初中數學教學中學生數學思維的培養

連元坤

[摘 ?要] 在不同的背景之下，對數學思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對應著不同的教學實踐行為. 對核心素養視角下的數學思維的理解，應當包括這樣兩個方面：一是數學思維是“數學的思維”，二是數學思維是“數學地思維”. 考慮到數學學習活動是學生獲取數學知識、提升學科素養的主要載體，那么教師所設計的數學學習活動應指向高階思維的發展，數學思維的培養一定要抓住思維的基本特征. 思維的多向性是高階思維的根本體現，也是初中數學教學中培養學生數學思維能力的一個重要抓手.

[關鍵詞] 初中數學;數學思維;思維培養

數學思維的培養，是初中數學教學永恒的主題. 對于數學思維的價值，歷來受到數學教學研究者以及教師的重視，普遍認同的一個觀點就是：在數學學習當中，最為重要的一部分就是培育學生的數學思維，當學生擁有良好的數學思維后，學生往往能夠更好地運用自己的知識儲備進行有效的遷移，解決在練習過程中的問題. 需要注意的是，在不同的背景之下，對數學思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對應著不同的教學實踐行為：在追求數學知識價值的時代，數學思維服務于學生知識的建構;在追求數學思想和方法的價值的時代，數學思維起著支撐學生理解數學思想和方法的作用;在課程改革中，數學思維又與數學思想和方法一起，被包括在三維目標中. 當下的初中數學教學，追求核心素養的培養，那么在核心素養的背景之下，數學思維又應當如何理解呢？數學思維的培養又應當如何進行呢？對這些問題的回答，筆者在實踐中進行了探究. 現以人教版“三角形的穩定性”的教學為例，略談筆者的一些思索.

核心素養視角下數學思維的

理解

從核心素養的表述來看，其中強調的關鍵能力離不開具體的思維支撐，因此培養學生的數學思維就是為關鍵能力的形成打基礎;從數學學科核心素養的表述來看，六個要素中與數學思維關系最為直接的，當屬邏輯推理，一個基于嚴密數學邏輯進行推理的過程，必然是數學思維的過程. 但實際上其他的要素與數學思維也密切相關，比如說離開了數學思維就談不上數學抽象，數學抽象的關鍵在于剝離實際事物中的非數學因素，這就需要判斷什么樣的因素是數學因素，什么樣的因素是非數學因素，這顯然是數學思維的結果. 反之，如果沒有數學思維，那么數學抽象就很難獲得成功. 具體來說，對核心素養視角下的數學思維的理解，應當包括這樣兩個方面：

一是數學思維是“數學的思維”. 思維是一個廣泛的概念，在任何學科中都能談及思維，因此數學思維實際上是思維的一個下位概念. 在數學學科的視野下理解思維，也就是所謂的數學思維，首先必須強調的一點就是數學思維是“數學的思維”，數學思維是隸屬于數學的. 當學生開始鍛煉數學思維的時候，意味著是帶著數學知識與數學工具去鍛煉思維的.

比如“三角形的穩定性”這一知識，從生活的角度來看，“穩定性”有“固定”的意思，而從數學的角度來看，穩定性則是指“三角形的邊長、內角是固定的值”. 盡管兩個理解中都有“固定”的內涵，但唯有從邊長、內角大小等角度去界定，這才是真正的以“數量”去描述“圖形”，是數形結合思想的體現，彰顯著數學思維的價值.

二是數學思維是“數學地思維”. 如果說“數學的思維”是一個靜態的概念的話，那么“數學地思維”就是一個動態的概念. “數學地思維”與數學學科核心素養的關系在于其是對“用數學的眼光觀察事物，用數學的邏輯判斷事物，用數學的語言描述事物”的高度概括，意味著學生在學習的過程中有觀察、判斷和描述的動態需要，意味著學生是伴隨著這些過程完成數學學習的.

比如，“三角形的穩定性”這一知識中，給學生提供生活中的一些三角形圖形（如圖1），要讓學生“數學地思維”，就必須讓他們在“為什么房梁要設計成這個形狀”這一問題的驅動之下進行思考. 只有這樣學生才會有意識地進行數學抽象，并進行適當的推理，最后用語言來描述. 這樣的一個動態過程就是“數學地思維”過程，學生的思維能力可以在這樣的過程中得到充分的培養.

