小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)選談（之二）

摘要：量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)“領(lǐng)域中具有代表性的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。量感的發(fā)展，要豐富感性經(jīng)驗(yàn)，建立度量意識(shí)，并突出比較操作，刻畫度量單位，同時(shí)將精確測(cè)量與估量相結(jié)合，提升度量能力。符號(hào)意識(shí)的發(fā)展，則要從直觀到抽象，理解符號(hào)的內(nèi)涵，同時(shí)注重比較，感受符號(hào)的簡(jiǎn)潔便利，并在運(yùn)用中體會(huì)符號(hào)的優(yōu)勢(shì)。運(yùn)算能力的發(fā)展，要基于情境，理解算理，掌握算法，并且推理論證，“發(fā)現(xiàn)”算法，同時(shí)培養(yǎng)估算意識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);量感;符號(hào)意識(shí);運(yùn)算能力

本文系宿遷學(xué)院基礎(chǔ)教育研究2021年度專項(xiàng)課題“基礎(chǔ)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展”（編號(hào)：2021jyjc04）、宿遷市教育學(xué)會(huì)“十四五”規(guī)劃2021年度一般課題“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視閾下PBL的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（編號(hào)：XHLX2021256）的階段性研究成果。在《小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)選談（之一）》參見(jiàn)：殷如意，朱沛雨.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)選談（之一）[J].教育研究與評(píng)論，2021（5）。一文中，筆者分別選取了小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域中較具代表性的數(shù)感、空間觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)做了解讀。“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)中占比最多，是根基所在，對(duì)其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)有著重要影響，可以說(shuō)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵領(lǐng)地。因此，本文繼續(xù)選取“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中較為重要的量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力素養(yǎng)加以解讀，并談?wù)劸唧w的發(fā)展路徑。

一、 “量感”及其發(fā)展

（一） 對(duì)“量感”的解讀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中并未單獨(dú)給出“量感”一詞，而是將其作為數(shù)感的一部分，強(qiáng)調(diào)了數(shù)量、數(shù)量關(guān)系，因?yàn)榱扛型ǔＲ栏接跀?shù)的表達(dá)。然而在近十年的數(shù)學(xué)課程、教學(xué)改革推進(jìn)中，“量感”一詞被反復(fù)提起、強(qiáng)調(diào)。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的預(yù)審稿中，“量感”一詞赫然在列，突出了其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、學(xué)生發(fā)展中的獨(dú)特作用。

2021年5月20日，史寧中教授在全國(guó)新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)系列研討會(huì)上強(qiáng)調(diào)，數(shù)感和量感的本質(zhì)都是數(shù)的表達(dá)，但是在談“數(shù)感”時(shí)，可以把數(shù)量中的后綴量詞去掉，而談“量感”時(shí)，計(jì)量單位不可以去掉，數(shù)感表達(dá)的數(shù)與量感表達(dá)的數(shù)本質(zhì)是不一樣的。

何為“量感”？國(guó)內(nèi)對(duì)“量感”概念的解讀一直較為模糊。就字面意思而言，量感同數(shù)感相同，屬于一種直覺(jué)，是個(gè)體對(duì)物體的大小、多少、輕重、厚薄等屬性的直接感受力、辨別力，如螞蟻之小、虎鯨之大，棉花之輕、鐵塊之重等。陳靜.兒童“量感”素養(yǎng)的理性審視、問(wèn)題剖析及培養(yǎng)策略——以三、 四年級(jí)學(xué)生為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2021（10）：6。這樣的理解中，量感包含了個(gè)體對(duì)“量”的直覺(jué)感悟和內(nèi)在推斷。李星云教授從量感發(fā)展的表現(xiàn)出發(fā)，認(rèn)為個(gè)體量感的發(fā)展，應(yīng)表現(xiàn)為能夠感知事物的可測(cè)量屬性及相互關(guān)系;能夠理解度量的現(xiàn)實(shí)意義及統(tǒng)一度量單位的必要性;能夠在現(xiàn)實(shí)世界中恰當(dāng)選用不同度量工具、單位進(jìn)行度量與轉(zhuǎn)化;能夠理解并運(yùn)用估量、估測(cè)。李星云.論小學(xué)生量感的認(rèn)識(shí)及培養(yǎng)策略[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2021（5）：147。這樣的理解，強(qiáng)調(diào)了量的感知、度量技能、估量。孫思雨等人通過(guò)量感與數(shù)感的比較研究，認(rèn)為“量感”是指“學(xué)生關(guān)于量的比較、運(yùn)算和估計(jì)等方面的感悟”。孫思雨，孔企平.“量感”的內(nèi)涵及培養(yǎng)策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（7）：45。這突出了單位之間的換算、比較以及估測(cè)。梁培斌認(rèn)為，“量感”指的是學(xué)生在實(shí)際情境中主動(dòng)地、自覺(jué)地理解和運(yùn)用“量”的態(tài)度和意識(shí)。梁培斌.小學(xué)數(shù)學(xué)量感可視化教學(xué)探索[J].教學(xué)與管理，2019（10）：40。這指出了量感對(duì)個(gè)體敏感性的要求。

