數學思想方法解決NOIP試題的探究

鐘文耀

【摘要】? NOIP是一項全國性的信息學競賽，其試題主要包含計算機編程和算法，運用數學思想方法可以幫助解答NOIP試題，其中數形結合是最重要的數學思想方法之一，運用數形結合分析和解決NOIP試題，可以為教學提供參考和借鑒。

【關鍵詞】? 數學思想方法 NOIP 數形結合

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）25-139-02

一、研究背景

全國青少年信息學奧林匹克聯賽（National Olympiad in Informatics in Provinces簡稱NOIP）吸引了全國眾多中學生參與，NOIP分為普及組和提高組，普及組面向初中學生，提高組面向高中學生。二十多年，NOIP促進了計算機知識的普及和發展，為高校輸送了許多有計算機特長的優秀學生，為社會培養了一批優秀的計算機人才。

近年來，學科知識競賽逐漸被取消或被淡化，但學科知識競賽對選拔優秀人才，促進學生綜合素質的發展有特殊的作用。信息學競賽是五大學科競賽之一，相比其它學科的奧林匹克的競賽，信息學競賽參與的人數比較少，影響范圍比較窄。NOIP的試題難度大、要求高，初學者往往對試題束手無策，這是因為解題需要選手掌握系統的計算機科學知識，擁有快速編程解題的綜合能力，這對許多信息技術教師而言也是一項艱難的挑戰。從NOIP試題分析入手，深挖解題方法，提高教學效率，對普及計算機科學有重要的意義和作用。

二、研究依據

NOIP考察選手掌握計算機科學的基礎知識及編寫程序解決問題的能力，其題目經常涉及一些數學知識，如奇數、偶數、素數、因子、最大公因數等，解題需要運用數學思想方法。NOIP試題以編寫程序為主，程序設計的過程包括分析問題、建立數學模型、設計算法、編寫程序、調試程序等五個步驟，其中建立數學模型就是重要的數學思想方法之一。建立數學模型的實質是對具體的問題進行抽象、近似和簡化，使之表示成一些可以求解的數學公式，建立數學模型，才能確定算法，然后才能編寫程序。

“數學思想方法”有俠義和廣義之分，俠義的理解認為“數學思想方法研究的對象是數學本身的論證、運算以及應用的思想、方法和手段”，廣義的理解認為“除了上述內容外，數學思想方法研究的對象還包括數學的對象、性質、特征、作用及其產生發展的規律”。中學數學包含著較多的數學思想方法，其中函數和方程、數形結合、配方法、圖像法等，其中數形結合是最重要的數學思想方法之一。數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，將抽象的數量與直觀的圖形相互轉化，使復雜的問題具體化、形象化、簡單化。

三、數形結合的運用

在數形結合的思想方法中，數包括數值、方程、函數、代數式和不等式，形包括圖形、圖表和圖象。通過畫數軸，或者建立平面直角坐標系建立數與形的對應關系，這是最常見的數形結合的運用。

1.單循環程序結構

循環結構的執行過程，可借助數軸來表示循環初值、終值和步長，例如for i=1 to 5 step 1（變量i從1到5的遞增，每一步增加1）可以用圖1的數軸表示。

2.簡單雙循環程序結構

在兩重循環中，建立平面直角坐標系，將兩個變量分別表示橫坐標和縱坐標上的值，并描出對應的點，按數值變化過程連線和用箭頭標明順序，例如for i=1 to 4 for j=1 to 3（變量i從1到4遞增，每一步增加1，同時變量j隨i遞增，j從1到3的遞增，每一步增加1）可以用圖2的坐標系表示。

3.復雜雙循環程序結構

循環變量的初值或終值需要根據上一層循環變量的值來確定，例如for i=1 to 4 for j=i to 4（變量i從1到4，同時變量j從i到4）用圖3的坐標系表示。

用數軸和直角坐標的圖形來表示程序執行循環的過程，讓抽象的程序變得直觀和具體，可以加深了對程序執行過程的理解，對問題的解決提供了工具。

4、最短路徑問題

數形結合的思想方法，不僅可以用在程序的循環分析中，也可以用在求最短路徑的算法分析上。標號法是一種形象直觀的求最短路徑的算法，用數軸上的點表示圖的頂點，用數值表示邊的權值。

例1（NOIP2008普及組初賽）有6個城市，任何兩個城市之間都有一條道路連接，6個城市兩兩之間的距離如下表所示，則城市1到城市6的最短距離為

分析：求最短路徑的方法有很多，而標號法是一種非常直觀的算法。在初中數學中，我們經常用數軸上的點來表示位置，用兩點之間的距離是數軸上數值的差。這就是用到了數形結合的數學思想方法。同樣我們也可以用一個數軸來表示城市，為了方便表示用C1、C2、C3、C4、C5、C6分別表示這6個城市，解題的過程如下：

（1）以城市1為0點，展開與其相鄰的點，并在數軸中標出。

（2）因為C4離起點C1最近，再確定C4點為當前展開點，展開與C4想連的C2'、C3'、C5'和C6。

（3）由數軸可見，C3與C3'點相比，C3離原點近，因而保留C3，刪除C3'，相應的，C2、C2'點保留C2點，C5、C5'保留C5，C6、C6'保留C6'，得到下圖：

（4）此時再以離原點最近的未展開的C2，處理后，以此類推展開C3、C5，處理后得到最后結果：

由圖可以得出結論：C4、C2、C3、C5、C6就是C1到它們的最短路徑。這些路徑不是經過了所有城市，而是只經過了其中的若干城市，而且到每一個城市的那條道路不一定相同，至于經過哪些城市，則可以記錄上述過程。由此，可以知道C1到C6的最短距離為7。

總之，借助數形結合的方法可以分析和解決NOIP試題中的程序或算法問題，這是借助數學工具解決實際問題的運用，同時也是數學思想方法的運用。這有助于學生理解、分析、解決NOIP試題，為NOIP教學提供了借鑒和參考。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]方文祺.青少年信息學奧林匹克出擊競賽輔導（第二版）[M].天津：南開大學出版社，2007：1

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[3]顧建東.程序設計教學中的數學造[J].中學教學參考，2009.12：127