抓住數學本質　引發深度思考

郭利鋒

[摘 要]不論是研究數學教材、數學教學，還是數學學習，都要善于透過現象抓住數學知識本質。在“乘法分配律”的教學中，運用聯系的觀點和思維，借助數與形、知識的關聯與遷移，去發現、表征、解釋、深化、拓展和應用規律，使學生的思維不但有深度，還有廣度，讓數學學習變得絢麗多彩。

[關鍵詞]數形結合;正向遷移;聯系;解釋;深化;拓展

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0057-03

乘法分配律是小學階段一個非常重要的運算定律，但乘法分配律的內容和外在形式都比較復雜，不易歸納總結和理解掌握，更重要的是乘法分配律變式多、拓展多，應用范圍廣，因此乘法分配律的教學歷來是教學的重點也是難點，還是學生考試的失分點。筆者經多年的實踐研究得出：教師要有統觀整個小學數學教材的意識，從系統、聯系的視角分析和研究教材，確定“乘法分配律”的教學既是前面所學知識的概括總結，也是今后把整數的乘法分配律拓展到分數、小數中的“種子課”;在借助具體的情景從乘法的意義去理解和發現規律后，重點引導學生充分利用數形結合思想逆向驗證和解釋規律，同時打通乘法分配律與舊知之間縱向與橫向的聯系，抓住知識之間的共性和本質，并通過縝密的分析推理將規律遷移、拓展。因此，教師的教學不能僅僅滿足于引導學生自主探究后推導出規律，要在推導出規律后從以下三方面解釋、深化和拓展規律。

一、巧用數形結合，解釋規律

“數”與“形”本來就是數學的兩種基本形態，“數無形時少直覺，形少數時難入微”，描述的就是數和形之間的相互依賴關系。數形結合既是一種重要的數學思想，也是一種重要的教學方法和教學策略。教學“乘法分配律”時，要充分利用 “數形結合”的教學思想與策略，在引導學生探究規律時，按照“直觀圖形（形）——數字表示規律（數）——字母表示規律（模型）”這個順序，遵循由具體到抽象的思考過程，幫助學生發現規律、歸納規律、建立模型。在得出規律、建立模型后，又可以通過反問、追問的形式引導學生按照“數字表示規律（數）——直觀圖形（形）——字母表示規律（解釋模型）”的順序，由抽象到具體再到抽象的反向思維來解釋和驗證規律的合理性。

【教學片段1】

師：乘法分配律左右兩邊為什么會相等呢？能結合4×9+6×9=（4+6）×9這個等式說明乘法分配律是成立的嗎？請獨立思考，把你的想法記錄在學習單上，再在小組內交流討論。

生1：我可以舉例。我到文具店先買了4支鋼筆，發現不夠，又買了6支鋼筆，每支鋼筆的價錢是9元。要求一共用的錢數，可以先求4支筆的錢數和6支筆的錢數，再合起來就是總錢數，4×9+6×9=36+54=90（元）;也可以先算一共買了4+6=10（支），再求10支鋼筆的總價，（4+6）×9=90（元），所以4×9+6×9=（4+6）×9。

生2：我用點子圖說明（學習單提供了點子圖）。這個點子圖有9行10列，我先圈4個9再圈6個9，合起來就是4×9+6×9，也可以按大的點子圖來算是10×9，也就是（4+6）×9，所以4×9+6×9= （4+6）×9。（教師出示圖1）

師：這兩個同學回答得非常好，能夠從不同的角度來解釋乘法分配律是成立的。

師：如果我把這個點子圖抽象成長方形，誰能用長方形的知識解釋4×9+6×9= （4+6）×9是成立的？

生3：4×9和6×9分別算的是兩個小長方形的面積，合起來就是整個圖形的面積; （4+6）×9是把兩個小長方形看成一個大長方形來算，（4+6）是大長方形的長，所以4×9+6×9= （4+6）×9。（教師出示圖2）

師：長方形的長和寬還可以換成其他數嗎？可以換成哪些數？

生4：可以換成任何一組合適的數，比如8、12、18，8×18+12×18=（8+12）×18，也可以換成40、60、90，40×90+60×90=（40+60）×90。

生5：還可以用字母來表示。

師：今后用到乘法分配律，腦子里就要有這個圖形，既直觀好記，也容易理解。規律中的a、b、c三個字母不僅可以是整數，也可以是分數和小數，這是我們后面將要學習的內容，有興趣的同學可以課后了解。

學生先從解決問題和乘法的意義去解釋等式成立，再利用點子圖直觀說明了等式也是成立的。此時，教師再把點子圖抽象成長方形，引導學生從求長方形面積的角度去說明乘法分配律是成立的，既直觀好記也容易理解（如圖4）。長方形面積與乘法分配律貌似不相關，但它們的本質內涵是相通的。充分運用數形結合和逆向求證的教學策略，能溝通“數”與“形”之間的關聯，抓住數學本質，促進學生深度思考，幫助學生深層次理解和掌握規律。

二、打通知識的關聯通道，深化規律

教師在引導學生的過程中，既要縱向透視，也要橫向溝通，由點入線、線入面、面入體，把新知置于舊知網絡體系中，尋找新舊知識之間的本質與共性，建立結構聯系。這樣的數學學習活動不僅有利于學生全面深刻地理解數學知識，而且有利于學生對數學知識的整體認識和宏觀把握，養成良好的思維習慣。