比較諸多學(xué)者對(duì)量感概念的研究，越來(lái)越多的學(xué)者將量感獨(dú)立于數(shù)感之外進(jìn)行概念界定，在承認(rèn)量感與數(shù)感依附意義的同時(shí)，更肯定量感自身的發(fā)展價(jià)值。筆者以為，對(duì)于量感的理解，可從三個(gè)方面出發(fā)：一是形成度量意識(shí)，能夠自覺(jué)對(duì)量及其關(guān)系進(jìn)行判斷與推斷;二是理解度量單位，理解不同度量單位的內(nèi)涵及相互關(guān)系，能夠恰當(dāng)選用度量單位及度量工具;三是掌握度量策略，包括精確的度量技能及估量。

（二） “量感”如何發(fā)展

1. 豐富感性經(jīng)驗(yàn)，建立度量意識(shí)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可概括為用數(shù)學(xué)的眼光、思維、語(yǔ)言溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活，其本質(zhì)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生活的一致性——學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠形成一種習(xí)慣、自覺(jué)意識(shí)或是直覺(jué)，當(dāng)生活場(chǎng)景中包含數(shù)學(xué)信息、產(chǎn)生數(shù)學(xué)需求時(shí)，個(gè)體能夠主動(dòng)提取出自身認(rèn)識(shí)中相關(guān)的數(shù)學(xué)信息、問(wèn)題、措施等。因此，促進(jìn)學(xué)生量感發(fā)展的首要因素是基于生活情境的度量意識(shí)培養(yǎng)。

度量意識(shí)的建立尤其要讓學(xué)生從視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)、觸覺(jué)等多個(gè)感官層面感受到量在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍存在，豐富學(xué)生對(duì)于量的感、知覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)、理解不同量的含義與區(qū)別，理解面對(duì)不同的物體、事件、場(chǎng)景要選擇不同類型的度量單位，以及在同一類型度量單位下選擇不同級(jí)別的度量單位和工具。

比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)《比一比》的教學(xué)中，對(duì)于“長(zhǎng)短”“高矮”“輕重”“多少”“遠(yuǎn)近”等事物屬性的量的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生儲(chǔ)備對(duì)量的感性認(rèn)識(shí)的重要契機(jī)，是發(fā)展學(xué)生度量意識(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)看一看、拉一拉、比一比、稱一稱等多樣化的操作活動(dòng)，獲得直觀的、直接的量的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，知道事物的不同屬性可以用不同的方式進(jìn)行量的表達(dá)，了解“長(zhǎng)短”“高矮”“遠(yuǎn)近”的使用區(qū)別。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生使用這些詞來(lái)描繪生活中的事物、現(xiàn)象等，啟發(fā)學(xué)生用度量的眼光、從度量的角度去認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界。

2. 突出比較操作，刻畫度量單位。

在實(shí)際生活中，學(xué)生能夠積累豐富的量的經(jīng)驗(yàn)。而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生要能夠感受到不同量的區(qū)別，要能夠產(chǎn)生統(tǒng)一度量單位的需要，要學(xué)會(huì)選用不同的度量單位與度量工具。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，度量單位概念的形成是學(xué)生量感形成的關(guān)鍵，是學(xué)生基于不同的事物屬性選用度量工具、開(kāi)展度量活動(dòng)的前提。

