立足HPM教學，彰顯數學文化

侯代忠　周作雄

[摘要]HPM以其豐富的數學概念、思想、方法，深邃的人文底蘊，成為課程資源開發的重要載體。立足HPM，對數系教學做出優化和改進，其目的在于激發學生學習興趣，使學生更好地理解數學、開闊視野，發展其數學核心素養，建構其正確的數學觀，同時提升教學質量、彰顯數學文化。

[關鍵詞]HPM;數系教學;數學核心素養;數學文化

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號]2095—3437（2021）01—0048—05

《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》明確界定了核心素養，即學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的品格和關鍵能力。教育部頒發了新的課程標準，把發展學生的核心素養作為貫穿課程標準的主線，《高中數學課程標準》提出了6個核心素養。在課程實施中實現發展學生數學核心素養的目標，成為當下教學研究一個高度關注的問題。

學科核心素養的提出，是從以知識為中心的教學目標向以能力為核心的教學目標的轉型，因而教學也應從單純的以知識教學為主導的教學，向以發展學生能力為主導的教學轉變，其中，文化元素起著十分重要的作用。在這個教育背景下，教學應當做到知識教學與文化教學的有機結合。在數學學科教學中，要培養學生的數學核心素養，必須考慮數學文化，因為它扮演著一個不可缺少的角色。2017年修訂版《普通高中數學課程標準》（以下簡稱標準）頒布，其對數學文化的價值進行了深入詮釋。標準中指出：“數學文化應融入數學教學活動。在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程……提升學生的科學精神、應用意識和人文素養，激發學生的數學學習興趣，不斷提升數學學科核心素養?！?/p>

數學史是數學文化的重要表現之一，它對增強數學文化的滲透，弘揚優秀傳統文化，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養，激發學生的數學學習興趣，讓學生進一步理解數學，開闊視野、提升數學學科核心素養有著非?，F實和深遠的意義。HPM研究已經成為一線數學教師對數學文化與數學知識交互融合產生的新思考，在HPM教學實踐中不斷增強數學學科的課程思政能力，是一個值得廣大教師深入探索回歸數學教育本質的課題。

一、HPM：教學融入數學文化的載體

HPM是History and Pedagogy of Mathematics縮寫，中譯為數學史與數學教育。HPM有兩方面的含義：其一是指HPM國際研究團隊在國際數學教育會議上專門討論數學史和數學教育融合;其二是指這個團隊的研究對象“如何更好地讓數學史與數學教育融合在一起，共同促進學生的核心素養發展”。HPM的功能有宏觀與微觀之分。宏觀上：一是要把握數學發展的脈絡，貫通數學的發展史，加深對數學思想、概念、方法、應用的理解;二是要理清數學學科的關系，有效整合數學學科，體會數學創新創造過程;三是形成對文化的歷史認同感，把數學從課內導向課外，做到內外有機結合;四是強化數學史的文化傳承，提升數學的人文價值。微觀上：一是增強學生的學習動機和主動性，二是幫助學生形成正確的數學價值觀，三是時刻保持和促進學生對數學的學習興趣。其中汪曉勤教授將其總結為：HPM可以激發學生學習數學的興趣，指導并豐富教師的課堂教學，培養學生的數學科學精神，啟發學生的人格成長，促進學生對數學的理解和對數學價值的認識，有效構建數學與人文之間的橋梁。

如何將數學文化元素融入教學中，喻平教授以為，教師在教學設計時要思索三個問題：①為什么要研究這個知識？②怎么研究這個知識？③這個知識有什么價值和意義？思考這三個問題，數學文化的味道就出來了。第一，為什么要研究這個問題？其必定與數學史關聯，要在數學史中追尋謎底。找找產生這個問題的原因，從是社會需求還是數學學科發展需求兩個方面來考量，從而顯現陳香的數學文化。第二，怎么研究這個知識？這當然與數學思想方法密切相關。數學思想方法是文化的精華，通過揭示數學思想方法，弘揚科學家的理性科學精神、求真實務實態度，從而彰顯深奧的數學文化。第三，這個知識有什么價值和意義？要回答這個問題，你就要思考這個知識有什么科學價值，有什么社會、經濟建設應用價值，有什么學科美學價值，有什么思維訓練價值，等等，進而激發出濃郁的數學文化。顯然，考慮前面兩個問題就與HPM產生必然聯系，因此，立足HPM教學是融入數學文化的一個重要載體。

