小學數學核心素養選談（之二）

摘要：量感、符號意識、運算能力是小學數學“數與代數“領域中具有代表性的數學核心素養。量感的發展，要豐富感性經驗，建立度量意識，并突出比較操作，刻畫度量單位，同時將精確測量與估量相結合，提升度量能力。符號意識的發展，則要從直觀到抽象，理解符號的內涵，同時注重比較，感受符號的簡潔便利，并在運用中體會符號的優勢。運算能力的發展，要基于情境，理解算理，掌握算法，并且推理論證，“發現”算法，同時培養估算意識。

關鍵詞：數學核心素養;量感;符號意識;運算能力

本文系宿遷學院基礎教育研究2021年度專項課題“基礎教育階段學生數學學科核心素養的培養與發展”（編號：2021jyjc04）、宿遷市教育學會“十四五”規劃2021年度一般課題“數學學科核心素養視閾下PBL的小學數學教學設計研究”（編號：XHLX2021256）的階段性研究成果。在《小學數學核心素養選談（之一）》參見：殷如意，朱沛雨.小學數學核心素養選談（之一）[J].教育研究與評論，2021（5）。一文中，筆者分別選取了小學數學“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”領域中較具代表性的數感、空間觀念、數據觀念、應用意識做了解讀。“數與代數”領域內容在小學數學中占比最多，是根基所在，對其他領域的學習有著重要影響，可以說是培養學生數學核心素養的關鍵領地。因此，本文繼續選取“數與代數”領域中較為重要的量感、符號意識、運算能力素養加以解讀，并談談具體的發展路徑。

一、 “量感”及其發展

（一） 對“量感”的解讀

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中并未單獨給出“量感”一詞，而是將其作為數感的一部分，強調了數量、數量關系，因為量感通常依附于數的表達。然而在近十年的數學課程、教學改革推進中，“量感”一詞被反復提起、強調。義務教育數學課程標準修訂的預審稿中，“量感”一詞赫然在列，突出了其在數學學習、學生發展中的獨特作用。

2021年5月20日，史寧中教授在全國新世紀小學數學課程與教學系列研討會上強調，數感和量感的本質都是數的表達，但是在談“數感”時，可以把數量中的后綴量詞去掉，而談“量感”時，計量單位不可以去掉，數感表達的數與量感表達的數本質是不一樣的。

何為“量感”？國內對“量感”概念的解讀一直較為模糊。就字面意思而言，量感同數感相同，屬于一種直覺，是個體對物體的大小、多少、輕重、厚薄等屬性的直接感受力、辨別力，如螞蟻之小、虎鯨之大，棉花之輕、鐵塊之重等。陳靜.兒童“量感”素養的理性審視、問題剖析及培養策略——以三、 四年級學生為例[J].小學教學研究，2021（10）：6。這樣的理解中，量感包含了個體對“量”的直覺感悟和內在推斷。李星云教授從量感發展的表現出發，認為個體量感的發展，應表現為能夠感知事物的可測量屬性及相互關系;能夠理解度量的現實意義及統一度量單位的必要性;能夠在現實世界中恰當選用不同度量工具、單位進行度量與轉化;能夠理解并運用估量、估測。李星云.論小學生量感的認識及培養策略[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2021（5）：147。這樣的理解，強調了量的感知、度量技能、估量。孫思雨等人通過量感與數感的比較研究，認為“量感”是指“學生關于量的比較、運算和估計等方面的感悟”。孫思雨，孔企平.“量感”的內涵及培養策略[J].小學數學教師，2021（7）：45。這突出了單位之間的換算、比較以及估測。梁培斌認為，“量感”指的是學生在實際情境中主動地、自覺地理解和運用“量”的態度和意識。梁培斌.小學數學量感可視化教學探索[J].教學與管理，2019（10）：40。這指出了量感對個體敏感性的要求。

