結構化視角下“集合問題”的教學思考與實踐

李國良

【摘 要】眾所周知，小學數學的知識是有結構的，學生的認知也是有結構的。教師需要站在學生的角度幫助其形成知識“串”，將數學學習整體化，最終使他們得到的不僅是數學“知識鏈”，更多的是數學思維與學習能力的提升，進而掌握數學思想與方法。筆者試著通過對“集合問題”知識點的分析、學生認知基礎的調查來整體設計與架構，實施有結構化的集合問題的教學。

【關鍵詞】結構化 集合 思考

結構主義認為事物是一個復雜的整體，任何一個組成部分都處于整體的關系網內。怎樣運用結構化的思維來構建課堂，發展學生的結構化思維能力，筆者對“集合問題”一課進行結構化的教學嘗試。

一、分析教材內容，明確集合問題的前世今生

所謂集合就是把指定具有某種性質的事物看作一個整體，每一個事物稱為集合的元素。集合作為現代數學的基本語言，能簡潔、準確地表達數學內容，是最基本的思想方法，它在小學數學的四個領域里均有涉及與運用。

1.尋找集合知識的延伸點

小學數學教材中滲透的集合主要有并集（A∪B）、交集（A∩B）、子集（A∈B）。根據不同集合中元素的特征把集合之間的關系表述為并列關系（無共同元素）、重疊關系（有部分共同元素）和包含關系（一個集合的元素包含另一個集合的元素）。

在一年級新入學的準備課中，把3張凳子、4個垃圾桶用封閉的曲線圍起來，直觀地表示數的概念，這是早期集合思想的滲透。教材中第一次出現集合圈是在一年級下冊“100以內數的認識”單元中，要求把12個數按照個位上是5或0分別進行分類（如圖1），也就是組成兩個集合，這兩個集合是12個數集合的子集，這些數是互斥的，存在著并列關系。三年級上冊“長方形與正方形”單元，在研究長方形與正方形的特征后總結：正方形是特殊的長方形，用圖表示就是長方形里包含了正方形（如圖2）。在學習“集合”單元知識后，用集合圈來表征數與數、圖形與圖形等關系的知識點明顯增加，如四邊形的分類，三角形的分類，長方體、正方體的關系，公因數、公倍數，角的分類，數的分類，等等。其中四邊形的分類較為復雜（如圖3），平行四邊形和梯形分別是四邊形的子集，長方形、正方形又是平行四邊形的子集，有包含關系，平行四邊形與梯形在整個四邊形集合里沒有包含關系，按并列方式存在。

通過對教材的簡單梳理后需思考三個問題：一是在一、二年級用集合來表示分類、關系時，不存在包含關系，它們的關系容易理解，教師可以適當地滲透集合的思想;二是三年級研究正方形是特殊的長方形時，這種關系理解起來容易，但學生無法用集合圈來表示它們之間的關系，其探究過程比重疊問題來得更難;三是從三年級的集合問題直接過渡到四年級的四邊形分類缺少必要的知識鋪墊，學生很難真正懂得其中的關系。因此，在教學集合問題時有必要對集合問題進行系統的研究，使集合問題在學生的大腦中建構起結構化的知識網絡。

2.剖析集合單元的知識點

“集合”作為數學廣角單元的唯一知識點，由1個例題和8個習題組成。例題中呈現了跳繩和踢毽子比賽名單有重復的統計表，通過學生自主觀察、動手表征等方法讓人一眼就看出參加兩項比賽的人數，發現用集合圈（維恩圖）的形式最直觀，隨后認識各部分名稱并通過計算來求出人數。習題中的7道題目按例題的模型進行編排，只是形式上有所變化，但最后一題有明顯的不同（如圖4），出現了包含關系（子集），解決這一問題需要從眾多的信息中提取并甄別來進行集合圈的表示和解答。

筆者認為，單元的最后一道練習進行適當的拓展是可行的，它可以提升學生的發展能力。但這一題目的呈現有兩個問題值得商榷：一是與先前一直用共同的元素來表征題目的意思并進行計算有明顯的區別，造成了思維的斷層;二是題目中直接呈現了包含關系的集合圖，學生缺少對知識的探究過程，難以理解其本質內涵。因此，我們覺得，在新課的研究過程中結合交集（有共同元素）的知識點滲透空集與子集思想，讓學生完整建構起小學中常見的集合圖，能為后續學習四邊形的分類、數的分類打下基礎。

