核心素養視域下的“直線與平面垂直的判定”教學案例分析

陳靜安　孟勝奇　楊彩如

摘? 要：運用案例分析法，探究“直線與平面垂直的判定”課題的教學目標界定及其教學設計策略，凸顯學生在問題情境的驅動下，進行實驗操作、觀察比較、抽象概括，經歷從現實生活中抽象出圖形關系，建構直線與平面垂直的概念界定，引領學生探究將無限的線線垂直問題轉化為有限的線線垂直的判定方法的再發現過程，從中發展學生的直觀想象、數學抽象和數學建模素養，培養學生比較辨析、發現創新的意識和精神，感悟數學來源于實踐并服務于實踐的應用價值、科學價值、審美價值.

關鍵詞：核心素養;轉化思想;數學抽象;圖形關系

一、問題背景

20世紀90年代以來，國際數學教育改革對傳統歐幾里得幾何教學的定位和幾何推理的教學要求發生了變化，減弱了對演繹推理的要求，強調學生從現實問題或情境出發，運用合情推理進行再發現和再創造的能力. 從單一注重幾何的邏輯推理，轉向強調全方位發揮幾何的教育價值，特別是幾何在發展學生直觀想象素養，以及觀察、實驗、類比、歸納等動手實踐能力和發現創新思維方面的教育價值. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）也明確指出，立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系. 人們通常采用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念. 在《標準》及教材中，關于直線與平面的位置關系主要討論了平行與垂直兩種，而在平行與垂直位置關系中又重點研究其性質定理與判定定理.

關于“基本圖形位置關系”這一部分內容，《標準》在第四部分課程內容中明確提出的教學要求為以下幾個方面：① 借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直關系. ② 從立體幾何的定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，歸納出空間中線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理. ③ 能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題. 進一步追溯直線與平面垂直的判定的來龍去脈，不難發現它既是空間中線線垂直關系的拓展，又是連接面面垂直關系的紐帶. 同時，也為今后研究空間角與距離的度量等打下堅實的基礎. 因此，它作為立體幾何中的基礎知識，是最重要的空間位置關系.

《標準》是國家對基礎教育課程的基本規范和質量要求，它是教材編寫、教學評價和考試命題的依據，是國家評價課程、進行教學質量檢測的基礎. 它反映著國家對高中階段的學生在“四基”“四能”和數學核心素養及情感態度與價值觀發展等方面的基本要求. 根據《標準》的要求和對教材的具體分析，相對于傳統的教學大綱和教材，新課程對一些內容的定位發生了變化. 上述判定定理不要求證明，但是要求學生能夠理解這些判定定理，并學會用它們去分析和解決一些簡單的問題. 因此教師使用教材教學面臨的一個關鍵問題就是在不要求證明的前提下，在課堂上如何講授線面垂直的判定定理. 這與傳統的教學處理有很大不同. 因此，我們的核心問題是： 如果不證明判定定理，如何幫助學生認識、理解和掌握點、線、面之間的位置關系及其判定定理，如何運用它去分析和解決問題.

二、聚焦核心素養發展的教材分析與學情分析

1. 教材分析

教材是教學的藍本和教學目標制定的具體依據. 先簡述“直線與平面垂直的判定”在教材內容中的編排順序與呈現方式，進而剖析該課題中所包括的知識點，知識點發生、發展的因果邏輯關系，以及其中蘊涵的數學思想與方法.

不論是人教版教材還是北師大版教材，該課題先借助類似旗桿與其地面上影子的位置關系的討論，引領學生觀察、辨析、探究、發現. 雖然影子隨著時間及日照的變化而變換位置，但是旗桿和其影子的垂直關系不變，旨在引導學生發現旗桿所表征的直線與其影子所確定和表征的平面（即地面）的垂直關系不變，并且通過平移旗桿發現，平面上的任意直線都與旗桿垂直，在此基礎上發現和抽象出直線與平面垂直就是直線與平面上的任意（所有）直線都垂直，進而建構與揭示直線與平面垂直的概念. 本課題蘊涵了“空間問題轉化為平面問題”“無限轉化為有限”“空間線面關系界定轉化為空間線線關系定義”的數學思想方法.