比較諸多學者對量感概念的研究，越來越多的學者將量感獨立于數感之外進行概念界定，在承認量感與數感依附意義的同時，更肯定量感自身的發展價值。筆者以為，對于量感的理解，可從三個方面出發：一是形成度量意識，能夠自覺對量及其關系進行判斷與推斷;二是理解度量單位，理解不同度量單位的內涵及相互關系，能夠恰當選用度量單位及度量工具;三是掌握度量策略，包括精確的度量技能及估量。

（二） “量感”如何發展

1. 豐富感性經驗，建立度量意識。

數學核心素養可概括為用數學的眼光、思維、語言溝通數學與現實生活，其本質強調了數學與生活的一致性——學生通過數學學習能夠形成一種習慣、自覺意識或是直覺，當生活場景中包含數學信息、產生數學需求時，個體能夠主動提取出自身認識中相關的數學信息、問題、措施等。因此，促進學生量感發展的首要因素是基于生活情境的度量意識培養。

度量意識的建立尤其要讓學生從視覺、聽覺、觸覺等多個感官層面感受到量在現實生活中的普遍存在，豐富學生對于量的感、知覺經驗，讓學生體驗、理解不同量的含義與區別，理解面對不同的物體、事件、場景要選擇不同類型的度量單位，以及在同一類型度量單位下選擇不同級別的度量單位和工具。

比如，蘇教版小學數學一年級上冊《比一比》的教學中，對于“長短”“高矮”“輕重”“多少”“遠近”等事物屬性的量的認識，是學生儲備對量的感性認識的重要契機，是發展學生度量意識的基礎。教學中，教師要引導學生通過看一看、拉一拉、比一比、稱一稱等多樣化的操作活動，獲得直觀的、直接的量的認識基礎，知道事物的不同屬性可以用不同的方式進行量的表達，了解“長短”“高矮”“遠近”的使用區別。同時，引導學生使用這些詞來描繪生活中的事物、現象等，啟發學生用度量的眼光、從度量的角度去認識現實世界。

2. 突出比較操作，刻畫度量單位。

在實際生活中，學生能夠積累豐富的量的經驗。而在數學學習的過程中，學生要能夠感受到不同量的區別，要能夠產生統一度量單位的需要，要學會選用不同的度量單位與度量工具。數學學習中，度量單位概念的形成是學生量感形成的關鍵，是學生基于不同的事物屬性選用度量工具、開展度量活動的前提。

度量單位概念在學生頭腦中的刻畫，需要經歷由直觀到抽象、由表象到概念的逐步數學化、符號化過程，即經歷“再創造”的過程。教師在教學中要注意通過創設真實的度量問題情境，啟發學生在看一看、比一比、量一量、畫一畫等操作活動中，經歷選用度量單位、度量工具、度量方法的過程，幫助學生形成清晰的度量單位關系圖。

比如，在質量單位“千克和克”的學習中，教師可引導學生經歷掂一掂、稱一稱、再掂一掂的三步活動，初步建立千克的概念，理解1千克到底有多重。第一步，掂一掂。提供體積相仿的薯片、紅棗各一包，學生通過掂一掂感受輕與重。基于學生的直接感受，教師引入“稱一般物體的重量用千克作單位，稱較輕物體的重量用克作單位”。由此，學生結合親身體驗，實際比較，理解同是質量單位的千克與克的區別。第二步，稱一稱。學生在掂一掂的基礎上稱一稱，通過臺秤指針的轉動，建立1千克的概念。第三步，再掂一掂。學生帶著所建立的1千克的概念，再次掂一掂，將1千克的概念與1千克的重量建立聯系，感受并體會1千克的重量。