度量單位概念在學(xué)生頭腦中的刻畫，需要經(jīng)歷由直觀到抽象、由表象到概念的逐步數(shù)學(xué)化、符號(hào)化過(guò)程，即經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程。教師在教學(xué)中要注意通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的度量問(wèn)題情境，啟發(fā)學(xué)生在看一看、比一比、量一量、畫一畫等操作活動(dòng)中，經(jīng)歷選用度量單位、度量工具、度量方法的過(guò)程，幫助學(xué)生形成清晰的度量單位關(guān)系圖。

比如，在質(zhì)量單位“千克和克”的學(xué)習(xí)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷掂一掂、稱一稱、再掂一掂的三步活動(dòng)，初步建立千克的概念，理解1千克到底有多重。第一步，掂一掂。提供體積相仿的薯片、紅棗各一包，學(xué)生通過(guò)掂一掂感受輕與重。基于學(xué)生的直接感受，教師引入“稱一般物體的重量用千克作單位，稱較輕物體的重量用克作單位”。由此，學(xué)生結(jié)合親身體驗(yàn)，實(shí)際比較，理解同是質(zhì)量單位的千克與克的區(qū)別。第二步，稱一稱。學(xué)生在掂一掂的基礎(chǔ)上稱一稱，通過(guò)臺(tái)秤指針的轉(zhuǎn)動(dòng)，建立1千克的概念。第三步，再掂一掂。學(xué)生帶著所建立的1千克的概念，再次掂一掂，將1千克的概念與1千克的重量建立聯(lián)系，感受并體會(huì)1千克的重量。

3. 將精確測(cè)量與估量相結(jié)合，提升度量能力。

精確測(cè)量是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要形成的重要技能，是科學(xué)研究的基礎(chǔ)。而估量是生活測(cè)量的常用方式，估量既是量感發(fā)展的重要手段，也是量感發(fā)展的主要表現(xiàn)。這就要求教師在教學(xué)中首先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)基于不同的問(wèn)題需求選擇不同的測(cè)量方式，組織學(xué)生在實(shí)際的問(wèn)題情境中開(kāi)展估量活動(dòng)、選擇估量策略，提升估量的準(zhǔn)確性。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在不同的問(wèn)題情境中產(chǎn)生精確測(cè)量的需求，恰當(dāng)選用測(cè)量工具，掌握測(cè)量方法。其中，估量能力的發(fā)展，要由外走向內(nèi)，形成一種本能的判斷力，形成“肌肉記憶”。在這個(gè)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上，分析、比較、想象、判斷，由動(dòng)手操作走向深度的動(dòng)腦思考，不斷豐富對(duì)事物量的感受，不斷修正對(duì)量的大小的感覺(jué)，經(jīng)歷理性思辨的思維歷程。陳靜.兒童“量感”素養(yǎng)的理性審視、問(wèn)題剖析及培養(yǎng)策略——以三、 四年級(jí)學(xué)生為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2021（10）：8。在度量能力培養(yǎng)的過(guò)程中，應(yīng)堅(jiān)持估量與精確測(cè)量相促進(jìn)的原則，可引導(dǎo)學(xué)生“先估再量”。這樣，既能夠發(fā)展學(xué)生的估量意識(shí)與能力，也能夠通過(guò)精確結(jié)果驗(yàn)證估量結(jié)果、調(diào)整估量誤差。

比如，在質(zhì)量單位“1千克”的概念建立過(guò)程中，教師可組織學(xué)生在上文三個(gè)步驟的基礎(chǔ)上，開(kāi)展估重和精準(zhǔn)稱重的活動(dòng)，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“1千克”重量的感受，同時(shí)發(fā)展估重與稱重的度量能力。第四步，估一估。學(xué)生在初步建立1千克概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)倒入、取出的反復(fù)活動(dòng)，在塑料袋中裝入大約1千克的大米（通過(guò)掂一掂的方式自主判斷，使重量盡可能接近1千克）。第五步，稱一稱。當(dāng)學(xué)生判斷自己袋子里大米的重量接近1千克后，再稱一稱，得到精確的重量，理解估量與精確測(cè)量的誤差。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生理解：想要購(gòu)買1千克左右的大米時(shí)可以進(jìn)行估量，而想要確定買了多少千克大米、要付多少錢時(shí)，需要精確測(cè)量。

