定積分的概念教學研究

吳鳳珍

摘 要：定積分是工科高等數學教學的重點，無論從概念本身到實際應用，還是從計算方法到思想方法，均有著舉足輕重的地位。本文對定積分的概念的教學做了深入的研究，突出了直觀式、啟發式教學，著重體現了數學文化和數學思想，不再拘泥于解題技巧.

關鍵詞：定積分 概念 直觀式 啟發式 數學文化

定積分的概念是學習定積分的基礎，它上承導數、不定積分，下啟定積分的應用、重積分、曲線積分、曲面積分等.定積分的概念本身體現了微積分的基本思想方法-極限思想方法。通過定積分概念的學習，可培養學生抽象概括問題的能力、一定的邏輯推理能力、比較熟練的運算能力和自學能力，提高學生在數學方面的素質和修養。多年來的教學實踐表明，定積分的概念的學習對學生來說是一個難點，這一部分內容是學生在大一學的，大二開設的數學后繼課程及一些專業課中都要用到這一部分內容，但是到大二時，大部分學生都記不起定積分的核心思想，更談不上用了。因此，如何進行定積分概念的教學，是一個很值得研究的課題.本文結合自己的教學實踐，談談在定積分概念的教學中所采取的改革措施及體會。

一、復習極限思想，做好鋪墊

極限貫穿于微積分的始終，是微積分的靈魂.定積分就是一種具有特定結構的極限，所以，不知道什么是極限，沒有理解極限思想，就不可能理解定積分。學生盡管在此之前學過極限的定義及運算，也學過特殊的極限-導數，但真正理解極限思想的不多，在講定積分的概念之前，必須先復習極限。在講課之前，可通過問題導入復習極限。譬如，設計這樣一個問題：已知變速直線運動的路程，如何求瞬時速度。大部分學生可能這樣回答：瞬時速度就是路程對時間的導數，這時可進一步追問，什么是導數呢？它是如何產生的呢？讓學生回顧導數的概念，進而加深對極限的理解，為定積分概念的學習做好鋪墊。[1]

二、真正認識曲邊梯形

曲邊梯形面積的求法是定積分部分的核心知識，而學生須先正確認識曲邊梯形。對于標準的曲邊梯形，學生往往能正確識別，而哪些不標準的，學生識別起來就比較困難。教學中，首先這樣引入問題：我們已經會求三角形、矩形、梯形等規則的幾何圖形的面積，但是實際問題中遇到的圖形往往是不規則的（展示一些不規則圖形的圖片），如何求不規則的幾何圖形的面積呢？最基本的規則圖形是三角形，曲邊梯形是最基本的不規則圖形，那什么是曲邊梯形呢？教師給出曲邊梯形的定義，然后給學生展示一些具體的圖片，讓學生判斷它們是否曲邊梯形。通過具體的練習使學生明白，曲邊梯形的兩條互相平行的兩條直邊中的一條（或兩條）可縮為一個點，但它的底邊和曲邊是必須存在的。像下面的兩個圖形也是曲邊梯形。

還應使學生明確，有些規則的幾何圖形，也稱為曲邊梯形。譬如直角三角形、矩形、直角梯形。如果一個平面圖形不是曲邊梯形，可以通過作輔助線，將其面積化為曲邊梯形面積的和或差，因此曲邊梯形是最基本的平面圖形，只要曲邊梯形的面積會求了，任意平面圖形面積的求解問題就解決了。[2]

三、直觀演示，化抽象為具體

學生知道了曲邊梯形的定義后，提出問題：如何求曲邊梯形面積的精確值呢？請同學們回顧我國三國時期的數學家劉徽是如何求出圓的面積的精確值的。學生們都積極回答，這時播放割圓術的動畫，引導學生總結得出結論：要求圓面積的精確值，先求其近似值，欲求整體的近似值，先求部分的近似值。如何求圓面積的近似值呢？數學家劉徽是這樣做的：先把圓分割為許多小扇形，用三角形面積作為小扇形面積的近似值，再把所有小扇形的面積的近似值相加，就得到圓面積的近似值，這個近似值的精確度是與分割有關的，分割越細，近似值就越接近于精確值，因此，圓面積的精確值就是近似值當分割無限細密時的極限。以上過程歸結為四個步驟：分割-近似-求和-取極限。在此基礎上，師生共同分析類比得出曲邊梯形面積的求解步驟。