3. 將精確測量與估量相結合，提升度量能力。

精確測量是數學學習需要形成的重要技能，是科學研究的基礎。而估量是生活測量的常用方式，估量既是量感發展的重要手段，也是量感發展的主要表現。這就要求教師在教學中首先引導學生學會基于不同的問題需求選擇不同的測量方式，組織學生在實際的問題情境中開展估量活動、選擇估量策略，提升估量的準確性。同時，引導學生在不同的問題情境中產生精確測量的需求，恰當選用測量工具，掌握測量方法。其中，估量能力的發展，要由外走向內，形成一種本能的判斷力，形成“肌肉記憶”。在這個過程中，要引導學生在操作的基礎上，分析、比較、想象、判斷，由動手操作走向深度的動腦思考，不斷豐富對事物量的感受，不斷修正對量的大小的感覺，經歷理性思辨的思維歷程。陳靜.兒童“量感”素養的理性審視、問題剖析及培養策略——以三、 四年級學生為例[J].小學教學研究，2021（10）：8。在度量能力培養的過程中，應堅持估量與精確測量相促進的原則，可引導學生“先估再量”。這樣，既能夠發展學生的估量意識與能力，也能夠通過精確結果驗證估量結果、調整估量誤差。

比如，在質量單位“1千克”的概念建立過程中，教師可組織學生在上文三個步驟的基礎上，開展估重和精準稱重的活動，進一步加強學生對“1千克”重量的感受，同時發展估重與稱重的度量能力。第四步，估一估。學生在初步建立1千克概念的基礎上，通過倒入、取出的反復活動，在塑料袋中裝入大約1千克的大米（通過掂一掂的方式自主判斷，使重量盡可能接近1千克）。第五步，稱一稱。當學生判斷自己袋子里大米的重量接近1千克后，再稱一稱，得到精確的重量，理解估量與精確測量的誤差。同時，引導學生理解：想要購買1千克左右的大米時可以進行估量，而想要確定買了多少千克大米、要付多少錢時，需要精確測量。

再如，在引導學生建立“1分鐘”的概念時，教師可以讓學生描述1分鐘可以做什么事來估計、想象1分鐘的長短，也可以組織1分鐘的口算活動、測量活動來幫助學生體會、驗證1分鐘的長短。

二、 “符號意識”及其發展

（一） 對“符號意識”的解讀

《課標》指出，符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律;知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：6。這對個體符號意識發展的目標、具體表現做了闡述。綜合分析國內學者的相關研究，關于符號意識的理解也是各有側重。有人認為，符號意識的發展主要表現為用符號表示和運算。王強國.符號意識的內涵、偏頗及教學要領[J].中小學教師培訓，2019（11）：59。也有人認為，符號意識是個體在感知、理解、運用數學符號時所表現出的一種主動反應，或是面對符號時產生的一種復雜、多維的感覺，將符號意識視為個體對符號的感受和領悟能力。朱立明，胡洪強，馬云鵬.國內外數學符號意識研究：回顧與展望[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2017（2）：72。這種“感悟說”將符號意識理解為對符號的感悟。“悟”往往與潛意識相關，而潛意識指向的是思維的感覺，而不是思維本身。

對于符號意識的理解，既要從符號的角度出發，也應強調對意識的理解，而“數學符號意識”則應該在此基礎上突出數學的本質。我們知道符號是一種標記，比如文字是記錄語言的符號，因此符號是對某種對象的標記、反映。美國符號學家皮爾士認為，符號包含符號（symbol）、對象（object）和解釋（interpretation）三個主題，對象是現實事物或另一個表征符號，而符號與對象的聯系基于符號使用者頭腦中產生的解釋。查爾斯·S.皮爾士.皮爾士論符號[M].徐鵬，譯.上海：上海譯文出版社，2017：113。這樣的解讀強調了人在符號與對象之間所起到的中介作用，同時也強調了符號是對某種意識對象的意義標識。在心理學中，將意識理解為個體的大腦對于客觀物質世界的反映，是感覺、思維等各種心理過程的總和。符號意識一般譯為symbol sense，這里的意識（sense）可包括知覺、感覺、思維、想象等多種活動。而從數學的角度看，數學（知識、內容）本身就由大量的符號組成的，數學符號是人們在數學領域進行表達、運算、推理、證明、問題解決的核心工具。符號成就了數學，推動著數學科學的發展。

再結合小學數學、小學生思維等的具體特點，我們可以將小學階段的數學符號意識理解為學生在符號表達、符號關系、符號運算、符號推理等方面的感受、體會、理解、運用等反映。符號意識是一種內外相結合的綜合素養，但可以通過學生某些外在的行為加以體現。

