如何通過數學建模培養學生的創新思維

張婭妮 李雪芳

【摘要】本文通過對高壓油管的壓力控制問題的分析來探討數學建模過程中的創新思維，從而體現數學建模對創新思維的激發作用，論證了數學建模是培養學生創新思維能力的一種良好方法.

【關鍵詞】數學建模;創新思維;高壓油管;壓力控制

數學建模的過程實際上是將問題數學化，并解決問題、給出答案的過程.從培養學生創造性思維的層面來看，所謂建模的思想即需要先明白問題是什么，然后理清思路解決問題;從發展學生創造能力的層面來看，它的理念、目標與現代教育的出發點和歸宿，以及素質教育的內在要求是一致的.數學建模需要學生具備想象力，推理能力，綜合運用各學科的知識的能力，查閱文獻的能力，數學表達能力，抽象思維能力，計算、分析和處理數據能力等.數學建模既是數學課，也是勞動課和實踐課.它的魅力在于“只要參與，就會有收獲”，其團隊作業的模式既凸顯了協作的重要性，也極大地豐富和活化了創新思維.與隊友交流、研討、協作共進的過程是不斷學習的過程，同時，在專業教師的啟發和幫助下對方案不斷地施以“重啟”和“更新”是提高的過程，一刻也不能停歇的“手腦并用”的學習更是效果最佳、收獲最大的學習.毫不夸張地說，參與數學建模的經歷及其對學生創新思維能力的提升，將對學生整個學習生涯產生積極的影響，并使學生終身受益.

創新思維過程包括準備階段（提出問題）、醞釀階段（問題的求解）、豁朗階段（問題的突破）、驗證階段（成果的證明、檢驗），它跟數學建模的主要步驟：問題的提出與分析、問題的假設和數據處理、建立和求解數學模型以及數學模型的評價和改進四個階段相似，很好地說明了數學建模的過程就是對學生創新思維能力培養的過程.下面我將從解決2019年建模國賽試題“高壓油管的壓力控制問題”出發，來分析數學建模如何促進學生創新思維的發展.

一、問題的提出與分析，激發學生的創新思維

在這個階段，我們為了能夠解決現實問題，應做到切實地突出學生的主體學習地位，讓學生作為學習的中心，同時使他們學會將數學知識進行轉化.在建模中，我們要不斷鼓勵學生自己分析題目，發展學生自己的思維所具有的獨特性和新穎性，讓學生學會對已知的題目信息進行分析，抽取其中有價值的信息，同時學會對提出的問題進行歸類，與所學過的數學知識聯系起來，建立初步的框架，通過一步步地深入分析，不斷地去激發自己的創新性思維.

以2019年建模國賽試題“高壓油管的壓力控制問題”為例，如果要將高壓油管內的壓力盡可能穩定在100 MPa左右，那么該如何設置單向閥每次開啟的時長？在實際中，燃油進入和噴出高壓油管是許多燃油發動機工作的基礎，燃油進入和噴出的間歇性工作過程會導致高壓油管內壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現偏差，從而影響發動機的工作效率.高壓油管內的壓強是一個持續性的變量，持續性的變量并不是十分容易研究的，所以我們需要將高壓油管內的許多量離散化，這就是學生對于問題的創新性思維，即利用離散化的方法對提出的問題進行分析.題目中要研究當高壓油管內的壓力盡可能地穩定在 100 MPa左右時，如何設置單向閥每次開啟的時長，在這里我們需要引導學生分析一下，當高壓油管內的壓力盡可能地穩定在 100 MPa左右時，高壓油管內壓強變化的決定因素是什么，同學們知道是高壓油泵和噴油嘴.但實際中，高壓油管內的壓強一直是在波動變化的，而且我們無法詳細地探究高壓油管內的壓強變化，所以我們在這里需要做一個狀態等效，也就是當我們從高壓油泵輸入燃油的體積等于噴油嘴噴出的體積時，高壓油管內的狀態沒有發生變化，也就是它依然穩定在100 MPa.狀態等效這一創新點實際就是我們對題目分析之后得到的題目中暗含的意思，這樣就可以去研究題目中的問題：怎么去設置單向閥每次開啟的時長了.

對整個問題的分析都需要學生利用所學知識和自己的發散思維去思考，去創造出新的思維、新的解題思路，同時還要建立在符合題目要求和現實操作的基礎上.數學建模不僅僅是要按照題目去解決題目，最主要的是要將實際問題與教材上的知識聯系起來，在所學知識的基礎上進行全新的思考和分析.

二、問題的假設和處理，創新思維的醞釀階段

在這個階段，學生需要根據問題進行一些適當的假設，以及對數據進行處理，也就是創新思維的醞釀階段.這個階段不僅要考慮問題的實際，更主要的是要運用創新思維去建立合適的模型來達到解決問題的目的，為實際應用提供更多的正確依據.愛因斯坦曾說過，“想象力比知識更重要”.雖然我們的知識是有限的，但是我們培養學生的創新能力是無限的，它是可以不斷發展變化的.所以培養學生對問題的假設和處理，不僅體現了學生所學知識的基礎，也體現了學生對問題的想象和創新.在問題的假設和處理階段，我們可以讓學生發揮自己的主體地位，讓學生積極思考，親自實踐操作.

我國的高壓油管工業發展迅速，高壓油管應用于各個領域.由于高壓油管要適應各種不同條件的要求，因此高壓油管的品種繁多.燃油進入和噴出高壓油管是許多燃油發動機工作的基礎，因此需要控制高壓油管內部的壓力，防止發生事故.下面對高壓油管的壓力控制進行分析.某高壓燃油系統的基本工作原理如圖1所示，燃油經過高壓油泵從A處進入高壓油管，再由噴油嘴B噴出.燃油進入和噴出的間歇性工作過程會導致高壓油管內壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現偏差，從而影響發動機的工作效率.