接下來提出問題：如何判斷一條直線與一個平面垂直？并借助具體問題“如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，能否判斷這條直線與這個平面垂直”引發學生發現并思考，激發學生的認知需求. 通過將三角形紙片翻折后豎起放置在桌面上的動手操作，引領學生探究發現可以將無限的線線垂直問題轉化為有限的線線垂直的判定，蘊涵了將空間無限的線線關系判斷轉化為空間有限的（三條）線線關系判斷的思想與方法. 最后，教材設置了難度依次遞進的例1至例3，幫助學生深化理解和鞏固運用判定定理.

相對于高中生的認知結構、思維水平和認知心理特點而言，無論是將空間線面關系概念界定轉化為空間線線關系定義，還是將空間無限的線線關系判斷轉化為空間有限的（三條）線線關系判斷，都是學生所不熟悉和不易想到的. 因此，這兩個方面既是本節課的重點也是教學的難點. 尤其是判定定理的表述形式與運用，定理中涉及一面、一點、三條線，以及線面、線線、點線、點面等諸多關系，哪些是已知關系哪些是未知關系，先講什么后講什么，以及幾何教學具有的文字、圖形、符號三種語言之間的轉換互譯，都要求和考驗著教師作為課堂教學設計者、組織者和引導者的能力.

綜上所述，掌握“直線與平面垂直的判定”這部分內容中涉及的概念、作圖、判定等知識與技能，發展學生的空間觀念，提高學生的觀察能力和空間想象能力，以及數學圖形、自然語言、符號語言的互譯轉化能力，實現從平面圖形到立體圖形的認知飛躍，發展學生的數學抽象、直觀想象和數學建模等素養都至關重要.

2. 學情分析

在“空間中的線面平行”課題學習中，學生已初步形成了數學直觀，積累了借助幾何直觀對空間圖形整體把握及線面關系局部分析的經驗，學生已具有一定的學習興趣、參與意識，以及初步的直觀想象、自主探究能力. 但對空間中的線面平行與垂直位置關系的認知和數學活動經驗有限，學生的抽象概括能力、空間思維能力還有待提高. 尤其是對于線面垂直概念中“任一條直線”指的是“所有直線”，對于直線與平面垂直的判定定理中，為什么至少要兩條直線，并且是兩條相交直線等問題的理解仍存在諸多困難. 對于將無限轉化為有限的可行性、必要性的認識也困難重重. 同時，部分學生對于教材中線面垂直判定定理的發現路徑比較陌生. 此外，由于學生的直觀想象能力、邏輯推理能力差次不齊，在運用直線與平面垂直判定定理解決問題時，如何選擇平面內的兩條相交直線去解決線面垂直問題，因為缺乏經驗學生經常無從下手或容易發生錯誤.

三、“直線與平面垂直的判定”教學案例

以下教學設計與教學實錄概述來自某省高中數學教師全員培訓的網絡課程“直線與平面垂直的判定”.

1. 教學設計概述

本節課教學目標設置如下.

（1）理解直線與平面垂直的概念及判定定理;能用直線與平面垂直的判定定理證明或解決一些簡單問題.

（2）經歷對相關現實情境和空間圖形的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的概念，并通過操作、辨析，歸納出直線與平面垂直的判定定理. 在探索、發現新知的過程中，感悟數學思想方法，提高學生發現和提出問題的能力以及直觀想象能力和邏輯推理能力.

（3）學生經歷觀察、探究、發現、證明的數學活動，發展團隊合作和自主探究意識，體驗探索發現的樂趣，增強數學學習的興趣和信心.

教學重點：直線與平面垂直的概念與判定定理的概括.

教學難點：直線與平面垂直的概念判定與判定定理中無限直線轉化為兩條相交直線的可行性理解.

教學方法：問題鏈 + 學生核心活動.

2. 教學過程

（1）復習舊知，提煉要點.

問題1：我們已經研究過空間中直線與平面的哪些位置關系？直線與平面平行是怎么研究的？

【設計意圖】通過回顧已學過的線面關系，鞏固學生知識基礎，讓學生進一步領悟研究線面關系的思路方法.

明確以下兩點：

① 線面平行的研究內容：概念—判定—性質—應用;

② 線面平行的研究方法：情境—抽象—概括—論證.

（2）從情境出發，發現問題.

問題2：空間中直線與平面的關系中，還有什么關系較為重要？

教師讓學生舉出生活中或空間幾何體中的一些直線與平面垂直的例子.