二、數系發展：寫實記錄數學文化的跡印

在中學數學內容中，數的擴充如圖1所示。這是一個簡單的圖示，其實是經歷了一個漫長的歷史過程形成的，里面充滿了許多故事，留下了濃墨重彩的數學文化跡印。

負數產生的歷史。我國古代著名的數學專著《九章算術》中，最早提出了正負數加減法的法則，三國時期的學者劉徽（約225—295年）對《九章算術》作了詳細的注解，并最先給出了正負數的定義。東漢末年劉烘（206年）、宋代楊輝（1261年）也論及了正負數加減法則，元代朱世杰（1249—1314年）除了明確給出了正負數同號異號的加減法則外，還給出了正負數的乘除法則。然而，負數在國外得到認識和被承認比中國要晚得多。在歐洲14世紀最有成就的法國數學家丘凱（NieolasChuquet，1445—1500年）把負數說成是荒謬的數，直到17世紀荷蘭人日拉爾（1629年）才首先認識和使用負數解決幾何問題。

無理數的故事。畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年—公元前500年）是古希臘的大數學家。他證明許多重要的定理，包括后來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股定理）。他提出“萬物皆為數”的觀點。一群畢達哥拉斯的門徒在海上泛舟，其中一位名叫希帕索斯的學者，因為有理數與無理數的爭辯被畢達哥拉斯先生的理論學派的追隨者扔進了海里，溺水而死。一位很有才華的數學家就這樣被奴隸專制制度的學閥們撲滅了。實際上，希帕索斯（Hippasus，約公元前500年）發現了一個驚人的事實：“一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的”（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數），這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭。這次事件后，畢達哥拉斯學派的成員們確實發現不但等腰直角三角形的直角邊無法去量準斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數字是3.14159265358979……更是永遠也無法精確。慢慢地，他們感覺后悔了，后悔殺死希帕索斯的無理行動。他們認識到除有理數之外，還有一些無限的不能循環的小數，這確實是一種新發現的數——應該叫它“無理數”。1872年，德國數學家戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916年）從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，從而結束了無理數被認為“無理”的時代。

虛數的故事。虛數誕生于歐洲文藝復興時期的三次方程求解。我們知道，二次方程可由簡單變換，得到通解公式，當判別式為負值時無解。到了14世紀，數學家開始探索三次方程的求解，這個過程耗費了幾代數學家的心血，直到16世紀的意大利數學家費羅（Scipione del Ferro，1465—1526年），首次得到了標準形式三次方程的通解，但費羅并未把他的解法公布出來，而是帶進了墳墓。另一位數學家豐塔納（N.Fontana，1499—1557年），在1535年得到了同樣的通解公式，和他的前輩費羅一樣，豐塔納也秘密保守他的發現。另外一位數學家卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501—1576年）聽說豐塔納知道三次方程的求解方法，于是去請求他告知三次方程的解法。在卡爾達諾的多次請求下，豐塔納告訴了他求解公式，但并未傳授他公式的推導過程。

然后虛數i，就隱藏在這個看似復雜的公式當中，這個公式蘊涵了一個新數學領域的誕生，它需要一位超級天才去發現。從卡爾達諾的《大衍術》開始，200多年時間中，人們不斷遇到負數的開方問題，但多采用不敢承認和回避的態度，于是虛數一直披著神秘莫測的外衣。到了1797年，威賽爾給出了虛數的圖像表示，后來高斯在平面直角系中創立了點與復數之間的一一對應，并提出用數偶（a，b）來表示a+bi，才確立了復數的合理地位。

這些故事展現了數學真理發現的艱辛歷程，反映了人類文明推進的艱難，同時，更加彰顯了科學家不屈不撓探求真理的執著和為科學獻身的精神。數系的發展史蘊含著豐富的文化元素、厚重的文化積淀，如果不挖掘這種以內隱形式潛藏于知識深層的課程資源，無疑是一種莫大的浪費，是資源的流失。

三、文化融入：數系教學設計的不同形式

HPM融入教學的方法有許多，其中就包括：在新課中運用數學史引入新概念，專門設計講授“數學史”的課，利用歷史上的數學教材設計課堂練習和作業，介紹歷史上數學家成才的故事，舉辦數學歷史主題的班會和討論會，借鑒數學發展歷史設計一個有關數學的教學方法，探索過去的錯誤觀點、另類觀點以幫助今天的學習者理解并解決數學困難，等等。