基于核心素養的數學思維培養

既然當前教育的大背景是培養學生的核心素養，那對于初中數學學科而言，就要在這樣的背景之下去培養學生的數學思維. 考慮到數學學習活動是學生獲取數學知識、提升學科素養的主要載體，那么教師所設計的數學學習活動應指向高階思維的發展（學生思維能力培養的標志，就是從低階思維走向高階思維）. 在目標設計的時候要突出關鍵能力導向，在內容設計的時候要突出問題任務導向，在過程設計的時候要突出主體實踐導向，在評價設計的時候要突出批判反思導向. 只要滿足了這些條件，那么學生在實際的學習過程中就能夠投入高階的學習活動，進而經歷鍛煉高階思維的過程，最終發展高階思維能力.

例如，在“三角形的穩定性”這一知識的教學中，筆者在設計教學目標的時候，就特別強調“要讓學生通過有效的數學抽象與邏輯推理，得出三角形具有穩定性”這一目標，因為在筆者看來，只有明確了這兩個要素（實際上當學生得出三角形具有穩定性這一認識之后，數學建模這一要素也得到了體現），才能讓學生帶著數學意識去鍛煉思維.

而在具體的內容設計與過程設計中，筆者重點設計了一個充滿對比性的數學實驗過程. 也就是分別讓學生用準備好的學具（若干根可以連接的木片），然后分別去組成三角形、四邊形、五邊形等，再分別去扭動，看它們的形狀是否發生改變. 通過學生的體驗與比較可以發現，唯有三角形的形狀是不會改變的. 由于這是一個學生自己體驗的比較過程，因此學生可以形成比較深刻的直覺性認識，這一認識中有一個很重要的比較思路，即促使學生思考“三角形的形狀不會改變說明了什么”. 教師此時可以順著學生的思維提出一個問題：“如果從數學的角度來看三角形的這一特征，那應當如何來描述？”這實際上是一個將學生的思維從一般性思維引向數學思維的過程，而在這一問題的驅動之下，學生的思維也就更加具有數學意味，他們會思考“三角形的這種固定，如果用數學語言來描述，那么應該如何描述？”思考過程中學生給出的答案是具有階梯性的，比如有學生剛開始認為“只要一個圖形的邊或者角固定不變，那就說明這個圖形是穩定的”，后來才發現不應當是“或”，而應當是“且”. 為了闡述這一觀點，學生也舉出了相應的例子，比如平行四邊形在變化的過程中邊的長度不變，又比如說用皮筋繃成的三角形可以在角度不變的情況下改變邊的長度. 學生能夠主動地想到這些例子來證明自己的觀點，就說明學生處于一個深度思維的狀態，具有了高階思維的水平，是學生的數學思維能力得到培養的實實在在的過程.

數學思維的培養要抓住基本

特征

著名美籍匈牙利數學家喬治·波利亞，在他的經典著作《怎樣解題》中曾經這樣啟發學生：解決數學問題要善于聯想——你以前見過它嗎？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？這樣一段通俗的表述，深刻地見識了在初中數學教學中數學思維的重要價值以及具體的運用策略. 也就是說在數學教學過程中，要讓學生在面對新問題的時候，從已有的經驗中尋找蛛絲馬跡，進行廣泛的聯系，這樣往往可以將思維的觸角伸向陌生的領域. 在這個過程中，筆者以為必須特別強調：數學思維的培養一定要抓住思維的基本特征.

在眾多特征中，筆者想重點強調的是思維的多向性. 所謂思維的多向性，就是從不同的角度思考問題，既思前因，又思后果，擴大思路有所突破. 這種多向性具體表現在能自如地從一種心理運算轉換到另一種性質不同的心理運算過程. 這是高階思維的根本體現，也是初中數學教學中培養學生數學思維能力的一個重要抓手，瞄準學生的思維，多向性去培養學生的數學思維能力，既可以讓學生的數學思維具有一定的深度，又可以讓學生的數學思維具有一定的廣度. 在同時滿足了深度和廣度這兩個要求之后，學生在新的數學知識學習以及新的數學問題解決過程中，往往能夠進行更為廣泛的聯系，進行更加深度的推理，而只要做到這一點，就不僅培養了學生的數學思維能力，也促進了數學學科核心素養的落地.

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