（二） “符號意識”如何發展

小學階段主要涉及元素符號、運算符號、關系符號、幾何符號、結合符號、計量單位符號、特殊符號、性質符號、約定符號等多種類型的符號。對于小學生符號意識的培養，要注意引導學生理解符號的含義、感受符號的便利，體會到符號是數學的語言，從而主動在數學中用符號、在生活中用符號。

1. 由直觀到抽象，理解符號的內涵。

有研究強調，學生符號意識的培養首先要明確符號的內涵，理解符號的意義。教師在教學中不能片面地強調學生對數學符號的記憶，而要注重引導學生對數學符號的意義與本質的理解。通過教學，學生應能夠理解數學符號所表達的含義，以及如何運用數學符號表達內容、數量關系、推理證明等。

符號是脫離了種種具體實際所形成的一種高度概括的語言，具有抽象性。要促使學生，尤其是小學生理解抽象的符號，應當將這種抽象置于一定的情境中，使其直觀化、具體化、易理解化，促進學生由個別到一般地理解，完成符號的抽象。

“數的認識”是“數與代數”領域的基礎內容，是學生學習“數與代數”領域其他內容的前提。數實際上就是一種元素符號。數概念的形成是經過一系列由具體到抽象的過程，舍棄其他一切非數量關系的內容后，只保留數量的關系所抽象的結果。李艷琴，宋乃慶.小學低段數學符號意識的培養策略研究[J].數學教育學報，2016（5）：28。在小學數學教學中引導學生認識數、理解元素符號，要尤其注重從直觀到抽象、從具體到概括的過程，逐步引導學生在不同的情境中理解數的含義、本質。

比如，1—10的認識，教師在教學中要賦予1—10各數具體的情境和具體的含義，幫助學生來抽象其所表示的數的含義（如提供1個太陽、2只小鳥、3棵大樹、4朵鮮花等具體情境），同時鼓勵學生自己用1—10各數來描述生活中的一些物品。這便是一個由直觀到抽象、由具體到概括的理解數字符號的過程，能夠加深學生對1、2、3等數字的本質內涵的理解。

再如，在乘法分配律等運算律的教學中，學生結合具體的問題情境和計算得出7×（4+5）=7×4+7×5后，教師引導學生觀察發現等式的特點——等號兩邊的數字相同，但位置和出現次數不同，且等號兩邊的計算結果相同，再啟發學生盡可能多地列舉出具有一定內涵的同類型等式，由此抽象出一般化表達式a×（b+c）=a×b+a×c。這樣由具體到抽象、由個別到一般的過程更利于學生理解運算律的本質。

2. 注重比較，感受符號的簡潔便利。

在小學數學教學中，教師要引導學生在對比中感受符號的簡潔、便利，啟發學生主動接受符號，體會符號在數學學習中的必要性，才能促使學生自覺選用恰當的符號表示。基于數學本身的特點，學生在數學學習的過程中往往要經歷從個別到一般的抽象過程，這種數學活動本身就利于學生比較體會數學符號的概括性、簡潔性。高曉娟.發展符號意識，提升數學素養[J].天津教育，2020（6）：185。

比如，教學蘇教版小學數學一年級上冊《數一數》時，教師引導學生經歷由畫出實際物品，到用點表示，再到后續學習中的用數字表示的過程。這樣，學生能夠在逐步數學符號化的過程中，主動比較、體會、理解數學符號的概括性。

此外，在各種運算律的教學中，也可帶領學生經歷具有比較性的學習活動。如，學生通過對多個等式的觀察發現乘法交換律的特點后，可鼓勵學生用自己的語言總結其特點，即“兩個數相乘，交換因數的位置，它們的積不變”;在文字表達的基礎上，讓學生用符號進行表達，從而引出a×b=b×a，促使學生在比較中感受符號的簡潔、便利。

需要注意的是，教師在教學過程中不要急于將抽象的、符號化的內容呈現給學生——缺乏過程性、體驗性的數學學習，既不利于學生對所學知識、符號的理解，也不利于學生在比較中感受符號的簡潔性。

