淺談?wù)w代換思想在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

余莉雅

摘? ?要：在三角函數(shù)的教學(xué)過程中，要讓學(xué)生掌握好三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容和解題技巧，這對(duì)高中生的邏輯思維能力以及數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)有著重要意義.因此在三角函數(shù)教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題的解決能力與分析能力，從而為今后的學(xué)習(xí)打下穩(wěn)固的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);數(shù)形結(jié)合;整體代換

三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它在解決高中數(shù)學(xué)的其它問題上具有廣泛的應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一，也是高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容.從近五年全國高考卷看，三角函數(shù)的命題比較注重基礎(chǔ)，且考查要求呈現(xiàn)穩(wěn)定性與連續(xù)性，盡管命題的背景上有所變化，仍屬難度系數(shù)不高的基礎(chǔ)題、中檔題.三角函數(shù)試題的考查一般是一小一大（選擇題一道，解答題一道）或三個(gè)小題（選擇題兩道，填空題一道），三角函數(shù)與數(shù)列差不多每兩年交替出現(xiàn)于解答題第1題（第17題）的位置.“三角模塊”考查總分值為17分或15分，題型較為常規(guī);試題所考的方法都是通性通法;試題難度不大，所以對(duì)學(xué)生高考來說是一個(gè)重要的得分點(diǎn).近五年高考全國卷中三角函數(shù)高頻考點(diǎn)有：①任意角三角函數(shù)的定義;②同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式;③三角函數(shù)的圖象和性質(zhì);④運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換（主要利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、兩角和差公式、二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換）;⑤利用正、余弦定理結(jié)合三角知識(shí)解三角形問題通過三角函數(shù)定義、公式、定理等必備知識(shí)為載體，考查考生運(yùn)算求解、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的關(guān)鍵能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。著重體現(xiàn)知識(shí)的基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性.

因此，在整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué)中，歸根結(jié)底還是要注重通性通法，在日常教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，在三角函數(shù)的解題中主要采用“數(shù)形結(jié)合”、“函數(shù)與方程”、“整體代換”及“特殊與一般”等常見數(shù)學(xué)思想.

“整體代換”在三角函數(shù)的解題中是最重要的方法，整體代換是指將問題或者是問題的一部分看成一個(gè)整體，用一個(gè)新的變量代之，進(jìn)而簡(jiǎn)化研究過程，這一過程其實(shí)質(zhì)就是換元的過程，也就是換元法的應(yīng)用，是研究數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法.這一思想在解決三角函數(shù)的兩域（定義域、值域）、四性（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）中有著廣泛應(yīng)用[ 1 ].

1? 用整體代換思想解決三角函數(shù)單調(diào)性問題

例如：我們?cè)谘芯啃稳绾瘮?shù)y=Asin（ωx+ψ）的單調(diào)性問題時(shí)，可以根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)性情況，結(jié)合正弦函數(shù)圖象來實(shí)施.把y=Asin（ωx+ψ）中的ωx+ψ看作一個(gè)整體，視之為y=sinx中的x[ 2 ]，這一過程也可以用換元法，令ωx+ψ=t將其代入y=sint的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而解出x的范圍.這一過程把“數(shù)形結(jié)合”與“整體代換”緊密的結(jié)合起來.

2? 用整體代換思想解決三角函數(shù)對(duì)稱性問題

在解決形如函數(shù)y=Asin（ωx+ψ），y=Acos（ωx+ψ）及y=Atan（ωx+ψ）的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心問題時(shí)，也是將ωx+ψ看作一個(gè)整體，結(jié)合正余弦曲線和正切曲線來進(jìn)行研究的.

總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)最核心的部分，從解題教學(xué)的現(xiàn)狀來看，要加強(qiáng)核心知識(shí)的理解，最關(guān)鍵的還是要在思想方法上給予滲透，將核心知識(shí)在思想方法的指引下合理地運(yùn)用到位，只有具備思想的教學(xué)，才是有深度的、有靈魂的教學(xué).在三角函數(shù)模塊的學(xué)習(xí)中，尤其要重視函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，結(jié)合近幾年的新課標(biāo)高考卷中的考題，發(fā)現(xiàn)思想點(diǎn)與能力點(diǎn)，不斷提升學(xué)生分析問題解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃金明.研讀真題領(lǐng)悟真跡——“三角函數(shù)”高考考點(diǎn)題型歸類解析[J].高考，2018（18）：222.

[2]郝文華.關(guān)于三角函數(shù)教學(xué)的再思考[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（9）：7-9.