【設計意圖】通過直觀感知、比較辨析，確定新的研究內容，并引導學生通過觀察教材中廣場上旗桿與地面之間的關系、教室里墻柱與天花板的關系等，發現直線與平面垂直的普遍現象，形成直線與平面垂直的實物表征，為進一步探究直線與平面垂直搭建認知支架.

（3）辨析探究，生成新知.

問題3：怎樣畫直線與平面垂直的直觀圖？

【設計意圖】將畫圖問題前置，不僅是因為學生已具備作此圖的能力，也為了便于深入研究線面垂直的內涵.

隨后，教師拿一根教桿與桌面擺成垂直和斜交等情形，讓學生觀察、體會、領悟線面垂直的本質特征.

問題4：直線與平面垂直的本質特征是什么？能否嘗試給出直線與平面垂直的定義？

【設計意圖】根據實際例子豐富直線與平面垂直的初步形象，嘗試通過文字敘述直線與平面垂直的定義.

定義：如果直線[l]與平面[α]內的______，我們說直線[l]與平面[α]互相垂直，記作______. 直線[l]叫做平面[α]的______，平面[α]叫做直線[l]的______. 直線與平面垂直時，它們唯一的公共點[P]叫做______.

由線面垂直的定義，可得若直線[l]垂直于平面[α]，則直線[l]垂直于____________.

簡記：線面垂直，線線垂直.

符號：[______，______，]?______.

【設計意圖】學生填寫定義，建立文字、圖形、符號這三種數學語言的相互轉化. 這一定義揭示了線面垂直的本質，也就是直線與平面內的任一條直線都垂直. 這正是不能將后續的判定定理作為線面垂直定義的原因.

問題5：怎樣才能簡便判斷直線與平面垂直？直線[l]垂直于平面[α]內的一條直線，那么直線[l]和平面[α]垂直嗎？直線[l]垂直于平面[α]內的兩條直線，那么直線[l]和平面[α]垂直嗎？

核心活動：教師讓學生拿出準備好的三角形紙片，動手操作. 過三角形的頂點[A]翻折紙片，得到折痕[AD]，如圖1所示. 將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（[BD，DC]與桌面接觸），前后桌形成小組觀察并討論折痕[AD]與桌面是否垂直？

【設計意圖】用定義判斷線面垂直難以實現. 因而，尋找簡便可行的判斷方法就成為下一步要研究的內容，這正是思維沖突最為激烈的部分，故而設計了一個學生核心活動. 通過折紙實驗與前后桌小組觀察討論，引領學生在觀察中比較，在比較中發現，當且僅當折痕[AD]是[BC]邊上的高時，且[B，D，C]不在同一直線上時，翻折之后豎起的折痕[AD]才與桌面形成垂直關系，如圖2所示. 否則，不能使[AD]與桌面垂直. 根據這一直觀操作，結合兩條相交直線可以確定一個平面，感知和發現將直線與平面內所有直線都垂直的問題轉化為直線與平面內兩條相交直線垂直的問題的可能性.

學生經過操作，充分觀察、思考與討論后回答.

問題6：當折痕[AD]與[BD，CD]具有怎樣關系時，折痕[AD]與桌面所在的平面垂直？此時[BD]與[CD]所在直線的位置關系是什么？與線面垂直概念的異同點是什么？

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

【設計意圖】感悟線面垂直概念與判定定理之間將無限轉化為有限的可行性，幫助學生理解判定定理的必要性.

簡記：_____________________________.

特別注意：

① 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;

② 定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉化的數學思想.

（4）應用新知，鞏固強化.

練習1：判斷下列命題的真假.

① 如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，那么這條直線和這個平面垂直;

② 如果一條直線垂直于平面內的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直.

練習2：一條直線和三角形的兩邊垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是（? ? ）.

（A）平行 （B）垂直

（C）相交但不垂直 （D）不確定

【設計意圖】通過練習題深化直線與平面垂直的定義和應用.

（5）拓展深化，發現新知.

在變化過程中，斜線與平面的位置關系給我們以怎樣的形象？怎樣定義直線與平面所成的角呢？

直線與平面所成的角：平面的斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

（6）經典題例，解析講評.

例1? 判斷：若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

無師生雙方教學活動設計.

例2? 有一根旗桿[AB]高8 m，它的頂端[A]掛有一條長10 m的繩子，另外還有一把卷尺. 根據這一條件，設計一個檢驗旗桿與地面是否垂直的方案.