（一）HPM融入負數的教學設計——根據歷史史實合理改編數學素材

1.情景設計

師：同學們能用以前學過的知識來解決下列問題嗎？

（1）小夢買練習冊一共花了4.5元錢，現在她有了5元錢，她還剩多少幾元？

（2）若小夢手上只有4元錢，她能買到想要的練習冊嗎？為什么？

生：用小夢手中的錢減去本子的價格得：5-4.5=0.5。

師：那么第二問該怎么解答？（引導學生第二個問題也用手中的錢數減去本子的價格）

生：老師，我只會列出式子，不能得出答案：4-4.5=？。

師：其他同學是不是也是這樣的答案，不夠減？

（設計意圖：構造無法計算、不能減的認知沖突，激發學生的求知欲。）

2.數學史介紹

師：大家不會做，其實是很正常的，因為歷史上很多數學家也都曾經被這個問題困擾過。如代數學鼻祖丟番圖（Diophantus，約246—330年），他在其著作《算術》中稱4x+20=4的方程是沒有意義的。同樣，斐波拉契（Fi-bonacci，1175—1250年）在《花朵》中稱方程x+36=33是沒有根據的。如何解決困惑呢？我國古代杰出的數學家劉徽給出了區分的方法。他用正算赤、負算黑來表示。所以我們也可以借用前人的方法，用紅黑顏色的數來加以區別。

我們不妨以較大的數減去較小的數的結果來表示運算結果，只是為了區分，我們用黑色來表示，即把這個結果用黑色的數來表示區別。因此，4-4.5=0.5。

師：那么，以下的式子結果等于什么？0-2=？，0-4=？.0-6=？

生：我是模仿了上面的方法，得2，4，6。

師：我們知道，加法和減法互為逆運算，那么下面運算結果是多少？2+2=？，4+4=？，5+5=？

生：很快得出結果：0。

師：那么，以下式子結果等于什么呢？0-2=？，0-4=7.0-5=？

生：我的答案是：2，4，5。

師：完全正確。我們把這里的這種特殊的黑數稱為負數。而我們原來的數除了0以外的數，稱為正數。負數的表示是在相應的正數前面加符號“-”，例如上面的2，4，6，我們可以表示為：-2，-4，-6。

（設計意圖：這種引入是建立在學生的認知基礎之上的，更能引起學生的興趣，對學生來說，問題解決思路受阻時穿插歷史介紹，能消除負數的神秘感，從而保護學生學習的積極性。）

3.課后引入

老師可以將有關負數的發展歷史史料提供給學生，讓學生對負數有更深的了解。

（設計意圖：將有關負數的發展歷史作為史料提供給學生，進一步破除他們對負數的困惑和恐懼感。）

4.教學反思

（1）數學文化體現了數學家的行為觀念，數學參與是數學文化滲透的重要途徑。本節教學中引導學生借鑒歷史方法，重現歷史上數學大師丟番圖、斐波拉契遇到不夠減的困惑，我國數學家劉徽用正算赤、負算黑來表示引入負數，減法運算毫不例外地可以進行了。讓學生追隨古今中外數學家們的足跡尋找智慧閃光點引出負數，感悟與數學家們一起發現問題的認知過程，困于問題的思維過程，解決問題的創造過程，仿佛數學家就在自己旁邊，讓學生感受到數學家們并不神秘和自己一樣也曾遭遇解不了的問題，喚醒學生數學學習的自覺;數學家們頑強的探索精神，激發學生對數學學習產生更多的認同，當學生學會運用數學的思想方法解決實際問題時，他們就已經觸摸到數學文化的脈搏了。

（2）在數學解題教學中發展核心素養。多數學生對于數的抽象表達難以理解，對于“數不夠用了”出現一定的思維障礙。負數這部分知識在教學中又是一大難點，若教師只是簡單使用傳統的教學方法很難激發學生學習興趣。本設計通過設置認知沖突問題引導學生在經驗基礎上構建以學生為主體的探究方式，培養其數學模型思想，適時融入歷史上數學家被“無法用來度量數的多少”這種情形所困擾，培養其邏輯推理素養，引入我國古代數學家劉徽給出方法探究負數，增強數感，培養數據處理能力，學生對于跟自己國家有關系的研究方法興趣倍增，學生學會“用數學的眼睛看”，形成數學抽象素養。