二、調查學生基礎，把握集合問題的認知起點

1.調查方法與對象

為使調查具有一定的真實性與可靠性，筆者采取了無記名、不暗示的形式進行書面問卷調查，選定了城區和鎮屬三所學校各2個班的學生，每道題目均在5分鐘內完成。

2.調查內容與結果分析

筆者設計了不同維度的3道題目，每一項調查內容由2個班級的學生完成測試。

調查一：統計表轉化成維恩圖的能力

出示一張統計表（如圖5），組織學生根據統計表的信息填入維恩圖中，表示出各部分的名稱，主要是調查學生對維恩圖各部分意義的了解情況。梳理后發現，完全正確的占63.2%，把6個學生名單正確地填入集合圈的占84.1%，其中典型錯誤主要是無法寫出只參加跳繩和只參加跑步的兩個集合的名稱，占了21.0%。

調查二：對維恩圖的理解程度

給定維恩圖并標注出部分信息（如圖6），讓學生通過集合圖說出每一部分所表示的意思，主要是了解學生能否讀懂、理解維恩圖。統計后發現，有50.6%的學生能正確地回答，92.1%的學生能正確填寫跳繩和跑步的人數，其中有3個學生直接寫5人和4人，有2個學生列出3+2與2+2。但在描述只參加跳繩和只參加跑步的兩個空格中，錯誤率反而高于調查一，占40.8%。

調查三：表征維恩圖的水平層次

此問卷與調查一有相似之處，但更加開放，結合教材的內容給出統計表，設置3道思考性問題，主要了解學生讀取信息的能力和用怎樣的方法來表征統計表中信息。（如圖7）

問題一：在計算參加跳繩與跑步的總人數中，正確率是64.6%，其中有44.3%的學生用5+3-2=6人來計算，錯誤中出現最多的是5+3=8人，占20.3%。

問題二： 86.1%的學生能發現小明和小麗重復參加了兩項比賽，其中26.6%的學生表達不到位，如：有一些人既跳繩又跑步，有人重復了，等等;有11.4%的學生在比較跳繩與跑步之間的人數差異。

問題三：統計中發現，用維恩圖表示的有49人，占62.0%，其中33人正確，16人錯誤，在正確的表征中有6人直接用數量來解釋;10人用表格的方式來解釋題意，占12.7%;在38.0%的錯誤中有22.8%的學生空白或沒有完成，10.1%的學生各部分數量表示錯誤。

從上述三個問題中，可以發現：一是約有60%的學生初步了解并掌握了一些維恩圖的知識，能正確地把統計表中的信息轉化為維恩圖，并能解釋各部分的意義，說明他們已經具備了一定的語言轉譯能力，讓各部分的概念變得更為直觀與清晰，同時，也基本具備了對隱性邏輯關系顯性化的表達，初步掌握了參加某項的人數與只參加一項的人數和兩項都參加人數之間的聯系與區別;二是這3份問卷調查中，不管是哪個區域的學生都有近30%的人數對只參加一個項目的集合意義理解不夠，無法正確把握哪部分是參加一個項目，哪部分是只參加一個項目;三是這3類學生中，對交集部分的理解比較到位，明白他們是重復參加的人員。

筆者認為，通過對集合問題認知基礎的調查給教學提供了思路：一是可以大膽借助大部分學生能建構起維恩圖的基礎，直接從統計表過渡到對維恩圖的理解;二是在理解維恩圖各部分意義的基礎上，與算式的多樣化進行有機融合;三是拓展對交集部分（重疊元素）的理解，部分元素重疊，沒有元素重疊，一個集合圈內的全部元素重疊，架構起集合問題的結構化知識體系。

三、開展教學實踐，架構集合問題的整體意識

根據對教材的系統分析和學生認知基礎的全面調查，筆者在整體思路的構建下開展了教學實踐與研究。

1.在自主表征中把握維恩圖的本質意義

數學中的問題情境多以文字、表格、圖示等形式呈現出來，讓學生從情境中收集、甄別信息，從而處理信息顯得尤為重要。課始，出示兩張統計表（如表1、表2）并設問：這兩個班級分別有多少人參加比賽？通過觀察，發現兩個班級有個顯著區別：三（2）班有重復的人數。接著，組織學生用自己喜歡的方式來表征三（2）班參加比賽的情況：有什么好的方法讓別人一眼就能知道三（2）班參加比賽的情況和人數？根據學生的表征情況（如圖8）進行討論，分別說說表示的意思。