操作：如圖4，拉緊繩子并把它的下端固定在地面上的兩點[C，D]處（和旗桿腳不在同一條直線上），如果這兩點與旗桿腳[B]的距離都是6 m，那么旗桿就與地面垂直.

【設計意圖】通過解決實際問題，讓學生更深刻地理解直線與平面垂直的判定定理，加強定理的應用.

例3? 如圖5，三棱錐[P-ABC]中，已知[PA⊥]平面[ABC，BC⊥AC]，求證：[BC⊥平面PAC]. 追問：[BC⊥PC]嗎？怎么得到的？

【設計意圖】通過提供思路，讓學生自主完成線面垂直的證明，讓剛接觸線面垂直的學生不至于不知如何入手，提高學生的興趣. 例3所選的三棱錐模型，也是最常見、最基礎的模型.

例4? 長方體[ABCD-][A1B1C1D1]中，[AB=1]，[BC=3]，[AA1=2]，如圖6所示. 對角線[A1C]與底面[ABCD]所成的角.

【設計意圖】此題是在例3的基礎上做的一點變式應用，目的在于讓學生更熟練和踏實地掌握線面垂直的證明，定理的應用.

（6）回顧小結，提煉升華.

① 線面垂直的定義.（線面垂直，則線線垂直.）

② 線面垂直的判定定理.（線線垂直，線面垂直.）

③ 證明空間垂直問題的關鍵是線面垂直與線線垂直的相互轉化.

④ 重要思想方法：化歸的數學思想.

（7）作業布置.

具體內容略.

四、教學評析與思考

1. 教學實施及評析

從教學錄像來看，教學時長50分鐘，教師引領學生進行了線面垂直和線面角兩個概念的界定，以及線面垂直判定定理的發現、探究和運用. 知識目標包括兩個概念、一個定理;教學過程設計了七個環節，并且通過設計六個問題來銜接和展開. 在問題串的探究中，在概念建構環節，先個別提問2名學生關于現實世界中的線面垂直關系. 在判定定理發現探究環節，先由師生合作演示探究線面垂直關系. 后由學生動手操作翻折三角形，自主探究線面關系. 總體而言，共提問8人，講解6道題目.

在實際教學過程中，教師注重通過使用教具（長方體模型、直尺、直角三角板、三角形、紙片、桌面、

黑板等）引領學生經歷“直觀感知—實驗操作—觀察比較—抽象概括”的探究與發現過程，借助教室的空間結構、教具模型、教材中的旗桿與地面等多個問題情境的觀察比較與歸納猜想引領學生發現線面垂直所需的條件，進而抽象提煉為判定定理. 例如，在線面垂直的判定定理的探究中，先引導學生思考生活中有哪些線面垂直的例子，并觀察和探究教師手中的直尺與黑板存在哪些位置關系，然后小組合作、操作實踐，通過折紙實驗使學生經歷觀察、探究、發現、證明等數學活動. 學生在目標明晰的問題驅動下實驗操作，主動思考，觀察探究，在現實情境中借助幾何直觀和空間想象感知線面位置關系的形態與變化，經歷線面垂直關系的探究與發現過程，感悟實驗、觀察、比較、歸納、概括、轉化，從特殊到一般、由具體到抽象等思想方法在分析和解決問題中的運用，經歷再發現、再創造和解決問題的過程，從中發展歸納猜想和邏輯推理能力，培養比較辨析、發現創新的意識和精神，發展數學來源于實踐并服務于實踐的數學應用意識和價值觀. 值得注意的是，教學中出現了“在變化過程中，斜線與平面的位置關系給我們以怎樣的形象？怎樣定義直線與平面所成的角呢？”的線面角概念建構與例4的應用，超出了本課題的內容和教學目標，增加了學生的學習負擔. 另外，例題偏多，折射出傳統教學急于求成、大運動量練習、在新授課中欲速而不達的強大慣性.

2. 思考與建議

（1）量體裁衣，準確界定教學目標.

教學始于目標的制定，終于目標的達成.《標準》對于本課題明確提出，通過直觀感知、操作確認，歸納出線面平行、垂直的判定定理;能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題. 鑒于數學教學嚴謹與量力相結合的教學原則，本課題只要求學生通過直觀感知抽象出線面垂直的概念，借助幾何直觀歸納出線面垂直的判定定理并能解決簡單的問題. 為此建議教學目標圍繞落實數學學科核心素養和“四基”“四能”，細化如下.