（二）HPM融入無理數的教學設計——講解數學數學家軼事與生平

1.軼事引入

觀看視頻：讓學生觀看《科學世界》中的視頻，通過視頻中人類如何尋找地球外的生命，以及發射“勾股定理圖”來作為與外星文化取得聯系的信號，來提出本節課需要探究的問題：為什么勾股定理圖可以作為與“外星人”聯系的信號？

（本環節設計意圖：巧妙地引入視頻，激發學生對勾股定理的興趣，以及思考勾股定理有何魅力，可作為外星文明溝通的橋梁。）

插入故事：師：同學們，現在老師給大家介紹一下畢達哥拉斯的故事。（插入前面的“無理數的故事”）

（本環節設計意圖：巧妙地借助無理數的故事，將學生帶入無理數的世界。通過數學史的再現，讓學生感受到數學知識發生的精彩動人歷程，以及體會數學家為數學真知而奮斗甚至獻身的寶貴精神。）

2.動手實踐

師：請學生拿出課前準備好的紙張和剪子，動手剪一剪，拼一拼，設法獲得一個經典的畢達哥拉斯的勾股圖（如圖2所示）。思考這樣一個問題：在直角三角形中，若兩條直角邊長為a，b，斜邊為c，則有a²+b²=c²。若a=1，b=2，則c²=1²+2²，即c²=5，則c是有理數嗎？

師：有理數包括什么？

生：整數和分數。

師：c²=5是整數？是分數？

生：2²=4，3²=9，所以c應該是在2和3之間，故c不是整數。

生：分數不可能，兩個相同的分數相乘都為分數，所以c不可能是分數。

師：回答得很好。我們把上述c²=5中，c既不是整數，又不是分數的數稱之為無理數。

（本環節設計意圖：培養學生動手實踐能力的同時，促進其對畢達哥拉斯學派成就的深入了解，從而給學生普及更多的有人文味的數學。）

3.課后引入

選做題：以小組為單位，讓學生去查閱以及收集無理數相關的數學史料，作為數學知識分享會或者班級數學角的宣傳資料。

（設計意圖：讓學生在查閱無理數的數學史料的過程中，對數學的發展產生熟悉印象和獲得相應的認知，擴大他們在此方面的了解、增加他們的知識面，讓初中階段的學生了解到數學學科中的每一個知識都不是簡單地產生的，從而不斷激發初中階段的學生對數學未來領域的好奇心。）

4.教學反思

（1）數學文化體現數學家的價值觀念，數學家故事是數學文化滲透的重要載體。M·克萊因曾指出，歷史上數學家所遇到的困難正是課堂上學生所遇到的學習障礙。把握時機，有情感地講述“無理數”的悲壯故事，將靜態的數學文化轉化為動態的教學形態的數學文化傳播過程，無形中使數學與學生的心靈距離拉近了，使學生在自己的大腦中建立起數學知識發生、發展的過程，閃光的思想、歷史的脈搏深刻地影響學生，不僅使學生收獲知識，更收獲了隱藏在數學知識發現過程中的思想、方法，濃郁的數學文化熏陶提升理性精神，數學故事性與科學性之間的橋梁架設起來，讓學生形成一種基本的科學和數學文化觀念，數學文化的價值在溯源中得到有效揭示。

（2）在數學知識教學中發展核心素養。數學教學中所涉及的真實歷史不應當只是簡單再現或灌輸式的說教介紹。教師應有意識地對歷史進行適當重建或改造，引導學生通過自己的實踐還原歷史，培養數學建模素養，知道知識發生的前因后果，增強推理能力，認識到一些著名數學家在發現的偉大成就時所經歷的曲折過程。學生的好奇心由潛意識的狀態變為自覺追問的創新意識，達到培養直觀想象素養的目的，從自主探究過程中體驗到解決數學問題的成就感，學生學會“用數學的思維想”，形成邏輯推理素養，思維與表達的教學目標在師生交流與反思中得到呈現。

（三）HPM融入復數教學設計——將數學家的解題方法直接呈現

1.問題引入

師：意大利數學家卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501—1576年）曾經困惑于這樣一個問題：a+b=10，ab=40求a，b？同學們是否可以幫其求解？