再如，在引導(dǎo)學(xué)生建立“1分鐘”的概念時(shí)，教師可以讓學(xué)生描述1分鐘可以做什么事來(lái)估計(jì)、想象1分鐘的長(zhǎng)短，也可以組織1分鐘的口算活動(dòng)、測(cè)量活動(dòng)來(lái)幫助學(xué)生體會(huì)、驗(yàn)證1分鐘的長(zhǎng)短。

二、 “符號(hào)意識(shí)”及其發(fā)展

（一） 對(duì)“符號(hào)意識(shí)”的解讀

《課標(biāo)》指出，符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：6。這對(duì)個(gè)體符號(hào)意識(shí)發(fā)展的目標(biāo)、具體表現(xiàn)做了闡述。綜合分析國(guó)內(nèi)學(xué)者的相關(guān)研究，關(guān)于符號(hào)意識(shí)的理解也是各有側(cè)重。有人認(rèn)為，符號(hào)意識(shí)的發(fā)展主要表現(xiàn)為用符號(hào)表示和運(yùn)算。王強(qiáng)國(guó).符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵、偏頗及教學(xué)要領(lǐng)[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2019（11）：59。也有人認(rèn)為，符號(hào)意識(shí)是個(gè)體在感知、理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)所表現(xiàn)出的一種主動(dòng)反應(yīng)，或是面對(duì)符號(hào)時(shí)產(chǎn)生的一種復(fù)雜、多維的感覺(jué)，將符號(hào)意識(shí)視為個(gè)體對(duì)符號(hào)的感受和領(lǐng)悟能力。朱立明，胡洪強(qiáng)，馬云鵬.國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)研究：回顧與展望[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2017（2）：72。這種“感悟說(shuō)”將符號(hào)意識(shí)理解為對(duì)符號(hào)的感悟。“悟”往往與潛意識(shí)相關(guān)，而潛意識(shí)指向的是思維的感覺(jué)，而不是思維本身。

對(duì)于符號(hào)意識(shí)的理解，既要從符號(hào)的角度出發(fā)，也應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)意識(shí)的理解，而“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”則應(yīng)該在此基礎(chǔ)上突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。我們知道符號(hào)是一種標(biāo)記，比如文字是記錄語(yǔ)言的符號(hào)，因此符號(hào)是對(duì)某種對(duì)象的標(biāo)記、反映。美國(guó)符號(hào)學(xué)家皮爾士認(rèn)為，符號(hào)包含符號(hào)（symbol）、對(duì)象（object）和解釋（interpretation）三個(gè)主題，對(duì)象是現(xiàn)實(shí)事物或另一個(gè)表征符號(hào)，而符號(hào)與對(duì)象的聯(lián)系基于符號(hào)使用者頭腦中產(chǎn)生的解釋。查爾斯·S.皮爾士.皮爾士論符號(hào)[M].徐鵬，譯.上海：上海譯文出版社，2017：113。這樣的解讀強(qiáng)調(diào)了人在符號(hào)與對(duì)象之間所起到的中介作用，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了符號(hào)是對(duì)某種意識(shí)對(duì)象的意義標(biāo)識(shí)。在心理學(xué)中，將意識(shí)理解為個(gè)體的大腦對(duì)于客觀物質(zhì)世界的反映，是感覺(jué)、思維等各種心理過(guò)程的總和。符號(hào)意識(shí)一般譯為symbol sense，這里的意識(shí)（sense）可包括知覺(jué)、感覺(jué)、思維、想象等多種活動(dòng)。而從數(shù)學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)（知識(shí)、內(nèi)容）本身就由大量的符號(hào)組成的，數(shù)學(xué)符號(hào)是人們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行表達(dá)、運(yùn)算、推理、證明、問(wèn)題解決的核心工具。符號(hào)成就了數(shù)學(xué)，推動(dòng)著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

