淺析動點問題中的有規律運動

陳芙蓉

【摘要】動點問題是歷年來廣東省中考數學中必考問題，綜合性強，難度較大，常常與三角形、四邊形、圓、二次函數等結合在一起，能很好地考察學生的解題能力和思維能力等數學核心素養.本文基于教學實踐，通過近兩年廣東省數學中考第17題的動點“隱”圓問題進行分析，闡述部分動點問題中動點的運動存在著一定的運動規律，只要抓住動點在運動中始終保持不變的量，問題將迎刃而解。

【關鍵詞】初中數學;動點問題;規律;隱圓

在初中數學的考試中，幾何中的動點問題一直是重點考察內容，考察方式也是在不斷變化，很多同學對動點問題都會“望而生畏”，往往無從下手，每年中考中動點題的得分率也是相當低.其實對于一些動點問題，動點的運動遵循一定的規律，弄清動點在運動過程中始終不變的關系，就能把握住動點的運動規律，從而解決問題.下面結合近兩年廣東省中考數學第17題說明動點的運動是有一定的規律，其運動軌跡是一個“隱”圓.

一、動點到定點的距離為定值

例1（2020·廣東中考）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖1，∠ABC=90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?.

知識儲備：圓外一點到圓上點的距離最值

如圖3，點C是圓外任意一點，直線CO交圓O于A、B兩點，圓O的半徑為r，則點C到圓O上點的最長距離是CB=CO+r，最短距離為CA=CO-r.

評析：問題中點E隨著線段MN的運動，位置不斷發生變化，抓住關鍵點直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，根據圓的集合定義“到定點的距離等于定長的點的集合是圓”，可知點E始終在以點B為圓心，2為半徑的圓上作規律運動，構造一個“隱”圓，從而將動點問題轉化為圓外一點到圓上點的距離最值問題求解.

變式1：（2019·錦州）如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A'MN，連接A'C，則A'C的最小值是 ? ? ? ?.

解析：如圖5，由折疊的性質可得A'M=AM=1，即點A'在以點M為圓心，AM為半徑的圓上.連接MC交圓M于點A'，由圓外一點到圓上點的距離最小值，可得A'C的最小值為A'C=MC-MA'，由勾股定理可以求得MC=? MD2+CD2 = 10，即A'C的最小值為A'C= 10 -1.

評析：由折疊的性質可得A'M=AM，不管點N移動到哪個位置，點A'到點M的距離都等于AM，點A'在做有規律的運動，根據圓的集合定義，點A'的運動軌跡是以點M為圓心，AM為半徑的圓的一段劣弧.根據圓外一點到圓上點的距離最小值確定出A'C取得最小值時的A'位置，再通過勾股定理進行相關計算即可解決問題.

二、動點與兩定點連線組成的角為定值

例2（2021·廣東中考）在△ABC中，∠ABX=90°，AB=2，BC=3，點D為平面上一個動點，∠ADB=45°，則線段CD長度的最小值為? ? ? ? ? .

評析：解決本題的關鍵是抓住動點D在運動中始終保持著與A、B兩定點的連線夾角45°不變，根據圓的性質“同弧所對的圓周角相等”，動點D的運動遵循一定的規律，即在過A、B的圓上運動，運動軌跡為一段優弧.再通過勾股定理、圓周角定理等基礎知識即可解決問題。

變式2：

（2019.沂源縣二模）如圖7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=2，△ADC與△ABC關于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE=CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為（? ）

解析：

如圖8，連接BD，因為△ADC與△ABC關于AC對稱，所以BC=DC，∠ACD=∠ACB=30°，則∠BCD=60°，求得△BDC是等邊三角形，由題意易證△BDE≌△DCF，從而得到∠PBD=∠FDC，∠BPF=∠PDB+∠PBD=∠PDB+∠PDE=60°，所以∠BPD=120°，由于動點P在運動中保持∠BPD=120°，所以動點P的路徑是一段以A為圓心，以AD為半徑的弧，如圖9，連接AC交弧于點P，此時CP的長度最小，CP最小值為CP=AC﹣AP=4-2=2.

評析：本題所包含的知識綜合性很強，由于E、F分別是DC、BC上的任意一點，則點P的位置隨著點E、F的運動而隨之運動，但通過分析可得點P與兩定點B、D連線所形成的夾角∠BPD=120°始終不變，由此可知點P的運動軌跡是以A為圓心，過B、D兩點圓的一段劣弧，連接AC與圓的交點P，此時可求得CP的最小值。

上面通過實例說明當動點與兩定點連線組成的角為定值45°和120°時，動點的運動是有一定的規律，其軌跡是一個“隱”圓。在練習中也會遇到動點與兩定點連線組成的夾角是60°、90°、120°，或者任意角的定值時，動點的運動都是有規律的，其軌跡是一個“隱”圓。

三、結束語

初中幾何中有關動點問題類型有很多，有時候需要將動態問題轉化為靜態問題來處理，有時候需要探究動點的運動規律，把握住其運動規律，確定出其運動軌跡，再利用相關的幾何知識即可解決問題。

【參考文獻】

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