建構單元認知的整體框架

陳金英 王華民

摘要：“單元整體建構課”的教學目標是讓學生管中窺豹，建構單元認知的框架結構，從整體上把握研究方向和路徑，了解主體內容和方法，以發展數學思維，提升數學素養。基于《二次函數的圖像和性質》一節起始課的教學設計，闡述對“單元整體建構課”總體特點、設計策略、實施價值的思考。

關鍵詞：單元整體建構課 知識結構 研究方法 《二次函數的圖像和性質》

在日常的數學教學中，教師往往將內容進行分割與細化，重點關注一些具體的知識和問題，缺乏整體思考。這種碎片式教學，雖然能使學習難度有所下降，但學生收獲的多是“點狀”內容，容易形成“只見樹木，不見森林”的學習狀況。

為改變這種狀況，江蘇省中小學教學研究室正在初中數學教學中推行一種新的課型——單元整體建構課。其中的“單元”是指知識結構相對完整的部分教學內容，可以是教材中的一章或一節。而“單元整體建構課”的教學目標是，讓學生管中窺豹，建構單元認知的框架結構，從整體上把握研究方向和路徑，了解主體內容和方法，以發展數學思維，提升數學素養。

2019年江蘇省初中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動的課題之一便是蘇科版初中數學九年級下冊第5章第2節《二次函數的圖像和性質》起始的整體建構。陳金英老師作為參賽者執教了這節“單元整體建構課”。以下分享這節課的教學設計和對“單元整體建構課”的教學思考。

一、教學目標

《二次函數的圖像和性質》一節是《二次函數》一章的核心內容。它是在學生學習了一次函數、反比例函數的圖像和性質以及二次函數概念的基礎上教學的，也是學生后續學習二次函數的確定與應用的基礎。

基于對“單元整體建構課”的認識，我們制訂了如下教學目標：（1）建構二次函數圖像和性質的研究路徑和方法;（2）會用“描點法”畫出二次函數y=ax²（a≠0）的圖像，了解由函數y=ax²的圖像到y=a（x+m）²、y=ax²+n（a≠0）的圖像，再到y=a（x+m）²+n（a≠0）的圖像的形成過程，了解函數y=aX²+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線;認識二次函數的開口方向、頂點坐標、對稱軸和增減性等性質;（3）感受類比、轉化、數形結合、從特殊到一般的數學思想，培養觀察、操作、分析、歸納等良好的學習習慣。

二、教學過程

（一）運用類比，整體建構二次函數的研究路徑和方法

學生已經學習了一次函數、反比例函數的圖像和性質，教師可以引導他們運用類比，整體建構二次函數圖像和性質的研究路徑和方法。具體設計如下：

導語：近日，我們結識了一位新朋友——二次函數，請說出二次函數的定義。

問題1：前面我們研究過哪些函數，還記得嗎？對于這些函數，在知曉定義的基礎上，我們又做了哪些深入研究？（一次函數、反比例函數;函數的圖像和性質）

問題2：對于新學的二次函數，你覺得可以從哪些方面來更深入地研究？（圖像和性質）

問題3：一次函數y=kx+b的圖像和性質，我們是怎么研究的？（從解析式想圖像，得大致性質;再畫圖，得精細性質）

問題4：當時是如何畫圖的？（從具體、特殊的圖像出發，到抽象、一般）

問題5：請類比一次函數的研究路徑和方法，建構二次函數的研究路徑和方法。（研究路徑：二次函數的定義→二次函數的圖像和性質→二次函數的應用。研究方法：數形結合、從特殊到一般，具體見圖1。這也是研究函數問題的一般路徑和方法）

從學生熟悉的舊知過渡到新知，通過問題1和問題2，引導學生思考函數模型研究的一般路徑;通過問題3和問題4，引導學生得出函數問題研究的一般方法，從而從整體上建構本單元的學習內容。

（二）把握重點，研究y=ax²的圖像和性質

明確了研究路徑和方法（即主線）后，還要考慮單元知識結構生長的基礎，并進行重點研究。對于二次函數的圖像和性質，“基點”無疑是函數y=ax²（a≠0）的圖像和性質。具體設計如下：

活動1：從解析式看圖像。

（1）函數y=x²的自變量x的取值范圍是什么？（x∈R）

（2）生成的函數值y的取值范圍又是什么？（y≥0）

（3）根據自變量取一對相反數時，函數值相等，可以猜測圖像的對稱性嗎？（關于y軸對稱）

活動2：用“描點法”作圖。

（1）列表：根據函數3=x²的特征，選取自變量x的值，計算對應的函數值y，并填表。

（2）描點：以表中的每個z值為點的橫坐標、對應的y值為點的縱坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點。

