例談數學教學中“四基”的落實

周潔 王小霞

摘 要：“四基”是在數學教學目標“雙基”的基礎上發展而來的，反映了人們對數學的認識的提高。數學的教學目標由原來的計算、證明等知識和技能學習增加到思想方法和做數學的高度。在數學教學中，教師要鉆研落實“四基”的方法策略，從而提高學生的數學學科核心素養。

關鍵詞：數學教學;“四基”;數學活動

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）51-0067-03

作者簡介：周潔（1993.3—），女，延安大學，碩士研究生學歷。

王小霞（1978.7—），女，延安大學，副教授。

引 言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）在“雙基”的基礎上提出了“四基”的要求，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。它們是一個有機的整體，是互相聯系、互相促進的。基礎知識和基本技能是數學教學的主要載體;數學思想是數學教學的精髓，統領課堂教學的主線;數學活動是不可或缺的教學形式。教師在數學教學中應把“四基”作為貫穿于教學始終的線索，使其體現在教學的各個環節。

一、探尋本質，扎實基礎知識

扎實的基礎是前進的基石。基礎知識是進一步學習數學的基礎和必要條件，是學習過程中最基本也是最重要的部分，是影響學生深入學習的主要因素。基礎知識的掌握情況直接影響學生深入學習的效果。因此，教師在教學過程中要加強基礎知識的教學，引導學生深入理解和掌握基礎知識，不斷探尋數學知識的本質。

例如，在教學“算術平方根的概念”時，教師可以從幾何中的正方形入手，提出問題：如果三個正方形的面積分別為4，16，25，那么這三個正方形的邊長分別是多少？教師也可以從幾何中的正方體入手，提出問題：如果三個正方體的體積分別為8，27，64，那么這三個正方體的棱長分別是多少？

學生可以根據這些較簡單的數據逆向思維得出正方形的邊長及正方體的棱長，從而感受到平方根及立方根的現實意義，并且理解平方與開平方互為逆運算，立方與開立方互為逆運算。教師通過情境引入本節課，能夠引導學生感受到數學知識的本質。

二、循序練習，提煉方法技能

《課程標準》指出：“在基本技能的教學中，不僅要引導學生掌握數學技能的操作程序和步驟，還要使學生理解這些程序和步驟的原理。”[1]也就是說，數學基本技能的訓練不僅是讓學生會寫解題步驟，還要讓學生理解所學的哪些數學知識可以作為實施這些步驟的邏輯依據。例如，對于計算題目的基本技能，教師不僅要讓學生明白如何進行計算，還要讓學生明白相應的算理;對于證明的基本技能，不僅要讓學生理解證明的步驟，還要讓學生了解每一個步驟的依據。

這里說的數學基本技能，指的是通性通法，而不是特殊的數學解題技巧。基本技能應當具有廣泛的適用性，而不是機械的重復訓練。這樣，學生的思維才會被訓練得更加敏捷，更容易領悟到不同類型題目的解題方法，根據題目條件的每一個細微的改變轉變解題思路，從而真正達到舉一反三的學習效果。因此，教師要設計出知識層層遞進的題目，讓學生可以循序漸進地進入解題的狀態，感受數學題目的變化，以培養學生嚴謹的思維，最終達到提升數學方法技能的效果。

以“數的絕對值”的教學為例，教師可以出一道基礎題，并進行講解，如|-5|=5，。這樣的簡單題型學生可以很快就能掌握，但是當絕對值符號里面為多項式時，學生往往思維混亂，容易出錯，如有理數a，b，c在數軸上的對應點分別為A，B，C，試化簡|a|+|a-b|+|c-d|。

學生認為此題難解主要體現在兩個方面：第一，不知道如何求多項式的絕對值;第二，不會表示多項式的相反數。因此，教師可以從這兩方面入手設計相關的習題，如|b|=b（b≥0），|b|=-b（b<0），引導學生逐步理順思路。例如，教師可以從習題入手，然后加入多項式的絕對值的化簡習題，如|m-n|=m-n（m>n），|c-b|=-（c-b）=b-c（c<b）。通過此類練習，學生會發現求多項式的絕對值的問題，其實在于判斷多項式的正負，尤其當多項式為形如a-b的減法運算時，解題關鍵就在于比較a和b的大小。當a>b時，|a-b|=a-b。通過這樣的訓練，學生便能把絕對值的基本知識轉化為解題技能，再遇到此類問題就能快速解決。

再如，已知a，b，c是一個三角形的三邊長，試化簡：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|。這道題目考查的知識點是三角形的三邊關系，即三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。這道題的解題方法便是去絕對值符號，因為a，b，c是三角形的三邊長，所以b+c-a>0，b-c-a=b-（c+a）<0，c-a-b=c-（a+b）<0，a-b+c=a+c-b>0。學生可對原式進行化簡并得出公式，|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b。有了前面知識點的鋪墊，學生解答這道題目便容易多了。

三、思考分析，領悟數學思想

數學思想是從數學知識中提煉出來的數學學科的精髓，是將數學知識轉化為數學能力的紐帶。通過教材體系，我們可以看出整個初中數學教材中的數學知識是按照由淺入深，后面以前面為基礎的原則設置的，每一個章節的知識都滲透著數學思想方法。因而，教師在教授知識的同時要注重滲透數學思想方法，將基礎的、零散的知識點串聯起來，在講解知識的過程中提煉解題思路和方法，并升華為數學思想，逐步形成數學知識體系。這樣，學生才會感受到數學知識的“枝繁葉茂”，從內心深處體會到數學的藝術和數學之美。