生1：小明和小麗分別參加了兩個項目，寫在表格中間，而小張、小紅、小芳只參加了跳繩比賽，小王只參加了跑步比賽，一共有6個人。

生2：我用兩個圈來表示，兩個人都參加的寫在中間，小張、小紅、小芳只參加跳繩的和小王只參加跑步的寫在兩邊，一共有6個人。

隨后，組織討論：哪種方式能比較清楚、直觀地表現三（2）班參加比賽的情況？顯然學生把目光聚焦到維恩圖上，認為這個圖既方便又簡潔，還直觀。接著，討論集合圈中每一部分的意義并結合算式進一步鞏固意義，同時用統計表中的表述方法與維恩圖進行關聯，明確它們之間的相同之處。

筆者覺得，教學時從認知沖突入手有利于把問題集中到重復部分（共同元素），在充分考慮學生的認知基礎上，通過自主表征、討論，歸納出維恩圖能把共同元素清楚地表示出來，結合計算又感受到算式與圖示的另一種表征與轉換方式。通過這一環節的教學，讓學生初步體會到集合的含義及集合的運算，學會用集合思想方法解決簡單的實際問題。

2.在合作對比中建構維恩圖的變化情況

在初步了解維恩圖的含義后，要深入掌握集合思想、結構化呈現集合知識需要更多素材支撐。

接著，出示三（1）班和三（3）班參加比賽情況的統計表（如表1、表3），組織學生仔細觀察并用維恩圖來表征（男女生分別完成一項），針對表征情況選擇有代表性的作品（如圖9、圖10）進行討論。

師：大家能看懂嗎（圖9、圖10）？為什么這樣來表示呢？

生3：因為三（1）班參加跳繩與跑步比賽的人沒有重復，所以重復部分是0人，跳繩比賽有4人參加，跑步比賽有3人參加，一共7人參加。

生4：三（1）班參加跑步與跳繩比賽的人沒有重復，他們之間沒有關系，可以分成兩個集合，一個是跳繩比賽的集合，一個是跑步比賽的結合，一共7人參加。

師：這兩種表示方式有聯系嗎？

生5：有聯系的，因為第一種表示方法沒有重復的是0個，而第二種表示方法沒有重復的也是0個。

生6：這兩種方法都表示參加跳繩和跑步比賽的人沒有重復。

師（小結）：把第一種表示方法中重復部分0人慢慢擦去，就變成了第二種表示方法，這兩種表示方法的意思是相通的，都沒有重復部分，卻是不同的表征方式。

師：三（3）班這樣的表示方法（如圖11、圖12），能看懂嗎？它們分別表示什么意思？

生7：參加跑步的3個人都參加了跳繩比賽，只參加跑步的人沒有，就是0。

生8：參加跳繩比賽的人包含了參加跑步的3人，而小海和小陳只參加了跳繩比賽。

師：看著這個圖（如圖12），你想到了什么？

生9：想到了長方形與正方形的關系，正方形是特殊的長方形。

師：那這個特殊在哪里呢？

生10：小萍、小鐘、小高是特殊的，他們既參加了跳繩又參加了跑步比賽，沒有人只參加跑步的。

……

隨后，組織學生研究圖8、圖9、圖10、圖11、圖12的聯系和區別。經過討論，大家一致認為參加跳繩和跑步的人數都可以用集合圖來表示，但集合圈因重疊部分的數量和參加項目的不同，它們表征的形式有所差異，關系也不一樣。

筆者認為，在理解維恩圖各部分名稱、意義的基礎上，運用共同元素的變化情況，把小學所涉及的集合知識點進行整體的滲透，不僅拓展了集合的意義，使學生感悟到集合元素的互異性和無序性，而且使集合的知識呈現結構化，從并列關系到重疊關系再到包含關系，讓學生在大腦中完整地建構起三個集合圖，能為后續的學習奠定基礎。

3.在前后聯系中認識集合圖的廣泛應用

眾所周知，一、二年級一直滲透著集合思想，教學時呈現已涉及集合知識點的內容，可調動學生的經驗，幫助其加深對集合意義的理解。

教學最后，出示教材中的兩個重疊問題，組織學生用集合圖來表征，討論每部分所表示的意義及數量，并思考與所學知識的聯系。我們認為，學生對集合有了整體的建構后，教師需適當安排練習進行鞏固，便于正確把握教材的核心思想，這樣的練習能讓學生進一步明白重復部分的量就是交集、求總數就是并集的思想，促使他們向更深層次開展學習，提升表征知識和反思思維的能力。

數學課程標準指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。因此，運用結構化的思維對“集合問題”進行整體設計正是對這一理念的詮釋，它能讓學生全方位、多角度、立體化地分析與思考這類問題，強化集合中各部分之間的關系與特定的意義，真正建立起有效的知識系統。