了知識的學科價值。在“真實”情境中，教師引導兒童展開學習共同體合作探究，積極使用多元表征方式，進入實際意義的關聯建構，發展抽象、推理、模型等綜合能力。經歷這樣的結構化學習活動，學生的發展不再單一。它伴隨個體知識的生長，知識結構的建構，在模型應用創新中深化認知結構，在修正、反思、想象中提高元認知水平;它伴隨著個體心智的發展，主體內涵的發展，在自然融通的學習中主動發現問題，在對話、操作、合作中促進心智發展，學有所獲，實現學習的價值追求，提升個體的綜合素養。從課堂學習的層面上看，結構化學習的具體體現是“連續—關聯—循環”課堂學習模型（如圖2）。在這樣的結構化學習中，呈現了核心知識元素的“直觀”過程，凸顯了多元表征形式的“概括”過程，突出了項目綜合應用的“回問”過程[9]。通過教師對思維發展“直觀經驗—程序探討—抽象表達—形式演繹”的科學理解，支持兒童運用“問題發現—元素關聯—整體建構—反思創新”的方式開展學習，經過教師“連續—關聯—循環”的教學，支撐起學生“疑惑—收獲—追求”的學習過程，學習自然而有意義地發生。結構化學習基于整體意義關聯，促進思維發展，創生了“3×3”備課模式，即連續、關聯、循環與情境、活動、評價的結構化活動組織，在結構化學習的每一個環節匹配發展必備品格、關鍵能力與學科情意的核心素養（如表1）。

“在數學教育中，主體只有在用數學組織生活的同時建構數學，才能反映出數學真正的生活本質，也才能反映出數學發展中人的主體性……”[10]在學習的“連續”環節中，創設的情境要與兒童知識經驗和已有的現實生活發生實質性聯系。在真實、連貫、直觀的活動中，引導認知沖突，引發學習心向，喚醒兒童主動進入體會知識的意義過程，發現新舊知識之間的聯系，自主萌發探索新知識的愿望。在學習的“關聯”環節中，提出探究新知識的各個元素及其聯系的大問題。大問題驅動兒童的操作、分析、歸納、概括、抽象、建模等程序活動，多元表征參與思維建構，在指導者（主要是教師）的幫助下，經歷存疑、析疑、解疑與反思的全過程，多種感官協調運行，逐步完成知識與素養的自主協調建構。在學習的“循環”環節上，創設運用知識解決問題的新情境。新情境具有豐富的文化性和變化的延展性，推進兒童對概念模型的深化理解與問題解決的計劃、實施與反思，從知識層面發現元素、概念、單元之間的關聯結構，從能力層面提高在多變情境中的應用知識解決問題的水平，促進思維的靈活性、開放性、創新性發展，最終達到學科綜合素養提升的目標。

3.基于思維結構與心智轉換，建構發展性評價體系。小學數學結構化學習目標評價是多層面，全方位的，整體目標、階段目標與課時目標評價分步遞進進行。結構化評價指向素養的動態與靜態相結合、過程與結果相結合、顯性與隱性相結合，對教師、學生、教材的觀察記錄、圖示理解、數據分析進行綜合的實證評價，力求對教師的專業化教學水平起調節、修正作用，促進學生心智素養結構的生態發展與階段達成。評價將應用性放在核心位置，貫穿數學學習的始終，重視兒童理解應用與綜合應用，促進知識結構發展與兒童心智結構發展之間的轉換，在經歷直觀、抽取表象、邏輯抽象與反思想象中，結構化地認識、理解、應用，理性地進行數據分析與模型轉換，科學而又有創造性地解決新環境中的新問題。在結構化學習中，評價應側重思維的遷移運用和元認知反思。在結構化學習的課末，都會讓學生反思學習了什么、怎么學習的、還想到什么問題，因為“結構化反思要求學習者通過回顧和反思自己的真實體驗，用一種全新方式去分析和理解同一內容。關注并重視它們對概念理解、問題解決及經驗建構等過程的影響。而反思之所以是結構化的，是因為它需要由一些即時特定的提示、循序漸進的問題、巧妙合適的情境、有組織的討論及其他相關活動來引導，以促進學習者深層次、系統化地思考某一問題。”[11]回顧與反思讓學生打破思維的“天花板”，生長出合理的新問題，引導創造新課程，并在數學之“變”中發現不變的規律，感受數學結構化之美。

三、小學數學結構化學習，豐富思維活動，建構發展圖式

小學數學結構化學習就是基于系統論、信息論和控制論支撐，從結構化視角理解和實踐的學習方式，即通過對數學知識結構（內含方法結構和思想結構）的解構、建構，與學生原有認知經驗基礎進行意義連續、同化順應、系統關聯、遷移應用和循環融通，不斷完善學生認知結構（內含知識結構、思維結構和情意結構等），提升學生結構化的數學眼光、思維方式和多元表征能力，從而培育學生數學學科核心素養，實現立德樹人的育人目標。

1.直觀經驗意義連續。教師在對小學數學知識整體單元體系的縱橫梳理基礎上，對知識結構的教材形態、科學形態與學習形態不斷還原，發現數學本質，找到核心元素，明晰動態結構，深刻認識教學內容和目標，全面把握學生學情和特點，貼近課本理解課標，基于生活創設情境，優化課堂學習內容，使得兒童所要面對的學習內容和個體已有的認知經驗水平自然對接，與學習的真實意義起點連續起來。

2.實際意義系統關聯。教師在知識縱橫體系梳理中明晰其內部邏輯意義，體悟其知識教學場域，明確知識單元整體性的學科教育價值，尤其要掌握數學思想與方法的總體目標、階段目標與課時目標的聯系等。學生在師生共同創造的支撐性認知場域中，運用創造性工具，突破數學學習的認知困難，在合作探究中自然地觀察、理解與表達，學會多元表征，促進學生經驗碰撞、內化與積累，建構具有個人特色的數學模型。這樣，學生學習認知在學科教育活動中才真正進入了具有實際意義的關聯學習。

3.心智發展遷移循環。結構化學習的實踐應用、遷移循環，能夠促進學生認知心理的發生與發展。通過新知識結構的理解與意義建構，形成學生知識的個體性內化結構。學生運用新知識模型回到新的問題情境中，激勵自我主動進行問題解決與反思，完善建立自我的認知圖式，提高元認知水平，從而促進心智開放與發展，提升面向未來的關鍵能力。

正如布魯納說：“一門學科的課程應該決定于對能達到的，給那門學科以結構的根本原理的最基本的理解。”[12]“五學”框架對小學數學結構化學習的可操作的層面，進行了整體系統的規劃與指導，有利于小學數學教師開展結構化課堂教學實踐，也讓兒童能從數學結構的角度深刻認識到數學知識整體內在的關聯，生動體會到數學結構的過程、模型與廣泛應用，自然而然地進入單元整體的深度學習，實現發展學科核心素養的目標。

參考文獻：

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責任編輯：趙赟