代數與幾何的統一結合

馮虎 柳迪 殷航　劉曉帥　秦成遠

摘 要：數學的歷史和文化博大精深，源遠流長。在數學發展的近千年歷史中，世界數學先后經歷了古代數學時期、初等數學時期、高等數學數學時期以及現代數學時期。數學不是哪一個國家、哪一個時期的發明創造，而是全世界幾千年的智慧結晶。如果將整個數學體系比作汪洋大海，我們如今所學的數學知識僅有一勺水之多。回顧數學的發展歷程，我們可以感知到螺旋式發展的數學，數學殿堂能如此輝煌，其充滿了巧合，也充滿了曲折。

關鍵詞：數學文化;數學歷史;數學教學

數學史和數學文化的發展主要由四個時期組成。其中包括古代數學時期（數學萌芽時期）、初等數學時期（常量數學時期）、高等數學時期（變量數學時期）以及現代數學時期。在數學體系這四個時期的發展中，涌現了很多的數學家、哲學家甚至是藝術家。

首先我將按照歷史的發展順序，從古代數學時期介紹數學史和數學文化的發展過程。何為古代數學時期？這一時期大概從人類文明的起源到公元前六世紀。古代數學時期主要以非洲尼羅河流域的古埃及文明和亞洲的美索不達米亞平原的古巴比倫文明為載體。通過對古巴比倫遺跡的發掘，人們發現了一種寫于泥板書上的文字——楔形文字。通過對這些文字的研究，人們驚奇的發現古巴比倫人竟然使用了60進制計數法，這是有關數學運算最早的記錄了。后來研究人員偶然間發現了藏于莫斯科國立藝術館的古埃及紙莎草書，該書通過象形文字記錄了古埃及人驗算幾何的過程，古埃及人甚至得出了圓周率約為3.1605，這是數學發展的一次偉大壯舉。

經過文明交流和不斷發展，以古希臘文明為代表的初等數學時期將數學的發展推向了新的高潮。這一時期，古希臘數學家引入了常量的概念。古希臘以其哲學文明于世界，因此其數學家多是哲學家。這些先賢們將哲學與數學結合起來，通過哲學推理數學，數學解釋哲學。當然，在這一時期，涌現了很多位有文字記載的哲學和數學大咖，這些大咖們可以說的是同根同源，也是因為如此，古希臘數學得到了一脈相承的發展。說起古希臘哲學家，我們不得不提被譽為“科學與哲學之祖”、“古希臘七賢”之一的泰勒斯，他最早引入了命題證明思想。泰勒斯也以其望星空思索而不慎墜坑的軼事被后人所津津樂道。

畢達哥拉斯師承泰勒斯，被譽為“智慧之神”、“音樂之祖”。其最大成就是成立了畢達哥拉斯學派，該學派影響了古希臘哲學和數學數百年的發展歷程。畢達哥拉斯定律想必大家一定不會陌生，其于中國的勾股定理遙相呼應。畢達哥拉斯學派信仰“萬物皆數”，他們世界由整數構成，并專攻于整數、三角形、矩形和完全數的研究。這一局限性，也導致后來的希帕蘇斯在發現無理數后，被學派長老以詆毀信仰為由投入大海的悲情故事。然而，希帕蘇斯雖死，其思想卻動搖了畢達哥拉斯學派的信仰，導致了第一次數學危機。由于當時不能合理解釋代數和幾何中無理數存在的問題，代數和幾何分道揚鑣獨自發展。

代數與幾何分離后，畢達哥拉斯學派也就此分為兩個派系。一個派系專攻于代數學，另一個派系則專攻于幾何學。畢達哥拉斯學派桃李滿希臘，柏拉圖作為著名的哲學家也為數學的發展揮灑了智慧，柏拉圖學成歸來，自成一派，稱之為“學園派”，他是第一位把嚴密推理法則加以系統化的人，其開創了演繹法研究。亞里士多德作為柏拉圖得意門生，師承學園派探究哲學與真理的思想，提出了邏輯學，其矛盾律和排中律待定了辯證思想的基石。找到了正確的方法，后來的數學家就可以站在了巨人的肩膀上，探索更高更深的成就。“幾何之父”歐幾里得的《幾何原本》、“數學之神”阿基米德、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線輪》，這三駕馬車一起將古希臘的幾何學，甚至是世界幾何學送上了頂峰。自此，與代數相分離的幾何近乎到達了頂峰。“代數之父”丟番圖的《算術》和托勒密的《大匯編》，也使得古希臘的代數學熠熠生輝。在同時期的古中國，以劉徽、祖沖之、張衡為代表的的數學家，《九章算術》、《周髀算經》和《孫子算法》數學著作也使得數學在中國蓬勃發展。

隨著歐洲進入黑暗的中世紀，西方數學仿佛停止了脈搏。公元前六世紀到公元十五之間近兩千年時間里，西方數學隨著古希臘的興盛而到達頂峰，隨著古希臘的衰敗而迅速墮落。中世紀的西方，數學近乎沒有發展。到了公元十五時，以達·芬奇等為代表的文藝復興由意大利席卷歐洲，撼動了神權至上的觀念，人們逐漸歸于對自然科學的思考。弗朗西斯·培根提出了新哲學，以啟迪人們的思想。在新思潮的引領下，數學進入高等數學時期，其也被稱為“變量數學時期”。“解析幾何之父”笛卡爾最先提出了《解析幾何》，有著“業余數學家之王”和“近代數論之父”之稱的費馬先后提出了《概率論》、《數論》。分離兩千多年的代數和幾何又重新走到了一起，這一創舉推動了數學飛速發展。帕斯卡發明了第一臺機械計算器，自此機械和數學產生了千絲萬縷的聯系。通過對費馬著作的研究，帕斯卡提出了“帕斯卡三角形”、完善了《概率論》。通過惠更斯、德薩格、沃利斯以及巴羅等數學家的積淀，已經奠定了高等數學時期輝煌的基礎。

隨著“最多產數學家”歐拉、拉格朗日、拉普拉斯師徒三人的橫空出世，高等數學時期到達了頂峰。數學可以解釋幾乎但當時一切的問題，如物理學、哲學、天體學以及化學等。“第二多產數學家”柯西提出了《柯西不等式》、《復變函數》，奠定了電磁學發展的基礎。高處不勝寒，出道即巔峰。“群之父”伽羅瓦，“最后一個數學全才”龐加萊開拓了數學的邊界。數學空前繁榮，再無一人可以改變整個數學體系，也很難在數學的每個分支有所建樹。“數學王子”高斯創立了哥廷根學派，提出了“非歐幾何”的思想，通往數學殿堂之路，從此高不可攀。

然而，已近乎完美的數學體系在十八世紀的元年出現了危機！在第二次數學家大會上，德國數學家希爾博特提出了二十三個數學問題，這二十三個問題顛覆了數學家們的認知，其“希爾伯特空間”問題是現有數學難以解決的。第二次數學危機就此出現，難道數學將就此止步不前嗎？

答案是否定的，歷史的車輪滾滾，現代數學時期的數學家們已經在微觀數學、宏觀數學和宇觀數學中有了長足發展。量子力學、非歐幾何、相對論，這些不都是數學桂冠上閃耀的寶石嗎？

作者簡介：

馮虎（1998-），男，民族：漢，籍貫：陜西省漢中市，學歷：本科研究方向：機械電子工程。