① 借助長方體模型，通過對旗桿和其影子的位置關系及對旗桿的平移實驗與觀察，使學生經歷直線與平面垂直就是直線與平面上的任意（所有）直線都垂直的探究與發現過程，在直觀認識和理解空間線面位置關系的基礎上，抽象出空間直線與平面垂直的概念，發展建構數學概念的活動經驗.

② 通過對實物模型的直觀感知、操作確認，并經歷將三角形紙片翻折后豎起放置在桌面的動手操作和觀察比較、表達與交流等數學探究活動，感悟將空間無限的線線關系判斷轉化為空間有限的（三條）線線關系判斷的必要性與可行性，發現和抽象出線面垂直判定定理;并能用圖形語言、文字語言、符號語言準確表達線面垂直關系，提高學生的空間想象能力、合情推理能力和尺規作圖能力.

③ 經歷直觀感知、操作確認、推理論證、合作交流的數學活動和數學研究過程，體會實驗、觀察、比較、歸納、概括、轉化，從特殊到一般、由具體到抽象等數學思想方法在解決問題中的作用，積累在數學實驗中進行數學發現的活動經驗，并能用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題，提升學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養.

（2）優化教學過程設計.

為達成以上目標，可以運用問題鏈、啟發式、結構化的教學策略，改進教學設計，完善對線面垂直判定的探究.

首先，憶舊迎新，搭建認知的腳手架，形成數學整體觀. 已經研究了線面的哪些關系？哪些概念界定？哪些判斷方法？創設情境，激發認知需求，感悟數學的應用價值：如何檢驗學校操場上的旗桿是否與地面垂直？依據什么？引領學生觀察辨析、直觀感知，發展學生的直觀想象素養，并引領學生進一步觀察[110 m]跨欄視頻中的欄框腳、簡易木架等實物（如圖7所示）的幾何結構特點，嘗試探究一條直線與一個平面垂直的定義，從中發展學生的數學抽象素養.

其次，設問啟發，引領觀察，探究猜想：類似于直線與平面平行的判定，當平面外一條直線垂直于平面內的一條直線，能判定這條直線垂直于該平面嗎？借助幾何直觀、觀察分析和層層遞進的問題串，引發學生的認知需求，發展學生分析和解決問題的能力，感悟將無限轉化為有限的可行性、必要性，發展學生的數學建模素養.

最后，動手操作，實驗確認. 如圖8，學生小組合作，運用準備好的（任意）三角形紙片，進行實驗操作：過[△ABC]的頂點[A]翻折紙片，得到折痕[AD]，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（保持[BD，DC]在桌面內）. 觀察和思考以下問題：折痕[AD]與桌面分別表征什么？如何翻折，線段[AD]與桌面所在的平面為垂直關系？如圖9，假設折痕[A1D1⊥B1C1，] 翻折之后[A1D1⊥][C1D1，A1D1⊥B1D1，] 還成立嗎？這對于問題解決有什么啟示？

在折紙實驗中，會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，通過小組合作和全班交流，辨析比較垂直與不垂直的原因，進而在比較中發現直線與平面垂直的條件，再應用多媒體演示翻折過程，引領學生再次觀察和確認只要保證折痕[AD]是邊[BC]上的高，即[AD⊥BC]，翻折后折痕[AD]就與桌面垂直，進而獲得直線與平面垂直的判定方法，從而發展學生的直觀想象素養和數學抽象能力.

接著，進一步設問啟發，追問：如果一條直線與平面內兩條直線垂直，則直線與平面垂直，成立嗎？借助空間圖形和幾何直觀，引領學生觀察比較、舉例證偽不合理猜想，通過正、反例對比，深化確認，比較辨析，進而獲得和抽象出線面垂直的判定定理;感悟無限轉化為有限、空間線面垂直轉化為空間線線垂直、化未知為已知、化陌生為熟悉的數學轉化思想，培養學生比較辨析、發現創新的意識和精神，感悟數學來源于實踐并服務于實踐的應用價值、科學價值和審美價值.

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收稿日期：2021-07-11

作者簡介：陳靜安（1961— ），女，教授，主要從事數學教育研究.