從教學的時效性談排列組合教學

李曉麗

【摘要】時效性是課堂教學的生命，是指通過教師在一段時間的教學之后，學生所獲得的具體進步或發展。課堂是教師傳授知識的第一陣地，數學學科更是如此。中學“排列與組合”這部分內容，一直是學與教的難點，雖然高考中所占比例不大，但試題均很靈活，得分率也比較低。無論教師還是學生，對所遇到的計數問題，大都對自己算出的結果不自信。針對這一現象，筆者嘗試從教學的時效性，探討學生在學習排列組合的過程中怎樣提高認知水平、思維能力的一些個人想法同各位交流一下。

【關鍵詞】高中數學;排列組合;計數原理;時效性;能力培養

一、教學時效性

時效性是課堂教學的生命，如何提高數學課堂教學的時效性？這是當前數學課教學的一個重要課題。時效性的核心問題就是教學的效益。主要是指通過教師在一段時間的教學之后，學生所獲得的具體進步或發展。學生有無進步或發展是教學有無效益的唯一指標。教學有沒有時效，并不是指教師有沒有教完內容或教得認真不認真，而是指學生有沒有真正學到知識。如果學生不想學或學了沒有收獲，即使教師教得辛苦也是無效教學。同樣，如果學生學得很辛苦，但沒有得到應有的發展，也是無效或低效教學。課堂是教師傳授知識的第一陣地，數學學科更是如此。筆者作為一名教師，想談談在高中排列組合教學中怎樣提高數學課堂教學的時效性。

二、高中排列組合教學時效性低，學生錯誤率高

（一）對分類計數原理和分步計數原理的理解水平不夠

分類計數和分步計數是排列組合最基礎的原理，學生普遍認為簡單，個別題目偏難，是因為學生的分類方法不恰當或分步有偏差。

例1? ?把1、2、3這三個數字填到下面的九宮格內（如圖1），要求同一行，同一列中數字互不相同，問有多少種不同填法？

解析：不妨先填第一行，有A3=6種;從這6種里任選一種固定，比如依次填上1、2、3，對這一種填法，不難發現下面兩行只有2種法填，所以共有A3·2=12（種），學生對此種問題處理時主要困難是不會“固定”。

（二）對排列（數）與組合（數）的定義的理解模糊

例2? 4個人，平均分成2組，有幾種不同的方法？許多學生回答為C4=6（種），原因是他們認為分組就是組合，把組合理解成一個過程，甚至“組合”的詞性也發生了變化，由名詞變成了動詞。對這一點，我更贊成國外一些教科書中對組合的定義：“有限集合叫做組合”。

例如筆者在給高三學生上復習課時給出以下問題：現有6種不同的蔬菜種子，從中選出4種種到4塊不同的地上，每塊地只限種一種種子，問有多少種不同種法，大多數學生回答是：C6·A4，只有個別人回答是：A6 ，盡管答案都對，顯然回答出前面的答案的學生是受到先組后排的解題經驗的影響，從而也從另一側面反映出很多學生對排列數A6的含義并不理解。

對An的解釋是：從n個不同元素中取出m個不同的元素占據m個不同的位置，每個元素一個位置，有An種方法.

例3? 5個相同的球放到3個不同的盒子，每盒至少一個，有多少種放法？

錯誤解答：C5C4C3A2A3+C5C4C2A2A3=150（種），錯誤的原因是沒注意元素為相同的，組合數已沒有意義了。正確解答：C4=6 （種）（隔板法）。

三、高中排列組合教學時效性低的原因分析

學生之所以在這些看似“簡單”的問題上總是錯誤不斷，即便老師講解多次后仍然屢教不改，究其原因是學生在解題時，不會分析題目中的關鍵詞語：如元素是否相同？位置（容器）是否相同？元素是否可重復？屬于哪種組合模式？選擇、分割還是分配？所以我在排列組合應用題教學中，不急于教給學生解各類問題的方法，可先讓學生廣開思路，從不同角度分析問題，再把學生的解題方法匯集起來，然后讓大家討論，哪種方法巧妙，哪種方法帶有一般性，是常用方法。頗有收效，下面我重點就兩個方面談點體會。

四、解決高中排列組合教學時效性低的對策

（一）占位子問題可以讓學生設身處地的實踐

例4? 將編號為1、2、3、4、5的五個小球分別放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子中，要求兩個球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的放法？

為了讓學生參與進來，我將五個學生看作五個小球，五把編號不同的椅子看作五個盒子，再找了一個“排座位者”來安排這五個同學入座。全班同學都在努力的“出謀劃策”，很快大家就找到解決問題的方法。先任選兩位同學坐在與其編號相同的椅子上，剩下的三位同學只有2種坐法。所以不同的放法有C5·2=20種。

這種讓學生“身臨其境”的方法能調動學生的主觀能動性，在完成課堂教學任務的同時，提高了課堂的時效性。

（二）對組合模型的識別可以讓課堂教學事半功倍

簡單的組合結構分成三種模型：即選擇模型、分配模型和分割模型，比較多的老師在講解排列組合問題時，往往回避最基本的模型。在面對不同的問題時，不同的老師分類方法不盡相同，甚至某個老師在不同時間講解某一個問題時，方法也不同。這就會導致學生思維的混亂，在學生做題時很難找到匹配的模式，就是學生學習排列組合應用題難的原因之一。

按三個模型的定義，元素“同”與“不同”，又是兩種本質不同的問題;把三種模式組合，又得到綜合類型的問題，例如：選擇——分配模式、分割——分配模式。

按照此種分類方法，學生對學習排列組合應用題思路比較清晰，筆者按這種分類方法施教的過程中，學生學得比較輕松。中學里的許多經典題目就變為這些模型的實例：

例 5本不同的書，按下列條件，各有多少種分法？

（1）分給甲1本，乙3本;（分割——分配模式）

（2）分成二堆，一堆1本、一堆3本;（分割模式）

（3）分給甲、乙兩人，一人1本、一人3本;（分割——分配模式）

顯然，這種問題分類方法簡單、清晰、易教、易懂。可以擺脫教科書中那個晦澀的定義的干擾，讓學生理解更清晰，當再次遇到這類問題時解題思路不會受阻。在課堂上，引導學生通過觀察、猜測、實驗等手段，讓學生主動探討問題，不僅有利于教師引導，而且也有助于學生形成較高層次的認知，提高邏輯思維能力，激發學習數學的興趣，從而提高我們老師的教學時效性。

【參考文獻】

[1] 淺談高中數學排列組合應用題的幾種常見解法[J].時代教育（教育教學版），2010（8） .

[2] 淺談排列組合教學中數學思維方法的培養. 中國科教創新導刊 2010（4）

[3]? 張書樂.從“排列組合” 到“3G for all”，2009年6月20日

[4]? 葉上雄.中學教育學.北京：高等教育出版社，2005

[5]? 歐陽絳.思維的技巧.北京：當代中國出版社，2002

（責任編輯：王增海）