中學階段常見的數學思想有數形結合、分類討論、函數與方程、化歸與轉化、類比、數學建模、整體思想等。對于整體思想，初中生在初步接觸時往往會感到抽象難懂，很難想到要把知識看作一個整體，因而難以找到解題的突破口。其實整體思想就是要求學生從問題的整體性質出發，對問題的整體結構進行分析和改造，發現問題的整體結構特征，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理。整體思想在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何求解或證明等問題中都有廣泛的應用。整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、幾何中的補形等都是整體思想方法在數學問題中的具體應用。

例如，已知x2-2y+2的值是3，求-3x2+6y+2的值。部分學生可能會有一個方程如何解出兩個未知數x，y的疑惑，其實本題無法直接求出x與y的具體值，而是將x2-2y看作一個整體，由已知可得x2-2y的值為1，將要求的式子變形為-3x2+6y+2=-3（x2-2y）+2，然后把x2-2y的值代入變形后的式子，即可求出原式的值。

又如，若實數a，b滿足，試求分式的值。這道題目可以用整體代入法求分式的值。學生可以先將待求值的式子變形，使其含有條件中的式子，再將條件中的式子整體代入求值;也可以先將條件中的式子變形，再將變形后的式子整體代入求值。

解法一：由可得a≠0，b≠0， 所以ab≠0。所以

===。

解法二：同樣由可得a≠0， b≠0，所以a2+b2=2ab。所以= ==。

再如，如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB=2， CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求這個四邊形ABCD的面積。

我們可以看到這是一個不規則的四邊形，要想求它的面積，就要設法將它補成我們熟悉的三角形或者規則的四邊形，找出補全的圖形與題設圖形之間的關系，再通過求補全的圖形與多余部分的差即可求得所求圖形的面積。

補全方法一：如圖2所示，我們可以延長AD、BC使其相較于點E，而此時圖形構成了一個直角三角形。

在RT△ABE中，因為AB=2，∠A=60°可得BE=AB·tan∠A=。

在RT△CDE中，因為CD=1，∠ECD=180°-∠EDC-∠CED=180°-90°-30°=60°， 所以DE=CD·tan∠ECD=1×tan60°=。四邊形ABCD的面積就等于三角形ABE的面積減去三角形CDE的面積，即S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE- CD·DE=×2×-×1×=。

下面再展示一些其他的補全方法。

補全方法二：將原四邊形補成一個矩形，如圖3所示。

補全方法三：將原四邊形補成一個直角梯形，如圖4所示。

補全方法四：將原四邊形補成一個等邊三角形，如圖5所示。

補全方法五：將原四邊形補成一個平行四邊形，如圖6所示。

我們可以根據題目的已知條件找出較為簡便的補全方法，找到最優化的解題方法。在解決以上這些數學問題時，學生要站在整體的角度去思考，將局部放在整體中去觀察、分析，從而探究問題的解決方法，使問題得以巧妙解決。

四、動手操作，積累活動經驗

教育家蘇霍姆林斯基說過：“兒童的智慧就在他的手指尖上。”數學活動經驗是學生在學習的活動過程中所獲得的，而不親身經歷實踐活動就談不上經驗。學生只有動手操作、體驗數學活動的過程，才能將積累的經驗最終沉淀到內心深處，使其轉化為一種素養。因此，在設計數學活動時，教師可以學生活動為主線，激發學生主動參與、思考探索的動力。這樣學生便可以通過各種動手操作，直觀有效地分析、解決數學問題，從而在活動中學習和感悟數學。

以“勾股定理的實際應用”為例，教師可設計以下數學活動。

如圖7所示，甲為棱長為10 cm的正方體盒子，一只螞蟻沿著表面從A處爬到B處，需要爬行的最短路程是多少呢？如果將盒子換成長為3 cm，寬為2 cm，高為1cm的長方體（乙），螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

對于第一個題問，由于正方體的六個面都是正方形，學生可以根據正方體的展開圖確定邊長，然后用勾股定理求出最短路徑是 cm。

對于第二個問題，由于長方體的面不相同，我們會得到以下三種展開方式，如圖8所示。但是學生不容易想出不同的兩個面展開有什么區別，對所有展開形式，理解起來就有一定困難。

因此，教師可以引導學生動手操作，將長方體紙盒沿著不同的棱剪開，分別展開前面和右面、前面和上底面、左面和上底面。學生就可以直觀地看到不同的展開方式下它們的展開圖各不相同，并且差異很大，連接對角線AB，然后運用勾股定理進行計算便可以得出三種不同展開方式的路徑長度分別為cm ;

cm ;

cm ;

學生通過比較便可得出最短路徑為cm，即cm。

結 語

總之，從“雙基”到“四基”，是一個提升的過程，后者對前者不是否定，而是發展和深化。學科核心素養的培養是一個日積月累的過程，教師不能急于一時，更不能一蹴而就。教師要在數學教學中，以基礎知識與基本技能為載體，強化思想方法的滲透和活動經驗的積累，引領學生經歷“做數學”的過程，從而促進學生思維的發展、能力的提升。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.