算理算法有效融合，提高數學運算能力

馮惠玲

【摘要】運算能力是我國數學教育的重要特征之一，是小學生應具備的一種重要的數學能力。在小學數學的教學實踐中將算理與算法有效地融合在一起，可以提高學生的運算能力。算理與算法是運算能力的一體兩翼，缺一不可。算法只是讓學生知其然，而算理可以讓學生在數學的學習中知其所以然。學生只有深入理解了計算中的道理，才能正確地、迅速地、靈活地進行運算。教師在日常教學中，可以實施憶理思法、析理得法、懂理固法、明理展法的有效方法，真正意義上促進學生對算理和算法的關系進行深入的理解和全面的掌握，切實提高運算能力，全面提升學生運算素養。

【關鍵詞】小學數學;算理與算法;有效融合;運算能力

《數學課程標準》（2011年版）指出：“我國基礎教育數學課程一直將運算作為主要內容，運算能力是我國數學教育的重要特征之一。”當前在數學的教學實踐中，有些教師只重視對算法的講解和應用，要求學生機械地把計算法則背下來后再進行反復地練習，學生根本不懂這些算法背后的演繹邏輯是怎樣的，不能靈活地進行運算，這是學生運算能力不強的重要原因。算理與算法是運算能力的一體兩翼，缺一不可。算法只是讓學生知其然，而算理可以讓學生在數學的學習中知其所以然。學生只有深入理解了計算中的道理，才能正確、迅速地進行運算。在計算教學中，教師需要將算理與算法有效融合起來，幫助學生全面掌握算法實然與算理應然內容的深度學習，切實提高學生的運算能力。

一、復習架橋，憶理思法

教師要深層次地理解和掌握教材編排的脈絡與結構，活化教材中的“理”。數學知識是按逐級遞進、螺旋上升的原則編排的，知識間聯系緊密，每個新知都是在舊知的基礎上延伸的。在復習舊知中順勢引出新知的學習，會讓學生在已有學習經驗的遷移中自然打通知識間的關聯通道。因此，在計算教學中，教師要從學生的認知水平和已有經驗出發，注重知識的“生長點”與“延伸點”。找準新知識的“生長點”就像找到了通往新知的橋梁，就像敲開了學生學習新知的思維大門，這樣才能輕松地完成學生對新知的建構過程。教師在教學時要善于挖掘與新知有關的知識，在學生原有的知識基礎上架起通往新知識的橋梁，達到知識的同化與順應，發展學生的運算思維。

例如，在教學北師大版數學二年級下冊第五單元《小小圖書館》（三位數筆算減法）一內容時，教師可以抓住“相同數位要對齊，退一當十”這個三位數減法的算理的生長點，設計復習題：用豎式計算68-29=？學生算完后，再追問學生“筆算兩位數減法的計算方法是怎樣的？”（兩位數減兩位數，相同數位要對齊，從個位減起，個位不夠減就向十位退一當十）并讓學生明白“相同數位對齊”和“個位不夠減就向十位退一當十”的依據是“計數的位值制原則”，不同位置上的數字計數單位不同，表示的意義也不同，因此相同數位上的數字才能相減。讓學生明白為什么要從個位減起，從十位減起不可以嗎？其實對于兩位數不退位減法，從十位減起也是可以的，但對于兩位數退位減法，若從十位減起，“退一”后需要在十位上減少一，學生容易出現錯誤。為減少學生的計算錯誤，才規定“從個位減起”。讓學生在學習新知“筆算三位數減法”前明白了“計數的位值制原則”和“相同單位的數才能相減”的算理，學生很自然地將這個算理與算法遷移到三位數減法的學習中，很容易掌握“筆算三位數減法”的計算方法，并自然地從“個位不夠減向十位退一當十”過渡到“十位不夠減向百位退一當十”。學生在復習回顧中融通說理，既溫理法融合之“故”，又知繼續探究之“新”，為通向新課的算法遷移與理法有效融合架好了橋。學生在理解算理的基礎上進行計算，會算得更準確、更靈活、更合理、更簡潔，有效提高了學生的計算技能。

二、遷移探新，析理得法

計算教學是枯燥乏味的，如果脫離了算理的支撐，計算法則將會支離破碎，學生在學習計算的過程中只有明白了算理與算法，才會靈活、簡便地進行計算，算理為算法提供了理論指導，算法使算理具體化。小學生的思維正處在由具體形象思維向抽象思維過渡的時期，這就構成了小學生思維的形象性與數學知識的抽象性之間的矛盾。解決這一矛盾，就需要教師在教學中借助直觀模型、動手操作等形式為學生理解算理、得出算法提供有效的“腳手架”，可以更深切地明白計算的本質，從而實現算理算法的深度融合，發展學生的運算能力。

1.利用直觀模型，探理得法

在教學北師大版四年級下冊第三單元《買文具》這一內容時，解決第一個問題：一塊橡皮0.2元，買4塊橡皮需要多少元？教師可以利用直觀模型：

讓學生可以從圖中清楚地看到，0.2就是2個0.1，4個0.2是（4×2）個0.1，是0.8，也就是求8個這樣的單位，用乘法計算可以列式為0.2×4=0.8（元），這樣的教學環節的設計，讓算理與算法完美融合在一起，學生明白了其中的算理，就會在以后的計算中減少錯誤，提升了運算思維，提高了運算能力。