【教學片段2】

師（出示圖5）：其實，“乘法分配律”并不陌生，它就在我們身邊。觀察這些計算過程，你發現了什么？

生1：這些計算都運用了乘法分配律。

師：請具體說一說在計算中是怎樣運用乘法分配律的。

生2：計算21×26時，可以把21分成20和1，先算20個26和1個26，再加起來就是21個26。

生3：計算114×21的道理也是一樣的……

師：這些計算過程實際就是今天學習的乘法分配律的運用過程。

師：還有哪些舊知識用到了乘法分配律？

生4：長方形的周長公式也可以用乘法分配律來解釋。因為長方形的周長就是四條邊的總和，長×2+寬×2和（長+寬）×2都是求長方形的周長，所以長×2+寬×2=（長+寬）×2，用字母表示就是a×c+b×c=（a+b）×c。

師：同學們非常棒！學習數學就是要多觀察、多思考、多反思，做個“有心人”。

這個教學片段以“乘法分配律”為紐帶，通過設問引導學生把二位數乘一位數的口算和筆算、兩位數乘兩位數、三位數乘兩位數和長方形的周長等知識串聯起來，借助新知重新審視舊知，打通新舊知識之間的關聯通道。借助乘法分配律的多元表征，抓住表征背后的本質內涵就是乘法分配律的運用，這不但讓學生意識到乘法分配律應用的廣泛性和重要性，也使學生感受到乘法分配律并不那么難學難懂，其實一直在運用乘法分配律解題，只是現在才加以概括和歸納，從而深化對規律的理解和掌握。

三、順應知識的正向遷移，拓展規律

正向遷移是指在學習中獲得的一種知識與學習經驗對后續學習的影響，也就是常說的觸類旁通、舉一反三，“乘法分配律”這節課的最后一個練習就是利用知識的正向遷移對規律進行拓展應用。

【教學片段3】

出示：

師：淘氣和笑笑是怎么想的？你會選擇哪一個算式計算？為什么？

生1：淘氣是先算一套衣服的價錢，再乘以28，笑笑是分別算出28件衣服和28條褲子的價錢后再加起來，方法不同，但都是算出28套衣服的總價。

生2：肯定都會選擇淘氣的方法，因為用淘氣的方法兩步就解答出來了，而且括號里的和是100，這樣非常好算，口算就能得到結果，而笑笑的要三步，也沒有那么好算，運算量大。

生3：這兩個算式用等號連起來實際就是運用了乘法分配律。

出示：（46+54）×28 = 46×28+54×28。

師：為了更好的表演效果，學校決定給每個同學再買一頂帽子，怎么列式？

出示：

生4：（46+54+23）×28 = 46×28+54×28+23×28。

師：如果再加一雙鞋呢？

出示：

生5：（46+54+23+57）×28 = 46×28+54×28+23×28+57×28。

師：仔細觀察這三組等式，你有什么發現？

（46+54）×28 = 46×28+54×28

（46+54+23）×28 = 46×28+54×28+23×28

（46+54+23+57）×28 = 46×28+54×28+23×28+57×28

生6：計算等號左邊的式子比計算右邊的式子少算一步，計算起來要簡便一些。

生7：括號里面不管是兩個數相加，還是三個數或者四個數相加，加起來的和再乘以28，與28分別乘以這幾個加數再相加的和，結果相等。

師：如果括號里面是更多的數相加，還有這樣的規律嗎？這個規律是什么？

生（齊）：有，是乘法分配律。

師：也就是說，乘法分配侓中“兩個數的和”換成“三個數的和”“四個數的和”……乘法分配律也是成立的。

出示：（A+B）×Y = A×Y+A×Y

（A+B+C）×Y = A×Y+B×Y+C×Y

（A+B+C+D）×Y = A×Y+B×Y+C×Y+D×Y

……

師：同學們真了不起呀！這真是一個偉大的發現！也是一種很有價值的思考。

師：如果括號里的“+”改成“-”，規律還存在嗎？這又是一個全新的猜想，由于時間關系，這個問題留給大家課后研究。

教師在鞏固和內化規律后，引導學生把乘法分配律拓展到“多個數的和與一個數相乘”的探索。因為學生有了之前探索規律的經驗，借助“合唱隊買服裝”的情景，學生得到結論就是水到渠成的事情。下課前的追問，讓學生思考乘法分配律是否可以拓展到“兩個數的差與一個數相乘”，后續練習還可以鼓勵學生探索乘法分配律拓展到“幾個數加減混合與一個數相乘”是不是也成立，甚至可以聯想 “除法里是否也存在類似的規律？”。教師要善于運用知識的正向遷移對規律加以延伸和拓展，引發學生深度思考，學生的思維才會向深處扎根、向遠處攀升，思維之花才會開得更加燦爛絢麗。

總之，數學知識是一個動態的、有生命力的知識體系，不管是教師的“教”還是學生的“學”，都要統觀知識的整體，用動態的、發展的眼光緊緊圍繞數學知識本質，挖掘知識的“昨天”，緊握知識的“今天”，擁抱知識的“明天”，才能幫助學生構建一個生態的、豐富的知識結構，學生的知識大樹才會根深蒂固、枝繁葉茂。

（責編 金 鈴）