求解步驟用數學語言表述如下：

[分割]在區間[a，b]中任意插入n-1個分點，

把區間[[a，b]分成個小區間

它們的長度依次為

過每個分點作平行于軸的線段，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形。

[近似]在第個小區間上任取一點，用以為底，為高的小矩形面積近似代替這個小區間對應的曲邊梯形的面積，類似地，其它每個小區間上對應的曲邊梯形的面積都可以用小矩形面積代替。

[求和]把所有小矩形的面積加起來就得到大的曲邊梯形面積的近似值，即：

[取極限]曲邊梯形面積的精確值就是在分割無限細密條件下近似值的極限，如何用數學語言表示分割無限細密呢？有的同學說分割無限細密就是小區間的個數無限多，有的同學說分割無限細密就是小區間的長度無限小。到底哪種說法正確呢？這時再請學生仔細觀察動畫，并指出分割無限細密就是每個小區間的長度無限小，而不是小區間的個數無限多。并直觀演示小區間的個數無限多與每個小區間的長度無限小不是等價的。例如固定一個小區間不動，把無限多個點都放在這個小區間外，這時就不能保證分割無限細密。如何表示無限細分呢？我們可以把每個小區間的長度計算出來，取其中最大的那個，記為：

則

關于變速直線運動的路程問題，引導學生類比解決。

四、概括共性，抽象定義

在分析完兩個實例后，設置問題“如果我們拋開以上問題各自的實際意義，只從數學的角度看，這些問題有什么共性？”在學生回答之后師生共同總結出這兩個實際問題的如下共性：

（1）解決的方法相同，都是采用極限的思想方法，先化整為零，再積零為整，用極限將近似轉化為精確;

（2）處理的步驟是統一的，都是“分割、近似、求和、取極限”四步;

（3）所得結論的形式是一樣的，都是一個特定結構的“和式極限”。

在自然界具有類似情況的實際問題非常普遍，比如變力作功問題，旋轉體的體積，經濟中的累積量等等，它們都可以歸結為相同結構的和式的極限，由此就可以得到定積分的定義。[3]

定積分是一個十分抽象的概念，應強調以下幾點：

（1）定積分中的“積”就是無限求和的意思，這個“積”是通過一個和式的極限來實現的。要求學生用極限思維來理解，明確這類問題的本質屬性;

（2）這個和式的極限與區間的分法及的選取無關;

（3）定積分是一個極限值，只與被積函數和積分區間有關，與變量的選擇無關，要與不定積分的概念區分開來。

對定義分析完之后，接下來設置問題：“定積分在幾何上有什么意義？”有了前面的知識基礎，學生們很容易回答這個問題。我們從面積問題開始又回到面積問題，緊扣主題，學生印象深刻。

五、介紹數學文化，激發興趣

微分和積分是互逆運算，它們是從兩個幾何問題引出的，即求曲線切線的斜率引出導數，從求曲邊梯形的面積引出積分。歷史上積分的思想產生要早于微分，我國數學家劉徽（公元225年到公元295年），他的割圓術就包含了“無限細分，無限求和”的定積分思想，這種思想最早可追溯到古希臘數學家阿基米德提出的計算面積和體積的方法，后來逐步形成求面積、求曲線斜率的重要結論。但兩者之間是彼此獨立的，17世紀德國數學家萊布尼茲（1646年-1716年）和英國物理學家、數學家牛頓（1643年-1727年）才在前人的研究結果基礎上創立了微積分學，將兩者聯系起來，從而使微積分得到了迅猛發展。

本節課改革了傳統的教學方法，采用新的教學方法和模式，教學一開始先復習極限，然后再創設問題情境引入新課，符合學生的認知規律，在介紹完曲邊梯形的定義之后，沒有馬上講曲邊梯形面積的計算，而是通過實例加深學生對曲邊梯形的認識，為后面學習一般平面圖形面積的計算掃清了障礙。在學習兩個引例時，采用直觀式、啟發式、討論式、類比的教學方面，化解了難點，收到了良好的教學效果。最后關于定積分數學文化的介紹更激發了學生的學習興趣。[4]

參考文獻

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第2版）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[3]金晶亮，等.高等數學課程中定積分概念教學設計[J].高等函授學報，2011，（5）：14-17.

[4]王彥軍.高職學生定積分概念教學中的點滴體會[J].甘肅科技，2008，（17）：199-200.