2.借助動手操作，析理得法

在教學北師大版三年級下冊第一單元《分橘子》（一位數除兩位數）這一內容時，我們可將學生的①動手操作——分小棒;②口算算理——先算什么再算什么;③豎式算理——先除哪一位，再除哪一位，三者進行緊密結合、環環相扣，最后讓“算理”與“算法”有效融合在一起，提升學生的運算思維。

第一步：解決問題，45個橘子平均分給三個人，每個人分到幾個？學生列出算式為45÷3后，先讓學生拿出小棒代替橘子動手分一分，引導學生先分3捆，每人分到1捆，即10個，30÷3=10;再把剩下的一捆和散著的5根合在一起變成15根，平均分給3個人，每人分到個5桃子，15÷3=5;最后，10+5=15，一共分到15個。

通過動手分一分讓學生明白口算時先算什么，再算什么。

第二步：分完小棒后教師順勢問學生，“以前我們算除法時能一次分完的，在豎式中一步就可以完成，今天45÷3=15，要分兩次才能分完，那么，這道豎式該怎么寫呢？看著你分橘子的過程想一想，怎樣寫才能體現出你分2步分完的道理。引導學生邊寫豎式，邊結合分小棒的過程說說豎式每一步的意思，，先分3捆，即把3個十平均分成3份，每份是1個十，因此1要寫在商的十位上，1乘3個十，得3個十。意思是兩個人第一次分走了30個橘子，接著再用十位上的4減3，等于1個十，再把個位上的5拉下來合在一起變成15繼續分，每個人又分到5個，所以5要寫在商的個位上，兩次合起來共分到15個橘子。結合分小棒的過程，學生逐步掌握了筆算一位數除兩位數，商是兩位數的知識建構，并明白每一步為什么這樣算。在動手操作中學生將知識表象逐步內化，形成清晰的算理。在理解算理的基礎上掌握算法，學生會算得更準確，運算能力會越來越高。

三、借助練習，懂理固法

實現算理算法的有效融合，提高運算能力，除了要讓學生明白算理，掌握算法，還需要一個扎實有效、循序漸進的訓練，需要學生在練習中不斷地理解和內化。在教學中設計具有說理味的練習，有利于學生明白算理并鞏固算法，切實提高運算能力。如，在《分桃子》一課時，可設計以下的練習讓學生理解算理，鞏固算法。每3根小棒可以拼成一個三角形，36根小棒可以拼成多少個三角形？小紅用下面的豎式計算出結果，箭頭所指的表示的是（? ? ? ）

A.已經用去了3根小棒

B.已經用去了6根小棒

C.已經用去了30根小棒

D.已經用去了36根小棒

通過這樣的練習，實現了算理與算法的鞏固內化，并且有效地發展了學生的運算思維，提高了學生靈活應用的能力。又如，在學習了筆算三位數乘兩位數的內容后，可以設計以下練習來理解算理鞏固算法，提高運算能力。

想一想下面豎式中每一步的意思，再填一填。

合理設置算理和算法的課后習題作業，打造數學算法和算理相結合的培養鏈。

四、溝通聯系，明理展法

有效的數學學習不應是碎片化的、點狀式的，而應該是整片化的、構狀式的，要引導學生找到各知識點之間的相互聯系，將同一類的知識點形成一個完整的知識體系，讓學生融會貫通，提升運算能力。

如，在執教《異分母分數加減法》一課，探究的方法時，通過方法一：化成小數計算，=0.5（5個0.1）+0.2 （2個0.1）= 0.7;方法二：通分轉化成同分母分數，，通過對比發現兩種方法都是把相同計數單位相加減。教師抓住轉化與通分之間的聯系，讓學生在轉化、理解算理的基礎上，明白只有單位相同才能直接計算，數的加減法計算的本質就是單位個數的加減。不但幫學生理解了新知，還讓學生明白了整數、小數、分數加減法的算理都是一樣的，打通了知識間的“隔斷墻”，讓學生體會到知識間的密切聯系，對算理的理解、算法的掌握也會更加深入。

農村小學數學運算教學中，只有教師改變了教學觀念，轉變了教學方式，將算理和算法有效地進行融合，才能在真正意義上促進學生對算理和算法的關系進行切實的理解和全面的掌握，才能切實提高運算能力，發展運算素養。

[本文系清遠市陽山縣教育科學“十三五”規劃課題“農村小學數學‘融合型’運算教學的實踐研究”（課題編號：13-2）的研究成果之一]

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京師范大學出版社，2012.

[2]陳婷.實現理法融合 打造說理課堂[J].小學數學教育，2021（3）：19-21.

[3]王榮香.基于整體建構的運算知“法”與明“理”的深度融合——《三位數乘兩位數的筆算》教學實踐與思考[J].考試周刊，2020.

責任編輯? 陳小鳳