再結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)、小學(xué)生思維等的具體特點(diǎn)，我們可以將小學(xué)階段的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)理解為學(xué)生在符號(hào)表達(dá)、符號(hào)關(guān)系、符號(hào)運(yùn)算、符號(hào)推理等方面的感受、體會(huì)、理解、運(yùn)用等反映。符號(hào)意識(shí)是一種內(nèi)外相結(jié)合的綜合素養(yǎng)，但可以通過(guò)學(xué)生某些外在的行為加以體現(xiàn)。

（二） “符號(hào)意識(shí)”如何發(fā)展

小學(xué)階段主要涉及元素符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、幾何符號(hào)、結(jié)合符號(hào)、計(jì)量單位符號(hào)、特殊符號(hào)、性質(zhì)符號(hào)、約定符號(hào)等多種類型的符號(hào)。對(duì)于小學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，要注意引導(dǎo)學(xué)生理解符號(hào)的含義、感受符號(hào)的便利，體會(huì)到符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，從而主動(dòng)在數(shù)學(xué)中用符號(hào)、在生活中用符號(hào)。

1. 由直觀到抽象，理解符號(hào)的內(nèi)涵。

有研究強(qiáng)調(diào)，學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)首先要明確符號(hào)的內(nèi)涵，理解符號(hào)的意義。教師在教學(xué)中不能片面地強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的記憶，而要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的意義與本質(zhì)的理解。通過(guò)教學(xué)，學(xué)生應(yīng)能夠理解數(shù)學(xué)符號(hào)所表達(dá)的含義，以及如何運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)內(nèi)容、數(shù)量關(guān)系、推理證明等。

符號(hào)是脫離了種種具體實(shí)際所形成的一種高度概括的語(yǔ)言，具有抽象性。要促使學(xué)生，尤其是小學(xué)生理解抽象的符號(hào)，應(yīng)當(dāng)將這種抽象置于一定的情境中，使其直觀化、具體化、易理解化，促進(jìn)學(xué)生由個(gè)別到一般地理解，完成符號(hào)的抽象。

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的基礎(chǔ)內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域其他內(nèi)容的前提。數(shù)實(shí)際上就是一種元素符號(hào)。數(shù)概念的形成是經(jīng)過(guò)一系列由具體到抽象的過(guò)程，舍棄其他一切非數(shù)量關(guān)系的內(nèi)容后，只保留數(shù)量的關(guān)系所抽象的結(jié)果。李艷琴，宋乃慶.小學(xué)低段數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)策略研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（5）：28。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)、理解元素符號(hào)，要尤其注重從直觀到抽象、從具體到概括的過(guò)程，逐步引導(dǎo)學(xué)生在不同的情境中理解數(shù)的含義、本質(zhì)。

比如，1—10的認(rèn)識(shí)，教師在教學(xué)中要賦予1—10各數(shù)具體的情境和具體的含義，幫助學(xué)生來(lái)抽象其所表示的數(shù)的含義（如提供1個(gè)太陽(yáng)、2只小鳥(niǎo)、3棵大樹(shù)、4朵鮮花等具體情境），同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生自己用1—10各數(shù)來(lái)描述生活中的一些物品。這便是一個(gè)由直觀到抽象、由具體到概括的理解數(shù)字符號(hào)的過(guò)程，能夠加深學(xué)生對(duì)1、2、3等數(shù)字的本質(zhì)內(nèi)涵的理解。

再如，在乘法分配律等運(yùn)算律的教學(xué)中，學(xué)生結(jié)合具體的問(wèn)題情境和計(jì)算得出7×（4+5）=7×4+7×5后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)等式的特點(diǎn)——等號(hào)兩邊的數(shù)字相同，但位置和出現(xiàn)次數(shù)不同，且等號(hào)兩邊的計(jì)算結(jié)果相同，再啟發(fā)學(xué)生盡可能多地列舉出具有一定內(nèi)涵的同類型等式，由此抽象出一般化表達(dá)式a×（b+c）=a×b+a×c。這樣由具體到抽象、由個(gè)別到一般的過(guò)程更利于學(xué)生理解運(yùn)算律的本質(zhì)。