圖1 高壓油管

某型號高壓油管的內腔長度為500 mm，內直徑為10 mm，供油入口A處小孔的直徑為1.4 mm，通過單向閥開關控制供油時間的長短，單向閥每打開一次后就要關閉10 ms.噴油器每秒工作10次，每次工作時噴油時間為2.4 ms，噴油器工作時從噴油嘴B處向外噴油的速率如圖2所示.高壓油泵在入口A處提供的壓力恒為160 MPa，高壓油管內的初始壓力為100 MPa.

圖2 噴油速率

我們要求壓力盡可能穩定在100 MPa左右，那么該如何設置單向閥每次開啟的時長呢？在實際中我們知道，燃油的進入和噴出導致的間歇性工作會對高壓油管內產生細小的壓強變化，選擇最優單向閥開啟時間來確保燃油的進入和噴出是最優的間歇性工作.我們可以假設忽略燃油的進入和噴出導致的間歇性工作對高壓油管內產生的細小的壓強變化，這樣的話需要設置單向閥開啟時長，使得高壓油管內的壓強盡可能穩定在100 MPa，然后去計算所求的問題.

這部分內容體現了學生的創新思維的假設與數據處理階段，為接下來的模型建立與求解打下基礎.在這個階段，我們教師需要進一步提高學生的數學學習和運用能力，不斷地培養學生的核心素養能力，適時地給學生一些引導，讓學生能夠感受到數學中的難關還是可以被攻克的，從而提高學生的建模能力和創新思維.

三、模型的建立與求解，創新思維的豁朗階段

有了前兩個階段作為基礎，我們就可以試著建立合適的數學模型，這時需要進行許多的嘗試與分析，以保證最后使用的數學模型是最合適的.我們建立數學模型的目的是，能夠運用數學知識將題目信息一目了然地表達出來，同時進行模型的求解，這時正是創新思維的豁朗階段.為鼓勵學生積極參與教學活動，在課堂上作為教師的我們要從知識的傳授者變為知識的啟發者，在學生建模的過程中，為學生起指導作用，成為學生活動的導演者和參與者，與學生平等地交流和溝通，引導學生去突破成規，大膽地提出設想和獨特的見解，讓學生去尋找具有創新意識的解決問題的捷徑，從而達到培養學生創新思維的目的.

如“高壓油管的壓力控制問題”中，學生設置單向閥開啟的時長，同時也要將高壓油管內的壓強盡可能地穩定在100 MPa.由于學生考慮到壓強的變化引起的燃油體積和密度的變化的問題，因此在第二階段假設的基礎上需要建立壓強變化前后的質量守恒模型，從而最終求得單向閥的工作時間.在這一過程中，學生為了解決問題，在假設的基礎上建立了質量守恒模型，這是一個創新點.

這個過程是建立在之前的假設基礎之上的，建立模型并進行運算，雖然不一定得出一個精確的結果，但這個結果具有很大的適用性，而且能在求解中簡化運算.在實際的建模教學中，教師可以根據實際的教學內容，為學生創造生活化的教學情境，這樣不僅能夠降低數學知識的難度，縮短學生與數學知識之間的距離，還能夠提高學生對所學數學知識的運用能力，以及學生的學習興趣.

四、問題的評價和改進，創新思維的驗證階段

所有的創新都是對之前發現或得到的觀念進行的否定或者超越，而要實現否定或者超越，就需要我們不斷地進行批判.只有進行正確的批判，才會形成獨特的創造力.學生要敢于發表自己的觀點，養成獨立思考的習慣.同時學生需要利用嚴格的數據來證明創新有據可依，還要保證數據計算的誤差足夠小.這就是為什么在建模、計算之后，要對問題進行評價和改進的原因.

“高壓油管的壓力控制問題”中，學生已經計算出了結果，但是他們需要去設法驗證計算的誤差足夠小.所以學生需要查閱資料，利用所學的密度的計算公式ΔPΔρ=EP和100 MPa下的燃油密度為0.850 mg/mm3可以計算出不同壓強下的燃油密度，在計算燃油密度的時候采用了遞推的方法，可以減小因為ΔP導致的燃油密度的計算誤差.在這一過程中學生將密度計算公式和遞推法這些發散思維進行了綜合運用，從而驗證了計算的誤差是足夠小的.

在最后這個階段，我們需要引導學生去翻閱相關的資料，了解高壓油泵的具體工作原理，以及高壓油泵的燃油噴出量的詳細計算公式，包括如何處理持續變化中的壓強，以及這個持續變化的壓強對于燃油噴出的影響，同時培養學生求解的嚴謹性.

整個建模的過程都可以體現出學生創新思維的發展變化.數學建模競賽從小到大，從不被熟知到廣受歡迎，這是一個“培育全面發展的適應社會需要的具有核心競爭力的人才”理念在高等教育人才培養目標中凸顯重要地位和頑強生命力的過程，也是大學全面培養學生創新創業能力的素質教育理念及其配套機制和措施日趨完善、成熟的過程.我們通過引導學生建立數學建模思維，培養其應用數學解決實際問題的意識和創新思維的能力.我們堅信，數學建模不再只是知識的載體，而是學生思考的創新，更多地體現了學生對思維模式的突破，潛移默化地讓學生得到了鍛煉，也使他們的創新思維得到了提高.

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