（3）連線：用平滑的曲線順次連接描出的點，即得二次函數y=x²的圖像。

（4）思考：能用直線連接嗎？（幾何畫板演示）

（5）交流：比較不同的列表、作圖方法的優劣以及得到的圖像是否一致。

活動3：從圖像看性質。

（1）你能描述函數y=x²圖像的形狀嗎？圖像具有怎樣的對稱性？（拋物線;關于y軸對稱）

（2）當z<0和z>0時，各有怎樣的增減性？（左減、右增）

（3）當x取什么值時，y的值最小？最小值是什么？（x=0，y=0）

活動4：從特殊到一般。

（1）函數y=-x²的圖像會是一條怎樣的拋物線？有什么特征？

（3）你能嘗試歸納函數y=aX²（a≠0）的圖像和性質嗎？（從開口方向、頂點坐標、對稱軸、增減性等方面，以表格呈現）

活動1由“數”想“形”，讓學生通過二次函數的解析式探索二次函數圖像的位置、大致形狀，有利于學生正確作圖，也為之后由“形”想“數”做鋪墊。活動2作圖，旨在通過動手實踐，讓學生對二次函數圖像的形狀和變化趨勢有較深刻的理解;并通過動畫演示，增強學生的直觀認識，特別讓學生注意原點附近圖像的變化趨勢。活動3由“形”想“數”，讓學生驗證前面的發現，并發現更多的性質。活動4從特殊到一般，引導學生結合特殊函數的圖像，全面歸納函數y=aX²（a≠0）的性質。

（三）突破難點，建構從y=ax²到y=aX²+bx+c的路線圖

一節課，重點研究了單元知識結構生長的基礎后，自然無法（也無須）充分研究單元知識結構的其他部分，但是可以（也需要）理清基礎知識與其他知識的關系，為后續的充分研究做鋪墊。函數y=aX²（a≠0）的圖像與y=a（x+m）²、y=ax²+n（a≠0）的圖像的關系，是本課教學的一個難點。如何有效突破難點？還要注意從容易到困難，從特殊到一般，讓學生通過表格數據與圖形的對應關系，感受上下、左右平移的規律。具體設計如下：

活動1：建構從y=aX²到y=aX²+n的變化規律。

（1）從“數”上體會：對函數y=x²+1與y=x²列表取值。

（2）從“形”上驗證：對函數y=x²+1與y=x²描點連線。

（3）思考：函數y=x²+1的圖像與y=x²的圖像的位置有什么關系？

（4）變式：函數y=x²-2的圖像與y=x²的圖像的位置有什么關系？圖像知道了，能否類比說出一些性質呢？（作為課后思考，以后繼續學習）

活動1、活動2都由具體實例人手，通過特殊值的變化和圖表，讓學生感受上下平移、左右平移的變化規律，經歷用“數”說理，用“形”驗證，數形結合研究問題，由特殊逐步走向一般等研究過程。有了前面的鋪墊，學生不難運用類比手段完成活動3。

（四）回顧小結，獲得二次函數圖像和性質的整體認識

最后，教師請學生談一談本節課的學習收獲，然后總結、投影。

結語：老師教給你的只是知識，自己悟明白的才會變成能力！希望同學們勤于思考和感悟。

三、教學思考

（一）“單元整體建構課”有什么特點？

其一是整體性。“單元整體建構課”對整個章節有一個提綱挈領的指引，幫助學生建構單元認知的框架結構，從整體上把握研究方向和路徑。

其二是聯系性。辯證法認為，整個世界是一個相互聯系的統一整體，任何事物的各個部分、要素之間都是相互聯系的，任何事物都與周圍的其他事物相互聯系。而數學學科的各個知識、問題乃至思想方法也是相互聯系的，有其來龍去脈。“單元整體建構課”的整體性需要基于這樣的聯系性。

其三是選擇性。由于一個單元的教學往往需要幾節課來完成，而“單元整體建構課”一般是一節課，因此需要對教學內容進行合理的取舍。

（二）“單元整體建構課”該如何設計？

其一，要根據知識的內在關聯進行類比遷移設計，搭建好本單元的整體框架，設計好“路線圖”;可以設計為粗線條、框架式，無須面面俱到，而在后續課時進一步細化、落實。“單元整體建構課”一般為單元的第一課時，統領整個單元，只需學生對本單元的知識體系有一個框架式的了解，為后期深入研究提供方向。比如，本節課就是對教材《二次函數的圖像和性質》一節5個課時內容的總覽，讓學生經歷數形結合、從特殊到一般研究二次函數圖像和性質的過程，從而了解函數圖像和性質的研究路徑和方法。

其二，“單元整體建構課”既要有整體的框架，又要考慮用什么來支撐這個框架，以突出知識體系中的關鍵點;同時，還要做好取舍，把那些非關鍵的知識留作后續教學內容。比如，本節課便以函數y=ax²（a≠0）的圖像和性質為重點，對函數y=a（x+m）²、y=ax²+n（a≠0）等的圖像和性質不做詳細研究，而只關注它們與函數y=ax²（a≠O）圖像和性質的關聯。如此教學，課堂反饋，大多數學生都能接受，少數學生對某些“點”——如由函數y=ax²到y=a（x+m）²的變化規律——沒能理解，也可以通過后續作業和教學加以彌補。

（三）“單元整體建構課”有什么價值？

其一，幫學生厘清本單元內容的結構體系和學習主線，明晰本單元“為何學”“學什么”“怎樣學”的問題，從而形成認知的整體框架，獲得高屋建瓴的認識，培養系統思維，養成全面思考問題的習慣，避免“盲人摸象”。

其二，教學生學會聯系地看問題。“單元整體建構課”能夠讓學生明白數學知識有聯系，研究方法也類似，從而通過理順相應的關系，建立新舊知識之間的關聯，進行深層加工整合，明晰學習內容的本質。

其三，教會學生科學的研究路徑和方法。比如，本節課通過類比已學函數模型的經驗，教學生學會了研究函數問題的一般路徑和方法（定義→圖像→性質→應用;數形結合、從特殊到一般），從而提升了學生的學習遷移能力、問題研究能力。