2. 注重比較，感受符號(hào)的簡(jiǎn)潔便利。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中感受符號(hào)的簡(jiǎn)潔、便利，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)接受符號(hào)，體會(huì)符號(hào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的必要性，才能促使學(xué)生自覺(jué)選用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表示。基于數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中往往要經(jīng)歷從個(gè)別到一般的抽象過(guò)程，這種數(shù)學(xué)活動(dòng)本身就利于學(xué)生比較體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的概括性、簡(jiǎn)潔性。高曉娟.發(fā)展符號(hào)意識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J].天津教育，2020（6）：185。

比如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)《數(shù)一數(shù)》時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由畫出實(shí)際物品，到用點(diǎn)表示，再到后續(xù)學(xué)習(xí)中的用數(shù)字表示的過(guò)程。這樣，學(xué)生能夠在逐步數(shù)學(xué)符號(hào)化的過(guò)程中，主動(dòng)比較、體會(huì)、理解數(shù)學(xué)符號(hào)的概括性。

此外，在各種運(yùn)算律的教學(xué)中，也可帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷具有比較性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。如，學(xué)生通過(guò)對(duì)多個(gè)等式的觀察發(fā)現(xiàn)乘法交換律的特點(diǎn)后，可鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言總結(jié)其特點(diǎn)，即“兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，它們的積不變”;在文字表達(dá)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，從而引出a×b=b×a，促使學(xué)生在比較中感受符號(hào)的簡(jiǎn)潔、便利。

需要注意的是，教師在教學(xué)過(guò)程中不要急于將抽象的、符號(hào)化的內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生——缺乏過(guò)程性、體驗(yàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，既不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)、符號(hào)的理解，也不利于學(xué)生在比較中感受符號(hào)的簡(jiǎn)潔性。

3. 在運(yùn)用中體會(huì)符號(hào)的優(yōu)勢(shì)。

熊建平等人在相關(guān)研究中強(qiáng)調(diào)，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)落實(shí)在問(wèn)題解決過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中用符號(hào)抽象概括數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，理解符號(hào)所表達(dá)的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，通過(guò)不同符號(hào)表達(dá)形式之間的轉(zhuǎn)化，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的優(yōu)勢(shì)。熊建平，余芳芳，張紅，等.例談初中符號(hào)意識(shí)教學(xué)[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019（6）：103。同時(shí)，運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律也是《課標(biāo)》對(duì)學(xué)生符號(hào)意識(shí)發(fā)展所提出的要求，即符號(hào)的運(yùn)用既是措施，也是目的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地組織學(xué)生開(kāi)展運(yùn)用符號(hào)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

比如，教學(xué)“含有小括號(hào)的混合運(yùn)算”時(shí)，教師不應(yīng)直接告知學(xué)生在含有小括號(hào)的混合運(yùn)算中要先算小括號(hào)里的，而要引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生對(duì)小括號(hào)的需求，以及對(duì)小括號(hào)作用的深刻理解。教師可以出示問(wèn)題情境：“小明用50元買了一個(gè)10元的文具盒，用剩下的錢去買5元每本的筆記本，可以買幾本？”讓學(xué)生先分步計(jì)算，得到50-10=40（元），40÷5=8（本），并說(shuō)清楚每一步的含義。在此基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生列綜合算式。學(xué)生可能會(huì)列出50-10÷5，教師引導(dǎo)學(xué)生分析：若按照先乘除后加減的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，則結(jié)果與分步計(jì)算的結(jié)果不一樣;若按照題意先算50-10，則不符合運(yùn)算規(guī)則。此時(shí)，學(xué)生自然產(chǎn)生添加某種符號(hào)的需求，小括號(hào)的出現(xiàn)順理成章。

