例談小學生推理能力的培養

韋仕強 李織蘭 梁今琪

【摘要】本文以教學人教版數學四年級下冊“三角形三邊關系”為例，論述在小學數學教學中培養學生推理能力的途徑，認為教師應準確理解教材編寫意圖，利用“直言三段論”推理規則引導學生推出“三角形兩邊之和大于第三邊”，利用“完全歸納”推理規則強調“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，依據“假言拒取”推理規則和“反證法”理性地判斷三條線段能否擺成三角形，向學生滲透理性思維。

【關鍵詞】小學數學 三角形 理性精神 推理能力

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）29-0121-03

多數教師在教學人教版數學四年級下冊“三角形任意兩邊之和大于第三邊”時，直接引導學生通過實驗歸納出結論，沒有將這部分內容的學習與學生前面所學的“兩點間所有連線中線段最短”聯系起來。這是教師沒有理解教材編寫意圖以及知識點之間的邏輯關系的體現。《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：要讓學生在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。基于此，我們在教學中以“兩點間所有連線中線段最短”為前提，利用“直言三段論”推理規則推出“三角形兩邊之和大于第三邊”，然后利用“完全歸納”推理規則強調“任意兩邊之和大于第三邊”，依據“假言拒取”推理規則和“反證法”理性地判斷三條線段能否擺成三角形，培養學生的推理能力，發展學生的理性思維，啟蒙學生的理性精神。這樣教學取得了較好的效果，筆者現將教學片段分享如下。

一、實驗導入，提出問題

師：同學們回憶一下，什么是三角形？

生：由三條線段圍成的圖形叫作三角形。

（教師運用課件演示并強調：每相鄰兩條線段的端點相連）

師：如果給你3條線段（用小棒代替），你能圍一個三角形嗎？誰來試一試？

（生1上臺嘗試）

師：他圍成了嗎？

生（齊聲）：圍成了。

師：請你說一說圍三角形的時候要注意什么。

生1（示范用小棒圍三角形的過程）：一根連著一根，要做到首尾相連。

師（展示課本內容，如圖1）：用剪出的4組紙條擺三角形，有些能擺成，有些不能擺成，說明三角形三邊之間一定有一些奧秘。今天我們就來探究三角形三邊之間的關系。

設計意圖：細節決定成敗，規范的操作才有助于學生自主發現問題。教師讓學生展示圍三角形的要點、細節，有助于學生養成嚴謹的學習習慣，為接下來的探究活動做好示范。

二、歸納猜想，發現規律

學生同桌兩人組成學習小組拿出課前剪好的紙條擺一擺，計算后填寫下表：

表1

教師設問：“比較表格中的內容，我們能發現什么規律？”接著引導學生歸納總結得出：“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，有某兩邊之和不大于第三邊的圖形就不是三角形。”同時向學生強調“任意”。

