類比推理或然性在小學數學教學中的滲透

張沁汝 翁嘉烯

摘要：推理能力是義務教育數學課程標準提出的十個核心概念之一。類比推理是合情推理的重要形式，對引發猜想、啟迪思維和發現結論有關鍵作用。教師教學中常運用類比推理得出結論，而這也導致對其或然性的忽視。為更好發展小學生的類比推理能力，教師需令其感悟類比推理的或然性，掌握“舊知情境，建類比橋梁”“親歷過程，感類比局限”“說理檢驗，證類比猜想”的教學策略。

關鍵詞：小學數學;類比推理;或然性;教學策略

類比推理是指根據兩個不同對象的某些方面相同或相似，推導或猜想出它們在其他方面可能具有相同或相似的思維形式，是由特殊到特殊的推理方法。它在小學數學中應用廣泛，屬于數學核心素養推理能力的一部分，有大量研究圍繞其培養策略展開。然而，有一點卻易被研究者、一線教師忽視：類比推理作為合情推理的一種，有其或然性，會出現看似合情合理、卻導致錯誤的結論。若學生感知于此，他們能夠生成碰壁后改變探究策略的寶貴經驗;也能夠打破思維定式，深入開展探究活動，獲得更多數學活動經驗。那么，小學數學應如何引導學生感知類比推理可能出錯？為此，筆者選擇以人教版五年級上冊的綜合實踐活動課“擲一擲”為例，談談滲透類比推理或然性的教學策略。

一、舊知情境，建類比橋梁

在教學時，教師首先詢問擲一個骰子，朝上點數有哪幾種情況;接著請學生說一說各種情況出現的可能性。這是學生日常生活中常接觸的游戲，他們較感興趣;而且剛學完“可能性”一課，他們對這兩個問題并不陌生，能夠很快回答。

隨后教師出示：擲到1、2、5、6朝上，甲贏;擲到3、4朝上，乙贏。詢問這一游戲規則是否公平及判斷理由。學生回答后教師總結：點數種數多，贏的可能性大。這時教師追問，怎樣修改游戲規則，使游戲公平？并請學生填空：點數（）朝上，甲贏;點數（）朝上，乙贏。從而教師總結出只要6種點數平分，游戲就公平。這些問題的難度均不大，是對“可能性”的復習，為兩個骰子情況下學生的類比推理做了鋪墊。

依據皮亞杰的認知發展階段理論，學生正處于具體運算階段。此時類比推理的產生，需借助生活原型，營造具體的情境。同時，類比推理的前提往往為與新知關聯的學生已知。學生展開類比推理學習的前提是其原有認知結構中具備了同化新知識的相似概念。如果相似概念缺少、模糊，類比推理活動就難以順利展開。_[1]

以上兩點在此教學設計中均有體現。教師開門見山，創設“擲一個骰子”等生活情境，情境存在學生接觸與掌握的舊知，特別是“點數種數多，贏的可能性大”的總結。值得注意的是，此舊知與彼舊知不同，學生利用其類比推理得出的結論將不再正確，新舊知識在某種程度上無法銜接與升華。但它為學生進行類比推理搭建了橋梁，更為學生感悟類比推理的或然性提供了平臺。

二、親歷過程，感類比局限

在一個骰子的基礎上，教師提問：如果同時擲兩個骰子，朝上點數的和有哪幾個？學生雖在生活中較少遇到此情況，但已掌握一個骰子的知識，能夠獨立思考解決。回答為點數和2～12，共11種。教師追問，為什么不可能是1、13，以確保他們完全知曉。接著教師出示另一游戲規則：和是5、6、7、8、9，甲贏;和是2、3、4、10、11、12，乙贏。根據擲一個骰子的經驗，你選甲還是乙？多數學生選了乙贏。然而他們的選擇并不正確，“點數種數多，贏的可能性大”的經驗不適用于此。

因此，教師問經驗是否可靠，并請學生利用組內的兩個骰子開展游戲，要求在作業紙的圖上做記錄。圖為11×12的表格，末行每格的下方標有數字2～12，每次游戲的點數和是幾，就在對應的列上涂空格，涂滿任意一列則游戲結束。板書也是亮點之一，教師記錄擲一個骰子的經驗，畫箭頭推至擲兩個骰子，將先前經驗寫下并畫上問號。板書與學生的思維過程相似，體現類比推理的應用，也說明經驗并不絕對，使用還需思考。通過游戲實驗，多數小組轉變了看法，認為甲贏。

此教學過程實則分為三個步驟：學生類比猜想→實驗否定猜想→生成新的猜想。_[2]學生進行類比猜想源于導入環節。這時雖有錯誤的推理結論，可其并不知曉。另外，學生新的猜想通常能在原猜想被否定后自然產生。

“通過實驗否定猜想”這一步驟最為關鍵。遇到較抽象的數學知識時，如本課事件的發生具有隨機性，僅依靠推理與教授確定經驗較困難。教師可以引導學生動手實踐，如本課開展游戲，令其親歷知識的形成過程，促進對知識的認識由感性向理性轉化。此后，學生普遍能夠發現錯誤，加之教師言語、板書的少許引導，他們可以感知依靠已有規律推斷不一定正確，憑借的相關經驗有待揣度，得出的結論則需被檢驗，即感知到類比推理的局限性。在有一定類比的經驗后，學生可自行舉例類比對象，進行方案設計和實踐測量，并在實驗后表達思考過程與結果，這便為在考慮其或然性的基礎上發展類比推理能力。

三、說理檢驗，證類比猜想

學生轉變猜想后，教師演示計算機模擬實驗，擲兩個骰子10000次，得到條形統計圖，兩個骰子和是7的次數最多，朝兩端對稱遞減。學生的猜想得到一定認可。但實驗不能解釋原因，教師問擲兩個骰子什么情況下可以擲出點數和“2”，用算式表示，并追問和是“3”等數字的情況。學生得到和是2“1+1”、3“1+2 2+1”等表示結果。

類比推理可以獲得猜想、發現結論，但要使結論具有可靠性，還應與演繹推理有機結合，進行猜想的驗證和結論的證明。_[3]此上的實驗環節僅能否定先前猜想，而由于樣本數量的限制無法驗證新猜想;此時請學生用算式表示點數和的情況，讓其從數理上理解特征。經過這樣的解釋，學生對擲兩個骰子出現情況的理解更深刻，也使結論更具說服力。除從數理上理解外，教師也應讓學生學會舉例驗證猜想，用反例揭示猜想中不合理的部分，逐步修正完善，以提高類比推理結論的正確性。

綜上所述，類比推理或然性的滲透需一定的教學策略，應從課堂的導入、主要內容的傳授等多方面設計，形成類似“類比猜想→實驗否定猜想→生成新的猜想→分析確認結論”的研究過程，在課堂上既不突兀刻意，又能令學生有所感悟。

參考文獻

[1]顧曉東.小學數學教材中的類比推理及教學策略[J].教學與管理，2015（20）：39-42.

[2]曹培英.小學數學合情推理的教學研究[J].小學數學教師，2015（Z1）：8-15.

[3]劉德宏.在小學數學教學中培養學生的類比推理能力[J].教育探索，2016（06）：33-35.

作者簡介：張沁汝（2000.06-），女，漢族，浙江寧波人，本科在讀，浙江師范大學教師教育學院，研究方向：小學教育;第二作者：翁嘉烯（1999.12-），女，漢族，浙江寧波人，本科在讀，浙江師范大學教師教育學院，研究方向：小學教育