師：兩位同學的回答都很棒，但都不是正確答案。那么此方程的答案究竟是怎樣呢？老師先保持一下它的神秘感。2t+4=0，∵△=b²-4ac=2²-4×1×4=-12<0，所以此方程無解。

師：回答得非常不錯，值得表揚。但是很遺憾，沒有回答正確。此方程真的無解嗎？

（設計意圖：通過再引入萊布尼茨對x²+y²=2（x，y>0）的解題困惑，再次激起學生認知沖突。同時讓學生感受到虛數和實數之間存在某種聯系，為學生學習創造動機。）

2.數學史引入

師：我們來看看虛數引入的歷史（插入前面的“虛數故事”）。

（設計意圖：讓學生了解虛數符號的來源，開闊其眼界，避免機械記憶，從而使其形象記憶獲得發展。）

3.課后引入

選做題：以四人一組的形式，讓學生去查閱復數相關的發展史料，下節課圍繞學生收集的內容進一步展開討論以及延伸，最后可收集優秀學生的資料，指導其發表相關數學史論文。

（設計意圖：高中階段的學生已經具備團結、協助能力，讓他們討論、整理以及發表數學史小論文，不僅可以完善其對數系認識的整體框架，還可以填補其數學文化歷程。這一做法有效地激發了學生對于數學文化的探究的熱情以及為數學發展奮斗終生的志向。）

4.教學反思

（1）數學文化體現數學家的思想方法，內化思想是數學文化滲透的重要體現。講故事查史料，小小虛數“i”及創造復數概念的引入在數學史上是一個漫長又富有挑戰的過程，數系的擴充可以看作是一個簡單的人類數學發展史。本節教學思路是通過抽象創造復數概念來滲透數學文化，主要的數學思想方法是類比。從自然數（N）→整數（Z）→有理數（Q）→實數（R）的擴充過程，教師從數學知識自身發展需要和解決實際問題需要出發，引導學生提煉歸納數系擴充的原則、方法，以此為本節知識的生長點，講述“虛數故事”，體會虛數引進的歷史必然性，讓學生借助類比運算，建立復數和復數集（C）概念，深刻感受類比方法在形成數學新概念和研究數學新問題中的重要作用。學生在數學學習與思考中不知不覺地受到數學文化的浸潤。復數的概念學生在多年之后也許會逐漸忘記，但這種數學思想方法的浸潤與思維方式形成的習慣會深深刻在學生的頭腦中，隨時隨地發生作用，彰顯數學文化的力量。

（2）在問題解決教學中發展核心素養。創設情景將前面兩位著名數學家所遇到的困惑擺到學生面前，讓學生以問題驅動追尋知識本源，培養邏輯推理素養。通過問題比較發生“思維碰撞”，以“方程的解是否存在？”這個問題培養學生的數學運算素養，持續追問，借機引導學生追溯歷史深度閱讀史實，培養直觀想象素養;以合作探究的方式經歷發現新知的過程，在借鑒歷史、感悟本源中了解數系擴充的原則和方法，理解虛數單位、復數等概念，回味冥思苦索后的豁然開朗，進而培養數學抽象素養。從特殊到一般、化歸與轉化的數學思想，知識與技能目標在數學史融入的土地中落地生根。學生學會“用數學的語言說”，培養數學建模素養。

四、結語

立足HPM，以前人發展歷程來契合學生學習認知的過程，通過歷史相似性，來增強學生數學文化的提升以及數學觀的建立。數系的發展史蘊含豐富的文化元素、厚重的文化積淀，充分挖掘其價值，有利于學生去觸摸數學知識豐贍的思想、文化和精神意蘊，形成豐碩、曼妙的學研旅程，最終方能照亮學生的數學學習成長道路，發展學生的數學核心素養。HPM視角下的數學教學研究為教學設計提供了一個新的方向，以數系教學為例，就某一板塊具體內容思考怎樣融入數學史的方法，特別是結合數學課程“數學核心素養目標”理解數學史向數學教學滲透的意義，有利于重塑數學課程思政，為數學其他模塊體系化融入數學文化做探索。由于課堂時間有限，精選數學史料、突出思想方法、貼近教材學生、把握時機方式、方法多元多樣、貫通巧妙融入，都需要教師自身數學史及數學文化觀念的積累。教師的史學形態、教育形態、教學形態的轉化與落實都要在課堂教學中檢驗，學生的學習效能應當持續關注。

[責任編輯：林志恒]