3. 在運用中體會符號的優勢。

熊建平等人在相關研究中強調，符號意識的培養應落實在問題解決過程中，引導學生在具體情境中用符號抽象概括數量關系、變化規律，在解決問題的過程中，理解符號所表達的數量關系、變化規律，通過不同符號表達形式之間的轉化，感受數學符號的優勢。熊建平，余芳芳，張紅，等.例談初中符號意識教學[J].湖州師范學院學報，2019（6）：103。同時，運用符號表示數、數量關系和變化規律也是《課標》對學生符號意識發展所提出的要求，即符號的運用既是措施，也是目的。因此，在小學數學教學中，教師應有意識地組織學生開展運用符號的學習活動。

比如，教學“含有小括號的混合運算”時，教師不應直接告知學生在含有小括號的混合運算中要先算小括號里的，而要引導學生在解決問題的過程中產生對小括號的需求，以及對小括號作用的深刻理解。教師可以出示問題情境：“小明用50元買了一個10元的文具盒，用剩下的錢去買5元每本的筆記本，可以買幾本？”讓學生先分步計算，得到50-10=40（元），40÷5=8（本），并說清楚每一步的含義。在此基礎上，鼓勵學生列綜合算式。學生可能會列出50-10÷5，教師引導學生分析：若按照先乘除后加減的運算規則進行計算，則結果與分步計算的結果不一樣;若按照題意先算50-10，則不符合運算規則。此時，學生自然產生添加某種符號的需求，小括號的出現順理成章。

三、 “運算能力”及其發展

（一） 對“運算能力”的解讀

依據《課標》，運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：6。崔志翔博士在分析義務教育階段的數學核心素養時用“數學運算”代替了“運算能力”，認為數學運算是指理解數、符號等運算對象，掌握基本運算規律與法則，選擇合理簡潔的運算程序與方法，正確求得運算結果。崔志翔，楊作東.義務教育階段一個數學核心素養的評價框架[J].數學教育學報，2021（5）：49。這樣的理解，強調了算法、運算律、算法選擇、運算技能，但沒有強調算理，忽視了運算的內在本質，容易讓運算教學重結果輕過程、重記憶輕理解。黃畢年在解讀運算能力時，強調了算理與算法的并存，同時從數學的本質及特點出發，得出了“運算能力是遵循思維活動的路徑，對運算關系進行歸納、類比、演繹，作出數學推理的能力”黃畢年.遵循路徑依據關系強化推理——對運算能力的本質性認識[J].福建教育，2020（49）：41。這樣的界定。此種理解從運算中的思維活動出發，強調個體對數與數之間相加等特定數學關系的聯結、比較、推理的過程。筆者以為，運算能力的發展能夠幫助學生選擇算法，反過來，合理選擇運算方法、途徑也應該成為學生運算能力發展的表現之一。為了發展學生的運算能力，應該引導學生在嘗試計算的過程中理解運算的道理（算理），在理解算理的基礎上，概括、總結、簡化出算法。運算能力的發展是個體基于對數、符號等元素的認識，從理解算理、掌握算法到選擇運算類型、推理運用的全過程。

（二） “運算能力”如何發展

1. 基于情境，理解算理，掌握算法。

所謂算理，即運算的道理。按照知識分類學理論，解決的是“為什么”的問題。而算法，即運算的方法，解決的是“怎么做”的問題。運算是元素符號、運算符號之間的一種相互作用，充分體現了數學的抽象性。結合具體的情境，將符號賦予一定的含義，是較好地幫助學生理解算理的方法，學生也更容易在具體的情境中解釋為什么。