三、 “運(yùn)算能力”及其發(fā)展

（一） 對(duì)“運(yùn)算能力”的解讀

依據(jù)《課標(biāo)》，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：6。崔志翔博士在分析義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)時(shí)用“數(shù)學(xué)運(yùn)算”代替了“運(yùn)算能力”，認(rèn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算是指理解數(shù)、符號(hào)等運(yùn)算對(duì)象，掌握基本運(yùn)算規(guī)律與法則，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算程序與方法，正確求得運(yùn)算結(jié)果。崔志翔，楊作東.義務(wù)教育階段一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021（5）：49。這樣的理解，強(qiáng)調(diào)了算法、運(yùn)算律、算法選擇、運(yùn)算技能，但沒(méi)有強(qiáng)調(diào)算理，忽視了運(yùn)算的內(nèi)在本質(zhì)，容易讓運(yùn)算教學(xué)重結(jié)果輕過(guò)程、重記憶輕理解。黃畢年在解讀運(yùn)算能力時(shí)，強(qiáng)調(diào)了算理與算法的并存，同時(shí)從數(shù)學(xué)的本質(zhì)及特點(diǎn)出發(fā)，得出了“運(yùn)算能力是遵循思維活動(dòng)的路徑，對(duì)運(yùn)算關(guān)系進(jìn)行歸納、類比、演繹，作出數(shù)學(xué)推理的能力”黃畢年.遵循路徑依據(jù)關(guān)系強(qiáng)化推理——對(duì)運(yùn)算能力的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)[J].福建教育，2020（49）：41。這樣的界定。此種理解從運(yùn)算中的思維活動(dòng)出發(fā)，強(qiáng)調(diào)個(gè)體對(duì)數(shù)與數(shù)之間相加等特定數(shù)學(xué)關(guān)系的聯(lián)結(jié)、比較、推理的過(guò)程。筆者以為，運(yùn)算能力的發(fā)展能夠幫助學(xué)生選擇算法，反過(guò)來(lái)，合理選擇運(yùn)算方法、途徑也應(yīng)該成為學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的表現(xiàn)之一。為了發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在嘗試計(jì)算的過(guò)程中理解運(yùn)算的道理（算理），在理解算理的基礎(chǔ)上，概括、總結(jié)、簡(jiǎn)化出算法。運(yùn)算能力的發(fā)展是個(gè)體基于對(duì)數(shù)、符號(hào)等元素的認(rèn)識(shí)，從理解算理、掌握算法到選擇運(yùn)算類型、推理運(yùn)用的全過(guò)程。

（二） “運(yùn)算能力”如何發(fā)展

1. 基于情境，理解算理，掌握算法。

所謂算理，即運(yùn)算的道理。按照知識(shí)分類學(xué)理論，解決的是“為什么”的問(wèn)題。而算法，即運(yùn)算的方法，解決的是“怎么做”的問(wèn)題。運(yùn)算是元素符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)之間的一種相互作用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性。結(jié)合具體的情境，將符號(hào)賦予一定的含義，是較好地幫助學(xué)生理解算理的方法，學(xué)生也更容易在具體的情境中解釋為什么。

比如，蘇教版小學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算》一課，教材創(chuàng)設(shè)了“幼兒園購(gòu)進(jìn)12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)。一共有多少個(gè)？”的問(wèn)題情境，并且通過(guò)直觀的主題圖（見(jiàn)圖1），啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生先算10箱和2箱各有多少個(gè)南瓜，再將它們相加算得總和的拆分計(jì)算方法。這同時(shí)也為學(xué)生理解豎式計(jì)算的運(yùn)算順序做了鋪墊。教學(xué)中要基于24×2=48（個(gè)），24×10=240（個(gè)），240+48=288（個(gè)）的拆分計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生理解24×12豎式計(jì)算的運(yùn)算順序。由圖2可見(jiàn)，豎式計(jì)算的運(yùn)算順序和含義同拆分計(jì)算相同，教師可以基于學(xué)生拆分計(jì)算時(shí)每步計(jì)算的含義，提問(wèn)學(xué)生在豎式計(jì)算的過(guò)程中每一步分別計(jì)算的是什么。由此，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，豎式計(jì)算同樣是先算2箱的個(gè)數(shù)，再算10箱的個(gè)數(shù)，最后相加，幫助學(xué)生理解運(yùn)算的過(guò)程及道理，掌握豎式計(jì)算的方法。

2. 推理論證，“發(fā)現(xiàn)”算法。

運(yùn)算教學(xué)不能只是讓學(xué)生記住算法，還要讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”算法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單的推理猜想、舉例驗(yàn)證、歸納總結(jié)的過(guò)程，促使學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”算法。