師：我們可以多畫幾個三角形，看看是不是所有的三角形都有“任意兩邊之和大于第三邊”的特征。（板書：所有三角形任意兩邊之和大于第三邊？）

師（展示學生畫好的兩個銳角三角形，提問）：這兩個三角形是同類三角形嗎？三角形按角的大小怎樣分類？有誰畫的三角形和他們兩人畫的不一樣？

生1：我畫的是直角三角形，他畫的是銳角三角形。

生2：我畫的是鈍角三角形。

師：同學們畫出了銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形，真厲害。

（學生畫好后測量，然后填寫表格，根據表格總結規律）

表2 比較三角形三邊長度的關系

設計意圖：學生經歷動手操作的過程，在實驗中發現并提出問題，既培養學生的合情推理能力，又喚起學生強烈的用理性的方法探究“三角形三邊之間的關系”的欲望。

三、演繹推理，邏輯論證

師：我們能肯定“三角形任意兩邊之和大于第三邊”對所有的三角形都一定成立了嗎？我們是否可以把原來寫的問號擦掉了？

（學生爭論，有的說可以，有的說不可以）

生1：不可以！驗證的三角形越多，結論就更可靠，但不是一定可靠。

生2：不可以！三角形有無窮多個，不能一個一個地驗證它們三邊的關系，沒驗證完就不能肯定。

師：觀察歸納和實驗歸納是發現規律的好方法，但是它不能確定發現的結論一定是對的。要得出一個可靠的結論，還必須經過嚴格的推理論證，也就是我們常說的“說理”。

師：看看我們平時在生活中是如何說理的。

例1：因為所有的金屬都能導電，銅是金屬，所以銅能導電。

例2：所有的小學生都不用交學費，小明是小學生，所以小明不用交學費。

師：上節課我們學習過“A與C兩點之間所有連線中線段AC最短”，換句話說，A與C兩點之間所有連線都比線段AC長。

師：觀察三角形ABC，邊AB和BC構成了A與C兩點之間的一條連線，比較一下，AB+BC與線段AC的長短，并類比剛才的“說理”方法講一講道理。

生1：我看出來了，AB+BC>AC。這是因為A與C兩點之間所有連線都比線段AC長，AB和BC兩條邊構成了A與C兩點之間的一條連線，所以連線AB+BC的長大于線段AC的長，即a+c>b。

設計意圖：依據兩點間所有連線中線段最短這個前提，用三段論的推理規則推出三角形兩邊之和大于第三邊，滲透演繹推理的數學思想。

師：請同學們分組討論，在一個三角形中任意取兩條邊，有多少種情況？

生：①AB，BC;②BC，AC;③AB，AC。

師：請同學們判斷“BC+AC>AB”“AB+AC>BC”是否是正確的？說明理由。

（學生表述，教師評價）

師：我們對任意的三角形完全枚舉了所有的“兩邊”的三種情況，“兩邊之和都大于第三邊”，現在我們可以肯定地說，所有的三角形任意兩邊之和大于第三邊。

設計意圖：師生運用完全歸納的推理規則強調三角形任意兩邊之和大于第三邊。

四、正難則反，理性判斷

師：我們來看看剛才4組線段能否圍成三角形的結果，有些能圍成，有些不能圍成。這是我們做實驗得到的，大家也能說說其中的道理嗎？

表3

生1：第一組三條線段6、7、8可以圍成三角形。（展示圍三角形的過程和圍成的三角形）能圍成的理由很明顯，因為我圍成了一個三角形，大家也看到了。

生2：第三組三條線段3、6、10不能圍成三角形。

師：不能圍成？怎么讓我相信你的結論呢？

生2：老師，我們試過了，就是不行。

師：哦！看來我們班的同學都不能把這組的線段圍三角形，那么我們是不是就可以肯定地說，這三條線段一定不能圍成三角形？

生（齊聲）：可以這么說。

師：確定嗎？

生（齊聲）：確定。

師：你們圍不成，萬一別人，比如說數學高手能圍成呢？

（學生面面相覷）

師：如果三條線段能擺成三角形，它們就是三角形的三條邊;如果它們是三角形的三條邊，則任意兩邊之和要大于第三邊。反過來，如果發現有兩條線段之和不大于第三條線段，那么它們一定不是三角形的三邊，因此不能圍成三角形。因為3加6不大于10，所以三條線段3、6、10不能圍成三角形，即使是世界上最厲害的數學家也不能做到。

設計意圖：教師向學生滲透“反證法”思維，理性地判斷三條線段能否圍成三角形，讓學生感悟到理性的力量。

“三角形三邊之間的關系”這節課是在學生初步掌握了三角形的特性之后對三角形邊的關系的研究，是在學生已經掌握“兩點間所有連線中線段最短”的基礎上進行教學的。本節課以實驗導入，引導學生“由做到思”，采用“發現規律—檢驗驗證—說理論證”的路徑進行教學，通過“觀察歸納”和“實驗歸納”發現“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一數學結論;再讓學生任意畫不同類型的三角形檢驗結論，使學生更相信結論;最后以“兩點間所有連線中線段最短”為起點，推出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，確保結論的正確性。學生經歷了探索規律的全過程，發展了推理能力，啟蒙了理性精神。判斷三條線段能否圍成三角形是本節課的重要內容，“正難則反”滲透“反證法”，學生理性地判斷三條線段能否圍成三角形，感悟到理性的力量。

注：本文系桂林師范高等專科學校第一批“課程思政”教育教學改革示范課程“高等數學與小學數學理論基礎”（JG201910）的研究成果。

作者簡介：韋仕強（1971— ），壯族，廣西賀州人，教育碩士，高級教師，研究方向為數學教學研究和行政管理;李織蘭（1967— ），女，廣西百色人，副研究館員，研究方向為教育管理、數學教學、圖書館學;梁今琪（1995— ），女，廣西鳳山人，南寧師范大學在讀生。

（責編 劉小瑗）