比如，蘇教版小學三年級下冊《兩位數乘兩位數的豎式計算》一課，教材創設了“幼兒園購進12箱迷你南瓜，每箱24個。一共有多少個？”的問題情境，并且通過直觀的主題圖（見圖1），啟發學生產生先算10箱和2箱各有多少個南瓜，再將它們相加算得總和的拆分計算方法。這同時也為學生理解豎式計算的運算順序做了鋪墊。教學中要基于24×2=48（個），24×10=240（個），240+48=288（個）的拆分計算，引導學生理解24×12豎式計算的運算順序。由圖2可見，豎式計算的運算順序和含義同拆分計算相同，教師可以基于學生拆分計算時每步計算的含義，提問學生在豎式計算的過程中每一步分別計算的是什么。由此，引導學生認識到，豎式計算同樣是先算2箱的個數，再算10箱的個數，最后相加，幫助學生理解運算的過程及道理，掌握豎式計算的方法。

2. 推理論證，“發現”算法。

運算教學不能只是讓學生記住算法，還要讓學生“發現”算法。小學數學教學中，教師應引導學生經歷簡單的推理猜想、舉例驗證、歸納總結的過程，促使學生“發現”算法。

比如，在學生理解了0.8×3=2.4、2.35×3=7.05等小數乘整數算式運算道理的基礎上，教師可以引導學生觀察比較“乘數中小數的位數與乘積中小數的位數之間的關系”。學生可以初步歸納出規律“乘數中總共有幾位小數，乘積中就有幾位小數”。對此，教師要鼓勵學生大膽猜想：是不是所有的小數乘整數的算式，都是乘數中總共有幾位小數，乘積中就有幾位小數？讓學生先猜想4.76×12、2.8×53、103×0.25等算式乘積中的小數位數，再通過計算器計算加以驗證，從而“發現”算法。

再如，在“有趣的乘法計算”教學中，教師首先引導學生觀察比較，發現算式（見圖3）本身的特點“都是兩位數乘11”，然后鼓勵學生計算，將乘積與乘數進行比較，初步發現乘積的規律“積的個位與第一個乘數的個位相同，積的百位與第一個乘數的十位相同，積的十位為第一個乘數個位與十位上的數相加之和”。由此，鼓勵學生猜想是不是所有的兩位數乘11的計算結果都具有這樣的規律，并讓學生多舉一些同類型的算式進行計算驗證（注意乘數個位與十位上的數相加之和大于等于十的情況），從而得到“兩頭一拉，中間相加，滿十進一”的算法規律。

3. 培養估算意識。

估算主要是指通過數量的近似湊整，獲得計算的大致結果或范圍。雖然估算的計算結果不夠精確，但計算過程卻十分便捷。它不僅在生活中有廣泛的應用（很多時候并不需要精確結果），而且在數學中也有重要的作用（如試商、比大小、檢驗結果等）;同時，它也是培養運算能力以及思維靈活性的重要途徑與方法。在估算教學中，幫助學生掌握估算的方法不難（基本的思路就是近似湊整），難的是培養學生的估算意識和習慣。因為計算或解決問題時，大多數學生的第一反應是精確算出結果。歸根結底，這和教材的內容設置有關：小學數學教材中，精確計算占了95%以上，估算只占不到5%。長期接觸和訓練精確計算，學生自然缺失了估算的意識和習慣。因此，教師應該從學生的現實生活經驗出發，創設估算情境，提供估算的機會，讓學生在真實的經歷體驗中，培養估算意識和習慣，提升估算能力。

比如，教師通過呈現“小明去商店購買牛奶、面包、雞蛋，牛奶為1.5元，雞蛋1.29元，面包1.44元，什么情況下使用估算比精算更有意義？A. 當收銀員將每種食品的價格輸入收銀機時;B. 當小明被告知應付多少錢時;C. 當收銀員計算小明所付的費用時;D. 當小明試圖確認5元是否夠用時”的問題情境，引導學生理解估算的意義與使用。

再如，教師設置“西瓜每箱48元，買4箱，帶200元夠不夠？”的問題情境，引導學生理解可以將48看作與之相接近的整十數50進行計算，50×4=200，而48<50，所以48×4<200，因此帶200元夠用。通過這樣的過程經歷，幫助學生掌握估算的方法，感受估算的便捷與價值，樹立運用估算的意識。（殷如意，宿遷學院教育系。主要研究方向：小學數學教育教學。）