比如，在學(xué)生理解了0.8×3=2.4、2.35×3=7.05等小數(shù)乘整數(shù)算式運(yùn)算道理的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察比較“乘數(shù)中小數(shù)的位數(shù)與乘積中小數(shù)的位數(shù)之間的關(guān)系”。學(xué)生可以初步歸納出規(guī)律“乘數(shù)中總共有幾位小數(shù)，乘積中就有幾位小數(shù)”。對(duì)此，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想：是不是所有的小數(shù)乘整數(shù)的算式，都是乘數(shù)中總共有幾位小數(shù)，乘積中就有幾位小數(shù)？讓學(xué)生先猜想4.76×12、2.8×53、103×0.25等算式乘積中的小數(shù)位數(shù)，再通過(guò)計(jì)算器計(jì)算加以驗(yàn)證，從而“發(fā)現(xiàn)”算法。

再如，在“有趣的乘法計(jì)算”教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)算式（見(jiàn)圖3）本身的特點(diǎn)“都是兩位數(shù)乘11”，然后鼓勵(lì)學(xué)生計(jì)算，將乘積與乘數(shù)進(jìn)行比較，初步發(fā)現(xiàn)乘積的規(guī)律“積的個(gè)位與第一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位相同，積的百位與第一個(gè)乘數(shù)的十位相同，積的十位為第一個(gè)乘數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)相加之和”。由此，鼓勵(lì)學(xué)生猜想是不是所有的兩位數(shù)乘11的計(jì)算結(jié)果都具有這樣的規(guī)律，并讓學(xué)生多舉一些同類型的算式進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證（注意乘數(shù)個(gè)位與十位上的數(shù)相加之和大于等于十的情況），從而得到“兩頭一拉，中間相加，滿十進(jìn)一”的算法規(guī)律。

3. 培養(yǎng)估算意識(shí)。

估算主要是指通過(guò)數(shù)量的近似湊整，獲得計(jì)算的大致結(jié)果或范圍。雖然估算的計(jì)算結(jié)果不夠精確，但計(jì)算過(guò)程卻十分便捷。它不僅在生活中有廣泛的應(yīng)用（很多時(shí)候并不需要精確結(jié)果），而且在數(shù)學(xué)中也有重要的作用（如試商、比大小、檢驗(yàn)結(jié)果等）;同時(shí)，它也是培養(yǎng)運(yùn)算能力以及思維靈活性的重要途徑與方法。在估算教學(xué)中，幫助學(xué)生掌握估算的方法不難（基本的思路就是近似湊整），難的是培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和習(xí)慣。因?yàn)橛?jì)算或解決問(wèn)題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生的第一反應(yīng)是精確算出結(jié)果。歸根結(jié)底，這和教材的內(nèi)容設(shè)置有關(guān)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，精確計(jì)算占了95%以上，估算只占不到5%。長(zhǎng)期接觸和訓(xùn)練精確計(jì)算，學(xué)生自然缺失了估算的意識(shí)和習(xí)慣。因此，教師應(yīng)該從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)估算情境，提供估算的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在真實(shí)的經(jīng)歷體驗(yàn)中，培養(yǎng)估算意識(shí)和習(xí)慣，提升估算能力。

比如，教師通過(guò)呈現(xiàn)“小明去商店購(gòu)買牛奶、面包、雞蛋，牛奶為1.5元，雞蛋1.29元，面包1.44元，什么情況下使用估算比精算更有意義？A. 當(dāng)收銀員將每種食品的價(jià)格輸入收銀機(jī)時(shí);B. 當(dāng)小明被告知應(yīng)付多少錢時(shí);C. 當(dāng)收銀員計(jì)算小明所付的費(fèi)用時(shí);D. 當(dāng)小明試圖確認(rèn)5元是否夠用時(shí)”的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生理解估算的意義與使用。

再如，教師設(shè)置“西瓜每箱48元，買4箱，帶200元夠不夠？”的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生理解可以將48看作與之相接近的整十?dāng)?shù)50進(jìn)行計(jì)算，50×4=200，而48<50，所以48×4<200，因此帶200元夠用。通過(guò)這樣的過(guò)程經(jīng)歷，幫助學(xué)生掌握估算的方法，感受估算的便捷與價(jià)值，樹(shù)立運(yùn)用估算的意識(shí)。（殷如意，宿遷學(xué)院教育系。主要研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)。）